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数学必修 第一册4.1 样本的数字特征精品课后作业题
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这是一份数学必修 第一册4.1 样本的数字特征精品课后作业题，文件包含北师大版数学高一必修第一册41样本的数字特征分层练习原卷版docx、北师大版数学高一必修第一册41样本的数字特征分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
考查题型一 已知一组数据，求这组数据的数字特征
1．假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是 （ ）
A．5，6B．6，4C．6，5D．6，6
【答案】D
【分析】由小到大排列给定数据组，再利用众数与中位数的意义求解即得.
【详解】依题意，原数据组由小到大排列为：3，4，5，6，6， 6，8，
所以这组数据的众数与中位数分别是6，6.
故选：D
2．有6位同学一次数学测验分数分别是：125，130，130，132，140，145，则这组数据的中位数是（ ）
A．130B．132C．131D．140
【答案】C
【分析】由中位数计算方法可得答案.
【详解】因一共有6个数据，且已进行排序，则中位数为第3个与第4个数据的平均数，即为.
故选：C
3．已知一组样本数据按从小到大的顺序排列为，这组数据的平均数与中位数均为4，则其方差为 .
【答案】
【分析】由中位数和平均数计算出，然后由方差公式计算．
【详解】已知一组样本数据按从小到大的顺序排列为，
∵这组数据的中位数为4，∴，∴，
∴这组数据的平均数是，∴，
∴这组数据的方差是．
故答案为：．
4．一组数据2，4，5，，7，9的众数是2，则这组数据的中位数是 .
【答案】
【分析】根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义进行求解即可.
【详解】因为一组数据2，4，5，，7，9的众数是2，所以，这一组数据从小到大排列为：
2，2，4，5， 7，9，因此这一组数据的中位数为：.
故答案为：
考查题型二 利用频率分布直方图求数字特征
1．为了解开学后大学生的身体健康状况，2023年寒假开学后，某学校统计了学生在假期间每天的学习时间（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到下图所示的频率分布直方图.图中数值是公差为0.002的等差数列，则估计样本数据的中位数为（ ）
A．120B．125C．160D．165
【答案】C
【分析】由已知结合图象，列出方程组，求出的值.然后根据频率分布直方图，计算可得前4个小矩形的面积之和为，即可得出答案.
【详解】由题意，，解得，
所以，前4个小矩形的面积之和为，
所以中位数为160.
故选：C.
（多选题）2．实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径.某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.已知样本中的人数为20人，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为1600人
D．估计该样本数据的平均数为74
【答案】ABD
【分析】根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1求解a判断A，根据第二组的频数及频率即可求解判断B，
根据社会实践时间在60分钟以上的频率求得人数判断C，根据频率分布直方图中平均数计算公式求解判断D.
【详解】由，得，故A正确；
因为样本中的人数为20人，所以，得，故B正确；
因为全校社会实践时间在60分钟以上的频率为0.9，
所以全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为，故C错误；
平均数为：，故D正确；
故选：ABD
（多选题）3．从树人小学二年级学生中随机抽取100名学生，将他们的身商（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图如图，则（ ）
A．
B．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高为124.5cm
C．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的中位数为122.5cm
D．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的众数为120cm
【答案】AB
【分析】根据频率分布直方图中所有频率和为1计算出，然后确定均值、中位数、众数：直方图中最高的小长方形中点的横坐标，中位数就是频率分布直方图面积的一半所对应的值，即中位数两边的小长方形面积和都是0.5，平均数为每个小长方形面积与小长方形中点横坐标乘积之和．
【详解】由题意，，A正确；
均值为，B正确；
设中位数是，由直方图可知其在第3三组，则，，C错；
众数是115，D错；
故选：AB．
4．2022年11月卡塔尔世界杯如期举行，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m= .
【答案】
【分析】根据中位数之前的矩形面积之和对于列方程求解即可.
【详解】由题可知，，解得.
故答案为：
5．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式.某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中
的值；
(2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数．
【答案】(1)；(2)，
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质计算即可；
（2）利用频率分布直方图求平均数及中位数的公式计算即可.
【详解】（1）由题意知：，
即．
（2）由频率分布直方图可知：
平均数为：
前3组的频率为，所以中位数为．
考查题型三 平均数、方差的性质
1．已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．3，4B．2，8C．2，4D．5，8
【答案】D
【分析】根据平均数和方差的性质运算求解.
【详解】由题意可得：数据，，，的平均数为，方差是.
故选：D.
2．有一组样本数据，，，，加入一组新数据，，，，其中，且，则关于加入后的数据的描述正确的是（ ）
A．加入后的数据的中位数变大了 B．加入后的数据的极差变大了
C．加入后的数据的平均数没变 D．加入后的数据的方差可能没变
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合极差、中位数、平均数的定义，判断出加入后数据的极差、中位数、平均数变化不确定；当取，时，即可求解.
【详解】由于，且，，的值不确定，因此中位数、平均数、极差的变化不确定；
对于，取，，则方差没变.
