北师大版 (2019)必修 第一册3.2 频率分布直方图优秀同步达标检测题

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考查题型一 绘制频率分布直方图
1．有一个容量为60的样本(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表：
(1)补全表中所剩的空格；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析
【分析】（1）分别计算各分数段的频率与频数，再补表格即可；
（2）分别计算各分数段的频率除以组距的值，然后画出频率分布直方图和频率分布折线图即可.
【详解】（1）根据题意，的频率为；的频率为；
的频率为；的频率为，
频数为；的频数为.
填表如下.
（2）计算的，的，
的，的，
的.
画出的频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.

2．从高三参加数学竞赛的学生中抽取50名学生的成绩，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，8．
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)估计成绩在[60，90）内的学生比例；
(4)估计成绩在80分以下的学生比例．
【答案】(1)答案见解析；(2)作图见解析；(3)74%；(4)60%
【分析】（1）根据题意数据，可直接作出频率分布表；
（2）根据题意数据，可直接作出频率分布直方图与折线图；
（3）成绩在[60,90)分的学生比例即为学生成绩在[60,90)的频率，结合题中数据，即可得出结果.
（4）成绩在80分以下的学生比例即为学生成绩在80分以下的频率，结合题中数据，即可得出结果.
【详解】（1）频率分布表如下：
（2）频率分布直方图和频率分布折线图如图所示，
（3）样本中所求学生的比例为0.20＋0.30＋0.24＝0.74＝74%．
所以估计成绩在[60，90）内的学生占74%．
（4）样本中所求学生的比例为1－（0.24＋0.16）＝1－0.4＝0.6＝60%，
所以估计成绩在80分以下的学生占60%．
3．下面是2016年我国部分主要城市的年平均气温（单位：℃）：
(1)将以上数据进行适当分组，并画出相应的频率分布直方图．
(2)以上各城市年平均气温在，，，中，哪一个范围的最多？
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）根据所给数据画出频率分布表，根据频率分布表画出频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图直接得出结论．
【详解】（1）由题意得，频率分布表如下：
频率分布直方图如图：
（2）由图可知以上各城市年平均气温在的最多．
4．某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．
表1
表2
(1)从A类工人和B类工人中各抽查多少工人？
(2)从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如上表1和表2，先确定x，y，再完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
【答案】(1)A类工人和B类工人分别抽查25名和75名
(2)，，频率分布直方图见解析，B类工人中个体间的差异程度更小
【分析】（1）依据分层抽样原则去计算从A类工人和B类工人中各抽查多少工人即可；
（2）先求得的值，再完成频率分布直方图，并据图分析A类工人与B类工人的差异.
（1）从A类工人中抽查（名）；从B类工人中抽查（名）．
（2）由，得，由，得．
频率分布直方图如图所示：
从频率分步直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．
考查题型二 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
1．在某校举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩分为5组：，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图，已知内的频数是40，则成绩在的学生人数是（ ）

A．25B．20C．18D．15
【答案】D
【分析】利用频率分布直方图的相关公式计算即可.
【详解】依题意，设学生总人数为，
因为的频数是，所以，解得，
则成绩在的学生人数是.
故选：D.
2．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图（如图所示），则a的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.
【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为，
则，解得.
故选：C.
3．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】利用小矩形的面积之和为，求出，再求出三组内的学生总数，根据抽样比即可求解.
【详解】直方图中各个小矩形的面积之和为，
，解得，
由直方图可知三个区域内的学生总数为
，
其中身高在[140，150]内的学生人数为.
故选：A
4．为了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况．将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为4，则我校报考飞行员的学生总人数是（ ）
A．40B．32C．28D．24
【答案】B
【分析】求解后两个组频率，再根据前3个小组的频率之比为1：2：3可得前三组的频率，进而根据第1小组的频数为4求解即可.
【详解】由图可知后两个组频率为，从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，
所以第1小组的频率为，第1小组的频数为4，
所以报考飞行员的学生人数是.
故选：B
5．在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．估计该校有的学生在2小时内完成课后作业
B．抽取的学生中有10人不能在4小时内完成课后作业
C．抽取学生课后完成作业时间的100个数据的中位数在区间内
D．抽取学生课后完成作业时间的100个数据的众数一定在区间内
【答案】B
【分析】根据频率分布直方图得数字特征逐项判断即可.
【详解】估计该校在2小时内完成作业的学生占比是，故A错误；
抽取的学生不能在4小时内完成课后作业的人数是（人），故B正确；
抽取学生课后完成作业时间的100个数据中，第一、第二、第三组频率和为，前四组频率和为，
所以中位数在区间内，故C错误；
抽取学生课后完成作业时间的100个数据的众数不能由直方图确定，故D错误.
故选：B.
考查题型三 利用频率分布直方图解决实际问题
1．据媒体报道：某市今年前4个月空气质量为优良．某中学数学兴趣小组据此提出了“今年究竟能有多少天空气质量达到优良”的问题．他们上网查询环境保护部公布的环境空气质量标准，得到下表所示的空气质量指数分级相关信息：
空气质量指数分级
他们同时查询市环保监测站提供的资料，并从数据中随机抽取了今年1—4月份中30天的空气质量指数．
某市30天空气质量指数：
(1)根据空气分级质量标准和抽查的空气质量指数，绘制频率分布直方图．
(2)试根据频率分布直方图，估计该市今年1-4月（按120天计算）空气质量是优良（包括一、二级）的天数，并评估该市的空气质量水平．到互联网查找资料，与全国其他城市比较，该市空气质量处于什么水平？
【答案】(1)频率分布直方图见解析；(2)88天，优良，处于居中靠前的位置.
【分析】（1）作出频率分布表，求出，按频率分布直方图的作图方法作图即可.
（2）该市今年1-4月(按120天计算)空气质量是优良(包括一、二级)的天数为频率分布直方图里面第一二组频率之和乘120；根据频率分布直方图求出空气质量指数的平均数即可评估该市空气质量水平.
【详解】（1）根据某市30天空气质量指数的数据统计：
频率分布直方图如图所示：

