北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性优秀课时训练

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考查题型一 利用定义法判断函数的奇偶性
1．下列函数中，既是奇函数，又在(0，+∞)上为增函数的是（ ）
A．y=x12B．y=x3C．y=1xD．y=x2
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义和基本函数的单调性逐个分析判断
【详解】对于A，y=x12的定义域为[0,+∞)，因为定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数，所以A错误，
对于B，y=x3的定义域为R，因为f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，所以此函数为奇函数，
因为y=x3在(0,+∞)上为增函数，所以B正确，
对于C，y=1x在(0,+∞)上为减函数，所以C错误，
对于D，y=x2的定义域为R，因为f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以此函数为偶函数，所以D错误，
故选：B
（多选题）2．给定四个函数，其中是奇函数的有（ ）
A．f(x)=x3 B．f(x)=1x(x>0) C．f(x)=x3+1D．f(x)=x2+1x
【答案】AD
【分析】根据奇函数的定义，先考查函数的定义域，再考查f(−x)与f(x)的关系即可判定.
【详解】对于A，函数的定义域为R，f(x)=x3，f(−x)=(−x)3=−f(x)，则函数f(x)是奇函数；
对于B，函数的定义域不关于原点对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；
对于C，函数的定义域为R，f(−x)=(−x)3+1=−x3+1≠−f(x),
则函数f(x)不为奇函数；对于D，函数的定义域为{x|x≠0}，
f(−x)=x2+1−x=−f(x)，则函数f(x)是奇函数.
故选：AD.
3．函数f(x)满足f(x)=2x−1x−2，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f(x+1)−2B．f(x+2)−2C．f(x−2)+2D．f(x+1)+2
【答案】B
【分析】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.
【详解】A：f(x+1)−2=2x+1x−1−2=3x−1，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合；
B：f(x+2)−2=2x+3x−2=3x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且3−x=−3x，符合；
C：f(x−2)+2=2x−5x−4+2=4x−13x−4，定义域为{x|x≠4}，不关于原点对称，不符合；
D：f(x+1)+2=2x+1x−1+2=4x−1x−1，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合；
故选：B
4．已知函数fx=x−1x
(1)判断函数fx的奇偶性；
(2)根据定义证明函数fx=x−1x在区间0,+∞上单调递增..
【答案】(1)fx=x−1x为奇函数(2)证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明；
（2）设∀x1,x2∈0,+∞，且x1【详解】（1）函数fx在定义域内为奇函数
证明如下：由已知可得，函数fx的定义域D=−∞,0∪0,+∞
对于∀x∈D，则−x∈D，f−x=−x−1−x=−x+1x=−x−1x=−f(x)
所以fx=x−1x为奇函数.
（2）∀x1,x2∈0,+∞，且x1fx1−fx2=x1−1x1−x2−1x2=x1−x2−1x1+1x2=x1−x21+1x1x2
∵∀x1,x2∈0,+∞，且x1∴x1−x2<0，1+1x1x2>0，x1−x21+1x1x2<0，∴fx1−fx2<0即fx1所以fx=x−1x在区间0,+∞上单调递增.
考查题型二 根据函数的奇偶性求参数的值
1．已知f(x)=ax3+bx+3，f(4)=5，则f−4=（ ）
A．3B．1C．-1D．-5
【答案】B
【分析】构造gx=fx−3，得到gx为奇函数，求出g4=f4−3=2，进而得到g−4=−2，求出f−4.
【详解】设gx=fx−3=ax3+bx，定义域为−∞,0∪0,+∞，
则g−x=a−x3+b−x=−ax3−bx=−gx，故gx为奇函数，
又g4=f4−3=5−3=2，则g−4=−2，所以f−4=g−4+3=−2+3=1.
故选：B
2．已知fx=3x+1x−a3x−1是奇函数，则a=（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【答案】C
【分析】根据奇函数f(0)=0求参数值，注意验证所得参数值是否满足函数为奇函数即可.
【详解】由题设f(0)=(0+1)(0−a)(0−1)=a=0，则fx=x3x+13x−1，
而f−x=−x−3x+1−3x−1=−x(3x−1)(3x+1)=−f(x)满足题设.所以a=0.
故选：C
3．已知函数fx=x3+ax2+bx+c是定义在[2b−5,2b−3]上的奇函数，则f12= ．
【答案】98/1.125
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得a=c=0，进而代入即可求解.
【详解】由题意可知2b−5+2b−3=0，即b=2.
又fx是奇函数，故fx+f−x=0，即x3+ax2+bx+c−x3+ax2−bx+c=0，
∴2ax2+2c=0对任意x都成立，则a=c=0，∴fx=x3+2x.所以f12=18+1=98，
故答案为：98
4．已知f(x)=ax3+x是奇函数，且其定义域为(2a,2−a)，则a的值为 .
