高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念精品当堂达标检测题

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考查题型一 判断函数是指数函数
1．下列函数中指数函数的个数是
①y=2x；②y=x2；③y=2x+1；④y=xx；⑤y=（6a–3）x(a>12，a≠23)．
A．0 B．1 C．2D．3
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义即可以判断
【详解】只有①⑤是指数函数；②底数不是常数，故不是指数函数；③y=2x+1=2×2x是2 与指数
y=2x的乘积；④中底数x不是常数，不符合指数函数的定义，所以指数函数的个数是2，故选C．
(多选题) 2.下列函数中，不是指数函数的为( )
A．y＝4x B．y＝2x2 C．y＝ax D．y＝2·(eq \r(2))x
【答案】BCD
【分析】根据指数函数的定义即可以判断
【详解】选项A中底数4>0，所以是指数函数；选项B中指数不是自变量x，所以不是指数函数；选项C中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；选项D中指数式(eq \r(2))x的系数不为1，故不是指数函数，所以不是指数函数．
3.若函数y＝(t-3)ax＋4－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则t＝________，b＝________．
【答案】t=4,b=4
【分析】根据指数函数的定义指数式ax的系数为1,求出参数的值
【详解】t−3=1,4−b=0，得t=4,b=4
考查题型二 已知函数是指数函数，求参数的值
1．函数fx=m2−m−1ax是指数函数，则实数m=（ ）
A．2B．1C．3D．2或−1
【答案】D
【分析】根据指数函数的定义，得m2−m−1=1，即可求解实数m的值.
【详解】由指数函数的定义，得m2−m−1=1，解得m=2或−1，故选D.
(多选题)2．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】ACD
【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出a的值.
【详解】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.
故选：ACD.
考查题型三 求指数函数解析式
1．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,3)) C．f(x)＝(eq \f(1,2))x D．f(x)＝2x
【答案】D；
【分析】将点代入，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，求实数的值；
【详解】设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得a3＝8.∴a＝2.∴f(x)＝2x.
2．已知函数(，且)，若函数的图象过点，求实数a的值；
【答案】；
【分析】将点代入，求实数的值；
【详解】解：据题意，得，或.
又，且，.
3．已知函数f（x）=ax−1（x≥0）的图象经过点，其中a>0且a≠1，求a的值；
【答案】a=；
【分析】将点代入函数解析式即可求出
【详解】由题意得，所以；
考查题型四 求指数函数求值问题
1.已知函数f(x)为指数函数，且f(－eq \f(3,2))＝eq \f(\r(3),9)，则f(－2)＝________．
【答案】eq \f(1,9)
【分析】先求出指数函数的表达式，再根据表达式求值.
【详解】设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(－eq \f(3,2))＝eq \f(\r(3),9)得a－eq \f(3,2)＝eq \f(\r(3),9).所以a＝3.又f(－2)＝a－2，
所以f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9).
2．设函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)为指数函数,且f(2)＝9，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A．eq \f(9,2) B．eq \r(3) C．eq \f(1,2) D．3
【答案】B
【分析】先求出指数函数的表达式，再根据表达式求值.
【详解】∵f(x)＝ax，f(2)＝9，∴a2＝9，又a＞0，∴a＝3，∴f(x)＝3x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(3)，故选D．
3．已知f2x=4x−1，则f4−f2= .
【答案】12
【分析】通过配凑得fx=x2−1，再代入x值即可得到答案.
【详解】f2x=4x−1=2x2−1，则fx=x2−1，
则f4−f2=42−1−22−1=12.故答案为：12.
1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________．
【答案】2
【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出a的值.
【详解】解析： 由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－3a＋3＝1，,a＞0，且a≠1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1或a＝2，,a＞0，且a≠1，))∴a＝2．
故答案是 2
2．已知函数f(x)=32x+2，则f14+f13+f12+f(1)+f32+f53+f74=（ ）
A．212B．214C．7D．152
【答案】B
【解析】先利用解析式计算f(x)+f(2−x)=32，再计算和式即可得到结果.
【详解】因为f(x)=32x+2，
所以f(2−x)=322−x+2=3⋅2x2⋅2x+4，f(x)+f(2−x)=32x+2+3⋅2x22x+2=32.
故f14+f13+f12+f(1)+f32+f53+f74=32×3+32+2=214.
故选：B.
（多选题）3．设指数函数fx=axa>0,a≠1，则下列等式中正确的是（ ）
A．fx+y=fxfyB．fx−y=fxfy
C．fnx=fxnn∈QD．fxyn=fxnfynn∈N+
【答案】ABC
【分析】根据指数幂的运算法则计算等式两边，从而作出判断.
【详解】fx+y=ax+y,fx=ax,fy=ay，
因为ax⋅ay=ax+y，所以fx+y=fxfy，A正确；
fx−y=ax−y，且ay>0恒成立，故ax÷ay=ax−y，故fx−y=fxfy，B正确；
fnx=anx,n∈Q,fxn=axn=anx,n∈Q，故fnx=fxnn∈Q，C正确；
fxyn=axyn=axynn∈N+，
fxnfyn=axnayn=axn⋅ayn=axn+ynn∈N+，
故fxyn≠fxnfynn∈N+，D错误.
故选：ABC