北师大版数学高一必修第一册 2.2 函数的表示方法 分层练习

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2.2《函数的表示方法》分层练习考查题型一 图象法表示函数1．已知函数fx=x2x≤0−1xx>0，gx=−fx，则函数gx的图像是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由gx=−fx可知 gx图像与fx的图像关于x轴对称，由 fx的图像即可得出结果.【详解】因为gx=−fx，所以 gx图像与fx的图像关于x轴对称，由fx解析式，作出fx的图像如图.从而可得gx图像为D选项.故选：D.2．某人去上班，先快速走，后中速走．如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知条件及排除法即可求解.【详解】当x=0时，距离单位最远，不可能是0，排除A，C，先快速走，后中速，则y随x的变化慢，排除B，故选：D．3．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设AE=x，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角形面积公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】当0≤x≤1时，y=12⋅x⋅tan60°⋅x=32x2，显然此时函数的图象是抛物线的一部分；当1f(3)的x的值为 ．【答案】3或1【分析】分别令x=1，2，3代入已知的表格中求出相应的函数值f（x），然后根据f（x）的值继续对应表格得到相应的f（f（x））的值，代入不等式的左边，而不等式的右边利用表格求出f（3）的值，通过判断即可得到满足题意的所有x的值．【详解】由题中的表格可知：当x=1时，f（1）=2，则f（f（1））=f（2）=3，而f（3）=1，原不等式化为3＞1恒成立，所以x=1满足题意；当x=2时，f（2）=3，则f（f（2））=f（3）=1，而f（3）=1，原不等式不成立，所以x=2不满足题意；当x=3时，f（3）=1，则f（f（3））=f（1）=2，而f（3）=1，原不等式化为2＞1恒成立，所以x=3满足题意．综上，满足f（f（x））＞f（3）的x的值为1和3．故答案为1和3考查题型三 已知函数类型求解析式1．已知fx是一次函数，且2fx+1−fx=x+3，则fx= ．【答案】x+1/1+x【分析】根据待定系数法设fx=ax+b，代入整理得ax+2a+b=x+3，对比系数列式求解.【详解】设fx=ax+b，因为2f(x+1)−f(x)=x+3，则2ax+1+b−ax+b=ax+2a+b=x+3，可知a=12a+b=3，解得a=1b=1，故fx=x+1．故答案为：x+1.2．一次函数fx满足：ffx−2x=3，则f1=(    )A．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】根据fx是一次函数可设fx=kx+bk≠0，再根据ffx−2x=3求出k、b即可求出f(x)的解析式，代入x＝1即可求得答案．【详解】设fx=kx+bk≠0，∴ffx−2x=fkx+b−2x=kkx+b−2x+b=k2−2kx+kb+b=3，∴k2−2k=0,kb+b=3，解得k=2,b=1，∴fx=2x+1，∴f1=3．3．设f(x)为一次函数且f(f(x))=4x+8，求f(0).【答案】f(0)=83或f(0)=−8【分析】设fx=ax+ba≠0，利用待定系数法求解.【详解】设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.又f(f(x))=4x+8，∴a2x+ab+b=4x+8，即a2=4ab+b=8，解得a=2b=83或a=−2b=−8.∴f(x)=2x+83或f(x)=−2x−8.∴f(0)=83或f(0)=−8.4．写出一个f1=1,f3=9的二次函数y=fx的解析式 ．【答案】fx=43x2−43x+1（答案不唯一）【分析】设出二次函数fx的解析式，利用f1=1,f3=9求得正确答案.【详解】设fx=ax2+bx+ca≠0，由f1=1,f3=9得a+b+c=19a+3b+c=9，不妨设c=1，则a+b+1=19a+3b+1=9，解得a=43,b=−43，所以fx=43x2−43x+1.故答案为：fx=43x2−43x+1（答案不唯一）5．已知二次函数fx满足f0=2，且fx+1−fx=2x+3.（1）求fx的解析式；（2）设函数ℎx=fx−2tx，当x∈1,+∞时，求ℎx的最小值.【答案】（1）fx=x2+2x+2；（2）ℎxmin=5−2t,t≤2−t2+2t+1,t>2.