故选：.
3．已知，，...，的平均数为10，标准差为2，则，，...，的平均数和标准差分别为（ ）
A．19和2B．19和4C．19和8D．19和16
【答案】B
【分析】根据平均数和方差的性质求解.
【详解】已知，，...，的平均数为10，标准差为2，方差为4，
则，，...，的平均数为，方差为，标准差为4.
故选：B.
（多选题）4．一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.
【详解】若一组数据的平均数为，方差为，
则新数据的平均值为，方差为.
故选：CD
（多选题）5．若的平均数为3，方差为4，则的（ ）
A．平均数为1B．方差为1 C．平均数为 D．方差为2
【答案】AB
【分析】利用均值和方差的性质求解新的均值和方差.
【详解】若的平均数为，方差为，
则的平均数为，方差为，
令，，解得，．
故选：AB
1．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为 .
【答案】11
【分析】样本数据的平均数结合方差公式可得，于是，结合平均数的性质分析可得答案．
【详解】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，
其方差
，又，
则有，解得，则样本数据、、、、的平均数为；
故答案为：11．
2．设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．
【详解】数据，，，的平均数为，方差为，
所以，，即，则，
因为，所以，因函数在上单调递减，
故当时，的最大值是．
故答案为：．
（多选题）3．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（ ）
A．营业收入增速的中位数为B．营业收入增速极差为
C．利润总额增速越来越小D．利润总额增速的平均数大于
【答案】ABD
【分析】根据表中数据逐项进行检验即可求解.
【详解】由表中数据易知营业收入增速的中位数为，故选项正确；
营业收入增速的极差为，故选项正确；
利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项错误；
利润总额增速的平均数
，故选项正确；
故选：.
（多选题）4．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ）
甲地：总体平均数为2，且标准差； 乙地：中位数为2，极差为；
丙地：总体平均数，且极差； 丁地：众数为1，且极差．
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
【答案】BCD
【分析】对于甲地，取特殊值满足条件代入即可知甲地不符合该标志，对于乙地和丙地，采用反证法即可知这两地符合该标志，对于丁地，由众数为1，且极差即可知所有数据不会超过5，即丁地符合.
【详解】甲地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2，标准差
，但不符合该标志，即A错误；
乙地：若中位数为2可知7天新增数据的最小值小于等于2，又由极差为可得最大值小于等于5，
即不可能有哪天的疑似病例超过5人，符合该标志，即B正确；
丙地：由极差可知，若某天疑似病例超过5人，此时7天新增数据的最小值大于等于3，那么总体平均数就不可能成立，
所以每天新增疑似病例不超过5人，符合该标志，即C正确；
丁地：因为众数为1，且极差，所以新增疑似病例的最大值小于等于，所以符合该标志，即D正确.
故选：BCD
5．某城市户居民的月平均用水量（单位：吨），以分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中的值；并估计出月平均用水量的众数．
(2)求月平均用水量的中位数及平均数；
(3)在月平均用水量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在这一组的用户中抽取多少户？
【答案】(1)x=0.075；众数为；(2)中位数为6.4；平均数为；(3)4(户)
【分析】（1）根据频率和为1，即可求，根据最高矩形数据的中点求众数；
（2）根据频率分布直方图求平均数和中位数；
（3）按照这一组所占比例，计算抽取的户数.
【详解】（1）根据频率和为1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1，
解得x=0.075；由图可知，最高矩形的数据组为[6，8)，所以众数为；
（2）[2，6)内的频率之和为
(0.02+0.095+0.11)×2=0.45；
设中位数为y，则0.45+(y−6)×0.125=0.5，
解得y=6.4，∴中位数为6.4；
平均数为
（3）月平均用电量为的用户在四组用户中所占的比例为
，
∴月平均用电量在的用户中应抽取22×=4(户)．
考查题型一 已知一组数据，求这组数据的数字特征
1．假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是 （ ）
A．5，6B．6，4C．6，5D．6，6
【答案】D
【分析】由小到大排列给定数据组，再利用众数与中位数的意义求解即得.
【详解】依题意，原数据组由小到大排列为：3，4，5，6，6， 6，8，
所以这组数据的众数与中位数分别是6，6.
故选：D
2．有6位同学一次数学测验分数分别是：125，130，130，132，140，145，则这组数据的中位数是（ ）
A．130B．132C．131D．140
【答案】C
【分析】由中位数计算方法可得答案.
【详解】因一共有6个数据，且已进行排序，则中位数为第3个与第4个数据的平均数，即为.
故选：C
3．已知一组样本数据按从小到大的顺序排列为，这组数据的平均数与中位数均为4，则其方差为 .
【答案】
【分析】由中位数和平均数计算出，然后由方差公式计算．
【详解】已知一组样本数据按从小到大的顺序排列为，
∵这组数据的中位数为4，∴，∴，
∴这组数据的平均数是，∴，
∴这组数据的方差是．
故答案为：．
4．一组数据2，4，5，，7，9的众数是2，则这组数据的中位数是 .