（2）估计该市今年1-4月(按120天计算)空气质量是优良(包括一、二级)的天数为：
（天），
该市空气质量指数的平均值为：
，
故该市空气质量水平优良，在全国处于居中靠前的位置.
2．为了响应政府号召，增加农民收入，某村委会指导当地村民在果园里进行生态鸡的养殖，在2023年8月初，为了解所养殖的生态鸡的质量（单位；kg）情况，养殖负责人随机抓取了一部分鸡进行称重，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），以样本估计总体．

(1)求养殖的生态鸡的质量的平均值．
(2)该地现养殖有5000只鸡，为了减轻养殖的压力，养殖负责人计划卖掉一部分鸡，另一部分计划春节再卖掉．若现在卖掉，价格为20元/kg，到春节卖掉，预估价格为22元/kg．现有以下两种方案：
方案一：体重不低于2.5kg的现在卖掉，其余的养殖到春节再卖掉，剩余的鸡平均每只需要10元养殖费用，到春节时，平均质量可以达到2.5kg；
方案二：体重不低于2kg的现在卖掉，其余的养殖到春节再卖掉，剩余的鸡平均每只需要10元养殖费用，到春节时，平均质量可以达到3kg．
从经济收益的角度来看，选择哪种方案更合适？
【答案】(1)2.25；(2)选择方案二的经济收益更高
【分析】（1）利用频率分布直方图求出平均数；
（2）计算出方案一和方案二的总收益，比较后得到结论.
【详解】（1）养殖的生态鸡的质量的平均值为．
（2）方案一：现在卖掉的鸡的数量为（只），
现在卖鸡的收益为（元），
春节卖鸡的收益为（元），
总收益为（元）；
方案二：现在卖掉的鸡的数量为（只），
现在卖鸡的收益为（元），
春节卖鸡的收益为（元），
总收益为（元）．
由可知，选择方案二的经济收益更高．
3．某研究小组发现某药物X对神经冲动的产生有明显的抑制作用，称为“麻醉”.该研究小组进行大量实验，刺激突触前神经元时，记录未加药物X和加药物X后突触前神经元的动作电位（单位：mV），在大量实验后，得到如下频率分布直方图.

利用动作电位的指标定一个判断标准，需要确定一个临界值c.当动作电位小于c时判定为“麻醉”，大于或等于c时判定为“未麻醉”.该检测漏判率是将添加药物X的被判定为“未麻醉”的概率，记为；误判率是将未添加药物X的被判定为“麻醉”的概率，记为.
(1)当漏判率为时，求临界值c；
(2)令函数，当时，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据题意由第二个频率分布直方图的频率可求出；
（2）根据题意得出的解析式，再根据一次函数的单调性即可求解.
【详解】（1）依题可知，漏判率为，
右边第二个频率分布直方图图形中后两个小矩形的面积分别为，
因为，所以，所以，解得；
（2）当时，，
因为函数在上单调递增，所以，
所以在区间的最小值为.
4．九洪某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在，，，，（单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示：