【解析】（1）根据二次函数fx，则可设fx=ax2+bx+ca≠0，再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可；（2）根据（1）中所求的fx求得ℎx=x2+21−tx+2，分t−1≤1和t−1>1两种情况讨论，分析函数ℎx在区间1,+∞上的单调性，求解ℎx的最小值即可.【详解】（1）设fx=ax2+bx+ca≠0.∵f0=c=2，又fx+1−fx=2x+3，即ax+12+bx+1+2−ax2−bx−2=2ax+a+b=2x+3，所以，2a=1a+b=3，解得a=1b=2，即fx=x2+2x+2；（2）由题意知，ℎx=x2+21−tx+2，x∈1,+∞，二次函数ℎx的对称轴为直线x=t−1.①当t−1≤1，即t≤2时，函数ℎx在1,+∞上单调递增，即ℎxmin=ℎ1=5−2t；②当t−1>1，即t>2时，函数ℎx在1,t−1上单调递减，在t−1,+∞上单调递增，此时，ℎxmin=ℎt−1=2−t−12=−t2+2t+1.综上，ℎxmin=5−2t,t≤2−t2+2t+1,t>2.考查题型四 换元法和配凑法求解析式1．（1）已知fx+1=x+2x，求函数fx的解析式．（2）已知fx+1=x2+2x，求函数fx的解析式．【答案】（1）fx=x2−1x≥1（2）fx=x2−1【分析】利用换元法和配凑法对（1）（2）逐一进行求解即可.【详解】（1）方法一（换元法）：令x+1=t，t≥1，则x=t−12，所以ft=t−12+2t−1=t2−1t≥1，所以函数fx的解析式为fx=x2−1x≥1；方法二（配凑法）：fx+1=x+2x=x+2x+1−1=x+12−1，因为x+1≥1，所以函数fx的解析式为fx=x2−1x≥1；（2）方法一（换元法）：  令x+1=t，则x=t−1，t∈R，所以ft=t−12+2t−1=t2−1，即fx=x2−1；方法二（配凑法）：因为x2+2x=x2+2x+1−1，所以fx+1=x+12−1，即fx=x2−1．2．（多选）已知f(2x＋1)=4x2，则下列结论正确的是（　　）A．f(−3)=16 B．f(x)=4x2C．f(x)=16x2+16x+4 D．f(x)=x2−2x+1【答案】AD【分析】利用配凑法求出函数解析式，再逐项判断作答.【详解】依题意，f(2x+1)=(2x+1)2−2(2x+1)+1，因此f(x)=x2−2x+1，BC错误，D正确；显然f(−3)=(−3)2−2(−3)+1=16，A正确.故选：AD3．已知fx−1=x−2x，则fx＝ .【答案】x2−1,x≥−1【分析】根据配凑法求解，注意定义域的求解.【详解】因为x−12=x−2x+1，所以x−2x=x−12−1，所以fx−1=x−2x=x−12−1，其中x−1≥−1.∴fx=x2−1,x≥−1.故答案为：x2−1,x≥−14．已知f(1x)=x1−x2，则fx= .【答案】xx2−1(x≠0)【分析】令1x=t，得到ft=tt2−1，进而求得函数fx的解析式.【详解】令1x=t，则x=1t且t≠0，所以ft=1t1−1t2=1tt2−1t2=tt2−1，所以函数fx的解析式为fx=xx2−1(x≠0).故答案为：xx2−1(x≠0)考查题型五 方程组法求解析式1．（1）已知函数fx满足fx+2f1x=x，求fx的解析式．（2）已知afx+f−x=bx，其中a≠±1，求fx的解析式．【答案】（1）fx=−x3+23x；（2）fx=ba−1x，a≠±1．【分析】（1）（2）利用构造方程组法求函数的解析.【详解】（1）在已知等式中，将x换成1x，得f1x+2fx=1x，与已知方程联立，fx+2f1x=xf1x+2fx=1x，消去f1x，得fx=−x3+23x，所以函数fx的解析式为fx=−x3+23x.（2）在原式中以−x替换x，得af−x+fx=−bx，于是得afx+f−x=bxaf−x+fx=−bx，消去f−x，得fx=bxa−1．故函数fx的解析式为fx=ba−1x，a≠±1．2．已知函数fx的定义域为R，对任意x∈R均满足：2fx−f−x=3x+1则函数fx解析式为（    ）A．fx=x+1 B．fx=x−1 C．fx=−x+1 D．fx=−x−1【答案】A【分析】利用方程组法求解析式即可.【详解】由2fx−f−x=3x+1，可得2f−x−fx=−3x+1①，又4fx−2f−x=6x+2②，①＋②得：3fx=3x+3，解得fx=x+1，故选：A．考查题型六 抽象函数的解析式问题1．设fx是R上的函数，f0=1，并且对于任意的实数x,y都有fx+y=fx+y2x+1，求fx.【答案】fx=2x2+x+1【分析】利用赋值法可求fx的解析式.【详解】由已知条件得f0=1，又fx+y=fx+y2x+1，设y=−x，则fx−x=fx−x2x+1，∴fx=2x2+x+1.2．定义在R上的函数f(x)满足f0=0，并且对任意实数x，y都有fx−y=fx−y2x−y+2，求fx的解析式.【答案】fx=x2+2x【分析】对fx−y=fx−y2x−y+2进行赋值，解方程求得fx的解析式.