【答案】−2
【分析】根据奇函数的性质进行求解即可,
【详解】因为该函数是奇函数，所以2a+2−a=0⇒a=−2，
此时f(x)=−2x3+x⇒f(−x)=−2−x3+−x=−fx，显然为奇函数，
故答案为：−2
5．（1）若fx=(x+a)(x−4)为偶函数，则实数a= ．
（2）已知函数f(x)=x2+x,x≤0ax2+bx,x>0为奇函数，则a+b= ．
【答案】 4 0
【分析】（1）由fx为偶函数，结合f−x=fx，列出方程，即可求解；
（2）由函数f(x)为奇函数，得出方程组f2=−f−2f1=−f−1，即可求解.
【详解】（1）解：因为fx为偶函数，可得f−x=fx，即(−x+a)(−x−4)=(x+a)(x−4)，
整理得x2+(4−a)x−4a=x2+(a−4)x−4a，所以4−a=a−4，解得a=4.
（2）解：由函数f(x)=x2+x,x≤0ax2+bx,x>0为奇函数，可得f2=−f−2f1=−f−1，
即4a+2b=−2a+b=0，解得a=−1,b=1，
当a=−1,b=1时，函数f(x)=x2+x,x≤0−x2+x,x>0，经检验fx为奇函数，
所以a+b=0.
考查题型三 根据函数的奇偶性求解析式
1．函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=−x＋1，则当x＜0时，fx的解析式为（ ）
A．fx=−x+1 B．fx=−x−1 C．fx=x+1 D．fx=x−1
【答案】B
【分析】
当x＜0时−x＞0可将其代入x>0时的解析式求出f−x，再通过奇偶性将其转化为fx即可.
【详解】设x＜0，则−x＞0.
可得f−x=x+1，又函数f(x)是奇函数．∴f(−x)=−fx=x＋1，∴fx=−x−1(x＜0).
故选：B.
2．已知函数fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=−x2+3x，则fx的解析式为 .
【答案】fx=−x2+3x,x≥0−x2−3x,x<0（或fx=−x2+3x）
【详解】根据题意可知，当x<0时，−x>0，则f−x=−−x2+3−x=−x2−3x，
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f−x=fx，
因此当x<0时，fx=−x2−3x，所以fx的解析式为fx=−x2+3x,x≥0−x2−3x,x<0.
故答案为：fx=−x2+3x,x≥0−x2−3x,x<0
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x) =x2+2x．
(1)求出当x>0时，f(x)的解析式；
(2)如图，请补出函数f(x)的完整图象，根据图象直接写出函数f(x)的单调增区间；
(3)结合函数图象，求当x∈−3,1时，函数f(x)的值域．
【答案】(1)fx=−x2+2x；(2)图象见解析，单调增区间为−1,1；(3)−1,3.
【分析】（1）由奇函数的定义求出解析式作答.
（2）由奇函数的图象特征，补全函数f(x)的图象，并求出单调增区间作答.
（3）利用（1）（2）的信息，借助单调性求出最值作答.
【详解】（1）依题意，设x>0，有−x<0，则f(−x)=(−x)2−2x=x2−2x，
因为f(x)为R上的奇函数，因此fx=−f−x=−x2+2x，
所以当x>0时，f(x)的解析式fx=−x2+2x．
（2）由已知及（1）得函数f(x)的图象如下：

观察图象，得函数fx的单调增区间为：−1,1.
（3）当x∈−3,1时，由（1），（2）知，函数fx在[−3,−1]上单调递减，在[−1,1]上单调递增，
当x=−1时，fx有最小值f(−1)=(−1)2+2×(−1)=−1，f(1)=1，
当x=−3时，fx有最大值f(−3)=(−3)2+2×(−3)=3，
所以当x∈−3,1时，函数fx的值域为−1,3.
考查题型四 根据函数的奇偶性和单调性比较大小
1.设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3) C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2)
【答案】A
【分析】利用奇偶性，将自变量化为同一个单调区间比较，再利用单调性比较函数的大小
【详解】∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，且2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．
（多选题）2．已知函数f(x)是偶函数，在区间[1，6]上单调，若f(－3)A．f(1)f(4) C．f(－4)【答案】AD
【分析】利用函数的奇偶性和单调性比较大小
【详情】∵函数f(x)是偶函数，在区间[1，6]上单调，f(－3)f(3)，f(－1)＝f(1)3．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则( )
A．f(－3)【答案】C
【分析】考查函数单调性的定义，利用奇偶性将自变量化为同一个单调区间
【详解】x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0可知：当x1－x2>0时，有f(x1)当x1－x2<0时，有f(x1)>f(x2)，因此当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)单调递减，因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，因为4>3>2，所以f(4)2>1，所以f(3)1>0，所以f(3)考查题型五 根据函数的奇偶性和单调性求不等式
1．设奇函数fx的定义域为−5,5，当x∈0,5时，函数y=fx的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为（ ）

A．2,5 B．−5,−2∪2,5 C．−2,0D．−2,0∪2,5
【答案】D
【分析】根据奇函数的图象特征，即可求解.