(1)估计这组数据的平均数；
(2)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜20000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有香瓜以10元/千克收购；
方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购．
请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
【答案】(1)克；(2)选择方案②获利更多.
【分析】（1）根据区间的频率和区间的中点的坐标即可求得这组数据的平均数；
（2）根据两个不同方案分别进行求解计算再判断即可.
【详解】（1）
故这组数据的平均数估计为克.
（2）方案①收入：（元）；
方案②收入：
（元）；
由于，所以选择方案②获利更多.
1．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（ ）
A．27B．48C．54D．64
【答案】C
【分析】根据题中信息计算出第三、第四组的频数，将第三组和第四组的频数相加可得出的值.
【详解】前两组的频数之和为，第四组的频数为，
后五组的频数之和为，所以，前三组的频数之和为，
故第三组的频数为，因此.
故选：C.
2．习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一和高二年级每周在校体育锻炼时长进行了统计，得到数据（单位：小时）如下：
高一年级在校体育锻炼时长
关于高一和高二年级在校体育锻炼时长，下列说法正确的是（ ）
A．高一年级时长的众数比高二年级的大
B．高一年级时长的平均数比高二年级的小
C．高一年级时长的中位数比高二年级的大
D．高一年级时长的方差比高二年级的大
【答案】BD
【分析】根据频率分布表和频率分布直方图所提供的数据计算各数据特征并判断．
【详解】由题意，高一众数估计是3.5，高二众数估计是4.5，A错；
高一的均值为，
高二的均值为，B正确；
高一前两组频率和为，因此中位数小于4，高二前两组频率和为，中位数大于4，C错；
高一方差为
，
高二方差为
，
D正确．
故选：BD．
3．近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁．多项技术已经“遥遥领先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片生产商用某国产光刻机生产的型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种芯片的某项指标的频率分布如图所示：

若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品应用于A型手机，小于或等于的产品应用于型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)求型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数；
(2)当临界值时，求型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率；
(3)已知，现有足够多的型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型于机、型手机各1万部的生产：
方案一：直接将型芯片Ⅰ级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致芯片生产商每部手机损失700元；直接将型芯片Ⅱ级品应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失300元；
方案二：重新检测型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；
请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
【答案】(1)第70百分位数为86；(2)；(3)答案见解析．
【分析】（1）在Ⅰ级品频率分布直方图中求出频率对应的值即得；
（2）在Ⅰ级品频率分布直方图中求出的频率即得；
（3）用表示出方案一的损失值与方案二的缺失值101万元比较可得．
【详解】（1）设型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数为，
则该指标在80以下的榞率为0.55，该指标在90以下的概率为0.8，因此该项指标的第70百分位数为一定在内，
，
（也可以用），
得，
所以型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数为86；
（2）当临界值时，
型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率为；
（3）设直接将型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品应用于A型、型手机时，该芯片生产商支出为（万元），
，
所以当时，，
当时，，
当时， ，
综上：为降低芯片生产商的成本，当临界值时，选择方案二；
当临界值时，选择方案一和方案二均可；
当临界值时，选择方案一．
分组
频数
3
6
12
频率
0.3
分组
频数
3
6
12
21
18
频率
0.05
0.1
0.2
0.35
0.3
成绩分组
频数
频率
[40，50）
2
0.04
[50，60）
3
0.06
[60，70）
10
0.20
[70，80）
15
0.30
[80，90）
12
0.24
[90，100]
8
0.16
合计
50
1.00
城市
年平均气温
城市
年平均气温
城市
年平均气温
城市
年平均气温
北京
13.8
上海
17.6
武汉
17.3
昆明
15.8
天津
13.8
南京
16.8
长沙
17.5
拉萨
9.5
石家庄
14.6
杭州
18.2
广州
21.9
西安（泾河）
15.8
太原
11.2
合肥
17.0
南宁
22.3
兰州（皋兰）
8.2
呼和浩特
7.1
福州
21.0
海口
24.6
西宁
6.6
沈阳
8.8
南昌
19.0
重庆（沙坪坝）
19.5
银川
10.7
长春
6.6
济南
15.4
成都（温江）
16.8
乌鲁木齐
8.4
哈尔滨
5.0
郑州
16.4
贵阳
15.3
温度
频数
频率
频率/组距
，
8
0.258
0.0516
5
0.161
0.0322
14
0.452
0.0904
4
0.129
0.0258
生产能力分组
人数
4
8
x
5
3
生产能力分组
人数
6
y
36
18
空气质量指数
空气质量级别
一级（优）
二级（良）
三级（轻度污染）
空气质量指数
大于300
空气质量级别
四级（中度污染）
五级（重度污染）
六级（严重污染）
30
32
40
42
45
45
77
83
85
87
90
113
127
153
132
98
65
50
53
57
64
66
77
92
98
130
46
150
187
201
区间
频数
频率
8
0.2666
0.005332
14
0.4667
0.009334
5
0.1667
0.003334
2
0.0667
0.001334
1
0.0333
0.000666
分组
频率
0.25
0.30
0.20
0.25