【详解】对任意实数x，y，fx−y=fx−y2x−y+2，令y=x，得f0=fx−x2x−x+2，即f0=fx−xx+2，又f0=0，所以fx=xx+2=x2+2x.3．已知函数f(x)对一切的实数x，y，都满足2f(x+y)−f(x−y)=x2+y2+6xy+x+3y−2，且f(0)=−2.（1）求f(2)的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)在−3,1上的值域.【答案】（1）f(2)=4；（2）f(x)=x2+x−2；（3）−94,4．【分析】（1）令x=y=1，则2f(2)−f(0)=10即可求f(2)；（2）令y=0代入式子即可求解f(x)的解析式；（3）由（2）知f(x)=x2+x−2，根据二次函数性质即可求解．【详解】（1）令x=y=1,则2f(2)−f(0)=1+1+6+1+3−2=10, ∵f(0)=−2,∴f(2)=4;（2）令y=0则2f(x)−f(x)=x2+x−2,∴f(x)=x2+x−2；（3）∵f(x)对称轴为x=−12∈−1,3，∴f(x)min=−94,f(x)max=4，∴f(x)∈−94,4．4．若函数f(x)满足∀x,y∈R,f(xy)=f(x)f(y)，写出一个符合要求的解析式f(x)= ．【答案】x(答案不唯一)【分析】由f(x)满足∀x,y∈R,f(xy)=f(x)f(y)求解.【详解】因为函数f(x)满足∀x,y∈R,f(xy)=f(x)f(y)，所以f(x)=x，故答案为：x,答案不唯一考查题型七 分段函数的定义域和值域问题1．函数y＝x2,x>0−2,x<0的定义域为 ，值域为 .【答案】 （－∞，0）∪（0，＋∞） {－2}∪（0，＋∞）【分析】由分段函数的定义域为各段的并集，值域为各段的并集进行求解【详解】定义域为各段的并集，即（－∞，0）∪（0，＋∞）.因为x>0，所以x2>0，由于值域为各段的并集，所以函数的值域为{－2}∪（0，＋∞）.故答案为：（－∞，0）∪（0，＋∞）；{－2}∪（0，＋∞）（多选题）2．如图是函数fx的图像，则下列说法正确的是（    ）A．f0=2 B．fx的定义域为-2,2C．fx的值域为-3,2 D．若fx=0，则x=12或2【答案】CD【分析】结合函数的图像和定义域，值域等性质进行判断即可．【详解】由图像值f(0)=-2，故A错误；函数的定义域为[-3，2]，故B错误；函数的值域为[-3，2]，故C正确；若f(x)=0，则x=12或2，故D正确故选：CD．（多选题）3．已知函数fx=x+2,x≤−1x2+1,−13两种情况讨论，结合f3=9可得答案.【详解】当a≤3时，f3=32=9，符合题意；当a>3时，则f3=3≠9，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是−∞,3.故答案为：−∞,3.考查题型九 分段函数的画图问题1．已知函数fx=2x,x<0−x,0≤x<212x−3,x≥2．        (1)求f0，ff2；(2)若fm=−1，求m的值；(3)在给定的坐标系中，作出函数fx的图象．【答案】(1)f0=0,ff2=−1(2)m的值为−2或1或4(3)图见详解【分析】（1）根据分段函数fx的解析式求解．（2）对m的范围分三种情况讨论，分别求出对应的m的值即可．（3）根据分段函数fx的解析式，分别画出每一段的图象即可．【详解】（1）因为fx=2x,x<0−x,0≤x<212x−3,x≥2，所以f0=−0=0，由f2=12×2−3=−2，所以ff2=f−2=2−2=−1；（2）当m<0时，fm=2m=−1⇒m=−2，当0≤x<2时，fm=−m=−1⇒m=1；当x≥2时，fm=12m−3=−1⇒m=4； 综上所述m的值为−2或1或4；（3）函数fx的图像，如图所示，    2.已知函数f(x)＝2＋eq \f(x－2|x|,3)(－20得1x2−2x+1>0，则−1x2−2x+1<0，则−1x2−2x+1+1<1，排除A、B项；而y=−1x2−2x+1，其图像关于直线x=1对称，且在x∈−∞,1上单调递减，在x∈(1,+∞)上单调递增，最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当x=0时，y=0，故D正确.故选：D4．设函数f(x)=x+1,x≤1x2−2x+3,x>1,若fx+fx−1>2，则x的取值范围是 .【答案】12,+∞【分析】分段讨论求出f(x)和f(x−1)的解析式，代入fx+fx−1>2可求出结果.【详解】（i）当x>1x−1>1，即x>2时，f(x)=x2−2x+3，f(x−1)=(x−1)2−2(x−1)+3=x2−4x+6，由fx+fx−1>2得x2−2x+3+x2−4x+6>2，即2x2−6x+7>0，因为Δ=36−56<0，所以2x2−6x+7>0恒成立，所以x>2；（ii）当x>1x−1≤1，即12得x2−2x+3+x>2，即x2−x+1>0，即(x−12)2+34>0恒成立，所以12得x+1+x>2，即x>12，所以12