【详解】因为函数fx是奇函数，所以y=fx在−5,5上的图象关于坐标原点对称，
由y=fx在x∈0,5上的图象，知它在−5,0上的图象，如图所示，使函数值y<0的x的取值集合为−2,0∪2,5.

故选：D
2．设奇函数fx在0,+∞上为增函数，且f1=0，则不等式fx−f−x<0的解集为（ ）
A．−1,0∪1,+∞ B．−∞,−1∪0,1C．−∞,−1∪1,+∞D．−1,0∪0,1
【答案】C
【分析】数形结合，根据奇偶性以及单调性解不等式.
【详解】奇函数fx在0,+∞上为增函数，
所以fx−f−x=2fx<0，即fx<0，又f1=0，则f−1=0，大致图象如下，

所以当fx<0时，x∈−∞,−1∪0,1.
故选：C.
3．已知fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=x2−4x，则不等式xfx<0的解集为（ ）
A．−∞,−4∪4,+∞ B．−4,0∪4,+∞ C．−4,0∪0,4D．−4,4
【答案】C
【分析】根据题意结合奇函数的性质分析fx的符号，进而解不等式xfx<0.
【详解】当x>0时，令fx=x2−4x=xx−4，
可知：当04时，fx>0；
又因为fx是奇函数，可知：当−40；当x<−4时，fx<0；
对于不等式xfx<0，则x>0fx<0或x<0fx>0，可得−4所以不等式xfx<0的解集为−4,0∪0,4.
故选：C.
4．已知定义在R上的偶函数fx在−∞,0上是减函数，若fa−1>f2−a，则实数a的取值范围是 .
【答案】32,+∞
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解.
【详解】由于fx在−∞,0上是减函数，且fx为偶函数，所以fx在0,+∞上是增函数，
若fa−1>f2−a，则a−1>2−a，平方可得a2−2a+1>4−4a+a2，解得a>32，
故答案为：32,+∞
5．已知函数fx=ax+b1+x2是定义域为−1,1的奇函数，且f(12)=25
(1)求实数a，b的值．
(2)判断fx在−1,1上的单调性，并用定义法证明．
(3)解不等式：ft−1+ft<0.
【答案】(1)a=1,b=0；(2)fx在−1,1上为增函数，证明见解析(3)t0【分析】（1）根据题意列出方程组，求出a=1,b=0；
（2）利用定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论；
（3）根据函数奇偶性和单调性，结合函数定义域得到不等式组，求出解集.
【详解】（1）由题意得f0=b=0f12=12a+b1+14=25，解得a=1,b=0，经验证满足题设；
（2）fx在−1,1上是增函数，
证明如下：在−1,1上任取两数x1,x2且−1则fx1−fx2=x11+x12−x21+x22=x1+x1x22−x2−x2x121+x121+x22=x1−x21−x1x21+x121+x22，
因为−10，1+x12>0,1+x22>0，
故fx1−fx2<0，即fx1（3）fx为奇函数，定义域为−1,1，由ft−1+ft<0得ft−1<−ft=f−t，
∵fx在−1,1上为增函数，∴−1所以原不等式的解集为t0考查题型六 抽象函数的奇偶性
（多选题）1．fx是定义在R上的奇函数，下列结论中正确的是（ ）
A．f−x+fx=0 B．f−x+fx=2fx C．f−x⋅fx≤0D．fxf−x=−1
【答案】AC
【分析】根据奇函数的性质得到f−x=−fx，f0=0，再逐一判断选项即可.
【详解】因为fx是定义在R上的奇函数，所以f−x=−fx，且f0=0，
则f−x+fx=0，所以A选项正确，B选项错误；又f−x⋅fx=−fx2≤0，所以C选项正确；
因为当x=0时，f0=0，此时式子fxf−x无意义，
故选：AC.
2．已知偶函数fx的定义域为R，且在−∞,0上为增函数，则（ ）
①f−x−fx=0；②f−x+fx=0；③f3>f−2>f1；④fx在0,+∞上为减函数．
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性的定义即可判定f−x,fx的关系，奇偶性与部分单调性的综合运用，可以推断整个函数的单调性，继而可以比较函数值的大小.
【详解】因为偶函数fx的定义域为R，
所以f−x=fx，即f−x−fx=0，则①正确，②错误；
因为偶函数fx的定义域为R，且在−∞,0上为增函数，
所以fx在0,+∞上为减函数，
继而f3故选：B.
3．若偶函数fx在0，+∞上单调递减，且f2=0，则不等式fx+f−x3x<0的解集为（ ）
A．−2，2B．−2，0∪2，+∞
C．−∞，−2∪2，+∞D．−∞，−2∪0，2
【答案】B
【分析】先根据函数为偶函数，不等式变形为2fx3x<0，由函数fx在0，+∞上单调递减，且f2=0，求出fx在−∞,0上单调递增，且f−2=0，分x>0与x<0两种情况进行求解，得到答案.
【详解】因为fx为偶函数，所以f−x=fx，
所以fx+f−x3x=2fx3x<0，且x≠0，因为fx在0，+∞上单调递减，且f2=0，
所以fx在−∞,0上单调递增，且f−2=f2=0，当x>0时，则fx<0=f2，故x>2，
当x<0时，则fx>0=f−2，故−2故选：B
4．定义在−∞,0∪0,+∞上的函数y=fx满足fxy=fx−fy．
(1)求f−1的值；
(2)判断函数y=fx的奇偶性并证明.
【答案】(1)f−1=0；(2)fx是偶函数；证明见解析.
【分析】（1）分别令x=y≠0和x=1，y=−1即可得结果；
（2）令y=−1结合偶函数的定义即可得结果.
【详解】（1）令x=y≠0，则f1=fx−fx=0．
再令x=1，y=−1可得f−1=f1−f−1=−f−1，∴f−1=0．
（2）fx是偶函数；证明：令y=−1可得f−x=fx−f−1=fx，∴fx是偶函数．
1．已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，fx=x2−2x.
(1)求出函数fx在R上的解析式；
(2)画出函数fx的图象，并根据图象写出fx的单增区间；
(3)已知gx=f(x)−a有三个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)fx=x2−2x,x>00,x=0−x2−2x,x<0(2)图像见详解，单调增区间：−∞,−1,1,+∞ ；(3)a∈−1,1.
【分析】（1）通过①由于函数fx是定义域为R的奇函数，则f0=0；②当x<0时，−x>0，利用fx是奇函数，f−x=−fx．求出解析式即可；
（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间；
（3）利用函数的图像，直接观察得到a的范围即可．
【详解】（1）①由于函数fx是定义域为R的奇函数，则f0=0；
②当x<0时，−x>0，因为fx是奇函数，所以f−x=−fx．
所以fx=−f−x=−[−x2−2−x]=−x2−2x． 综上：fx=x2−2x,x>00,x＝0−x2−2x,x<0．
（2）函数图像如下所示：
由函数图像可知，函数的单调增区间为−∞,−1和1,+∞．
（3）因为函数gx=fx−a有三个零点，即方程fx=a有三个不同的解，由图像可知， −12．设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx+2=−fx，当x∈0,2时，fx=2x−x2．
(1)求证：fx是周期函数；
(2)当x∈2,4时，求fx的解析式；
(3)计算f0+f1+f2+⋅⋅⋅+f2023．
【答案】(1)证明过程见解析(2)fx=x2−6x+8(3)0
【分析】（1）根据已知等式，利用赋值法进行证明即可；
（2）根据函数的周期性，结合奇函数的性质进行求解即可；
（3）根据函数的周期性进行求解即可.
【详解】（1）fx+2=−fx⇒fx+2+2=−fx+2⇒fx+4=fx，
所以：fx是以4为周期的周期函数；
（2）当x∈−2,0时，因为fx函数是定义在R上的奇函数，
所以fx=−f−x=−[2−x−−x2]=x2+2x，
当x∈2,4时，fx=fx−4=x−42+2x−4=x2−6x+8；
（3）f0=0,f1=1,f2=0,f3=−1，因为函数fx的周期为4，
所以f0+f1+f2+⋅⋅⋅+f2023=506×f0+f1+f2+f3=0.
3．已知函数fx是定义在R上的减函数，并且满足fx+y=fx+fy，f12=−1.
(1)求f0的值；
(2)若fx+f2+2x<−2，求x的取值范围.
【答案】(1)f0=0 (2)−13,+∞
【分析】（1）令x=y=0，可得f(0)的值;
（2）依题意，f(x)+f(2+2x)<−2可转化为f(x+2+2x)【详解】（1）∵f(x)是定义在R上的减函数，并且满足f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，
∴f(0)=0.
（2）由（1）知f(0)=0，
∴令y=−x，得f(−x)+f(x)=f(0)=0，
∴f(−x)=−f(x)(x∈R)，
∴f(x)为R上的奇函数，
又f12=−1，令x=y=12，∴f(1)=f12+f12=−2，
∴f(x)+f(2+2x)<−2⇔f(x)+f(2+2x)∴x+2+2x>1，解得x>−13，
∴x的取值范围为−13,+∞.