【答案】
【分析】根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义进行求解即可.
【详解】因为一组数据2，4，5，，7，9的众数是2，所以，这一组数据从小到大排列为：
2，2，4，5， 7，9，因此这一组数据的中位数为：.
故答案为：
考查题型二 利用频率分布直方图求数字特征
1．为了解开学后大学生的身体健康状况，2023年寒假开学后，某学校统计了学生在假期间每天的学习时间（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到下图所示的频率分布直方图.图中数值是公差为0.002的等差数列，则估计样本数据的中位数为（ ）
A．120B．125C．160D．165
【答案】C
【分析】由已知结合图象，列出方程组，求出的值.然后根据频率分布直方图，计算可得前4个小矩形的面积之和为，即可得出答案.
【详解】由题意，，解得，
所以，前4个小矩形的面积之和为，
所以中位数为160.
故选：C.
（多选题）2．实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径.某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.已知样本中的人数为20人，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为1600人
D．估计该样本数据的平均数为74
【答案】ABD
【分析】根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1求解a判断A，根据第二组的频数及频率即可求解判断B，
根据社会实践时间在60分钟以上的频率求得人数判断C，根据频率分布直方图中平均数计算公式求解判断D.
【详解】由，得，故A正确；
因为样本中的人数为20人，所以，得，故B正确；
因为全校社会实践时间在60分钟以上的频率为0.9，
所以全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为，故C错误；
平均数为：，故D正确；
故选：ABD
（多选题）3．从树人小学二年级学生中随机抽取100名学生，将他们的身商（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图如图，则（ ）
A．
B．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高为124.5cm
C．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的中位数为122.5cm
D．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的众数为120cm
【答案】AB
【分析】根据频率分布直方图中所有频率和为1计算出，然后确定均值、中位数、众数：直方图中最高的小长方形中点的横坐标，中位数就是频率分布直方图面积的一半所对应的值，即中位数两边的小长方形面积和都是0.5，平均数为每个小长方形面积与小长方形中点横坐标乘积之和．
【详解】由题意，，A正确；
均值为，B正确；
设中位数是，由直方图可知其在第3三组，则，，C错；
众数是115，D错；
故选：AB．
4．2022年11月卡塔尔世界杯如期举行，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m= .
【答案】
【分析】根据中位数之前的矩形面积之和对于列方程求解即可.
【详解】由题可知，，解得.
故答案为：
5．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式.某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中
的值；
(2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数．
【答案】(1)；(2)，
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质计算即可；
（2）利用频率分布直方图求平均数及中位数的公式计算即可.
【详解】（1）由题意知：，
即．
（2）由频率分布直方图可知：
平均数为：
前3组的频率为，所以中位数为．
考查题型三 平均数、方差的性质
1．已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．3，4B．2，8C．2，4D．5，8
【答案】D
【分析】根据平均数和方差的性质运算求解.
【详解】由题意可得：数据，，，的平均数为，方差是.
故选：D.
2．有一组样本数据，，，，加入一组新数据，，，，其中，且，则关于加入后的数据的描述正确的是（ ）
A．加入后的数据的中位数变大了 B．加入后的数据的极差变大了
C．加入后的数据的平均数没变 D．加入后的数据的方差可能没变
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合极差、中位数、平均数的定义，判断出加入后数据的极差、中位数、平均数变化不确定；当取，时，即可求解.
【详解】由于，且，，的值不确定，因此中位数、平均数、极差的变化不确定；
对于，取，，则方差没变.
故选：.
3．已知，，...，的平均数为10，标准差为2，则，，...，的平均数和标准差分别为（ ）
A．19和2B．19和4C．19和8D．19和16
【答案】B
【分析】根据平均数和方差的性质求解.
【详解】已知，，...，的平均数为10，标准差为2，方差为4，
则，，...，的平均数为，方差为，标准差为4.
故选：B.
（多选题）4．一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.
【详解】若一组数据的平均数为，方差为，
则新数据的平均值为，方差为.
故选：CD
（多选题）5．若的平均数为3，方差为4，则的（ ）
A．平均数为1B．方差为1 C．平均数为 D．方差为2
【答案】AB
【分析】利用均值和方差的性质求解新的均值和方差.
【详解】若的平均数为，方差为，
则的平均数为，方差为，
令，，解得，．
故选：AB
1．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为 .
【答案】11
【分析】样本数据的平均数结合方差公式可得，于是，结合平均数的性质分析可得答案．
【详解】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，
其方差
，又，
则有，解得，则样本数据、、、、的平均数为；
故答案为：11．
2．设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．
【详解】数据，，，的平均数为，方差为，
所以，，即，则，
因为，所以，因函数在上单调递减，
故当时，的最大值是．
故答案为：．
（多选题）3．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（ ）
A．营业收入增速的中位数为B．营业收入增速极差为
C．利润总额增速越来越小D．利润总额增速的平均数大于
【答案】ABD
【分析】根据表中数据逐项进行检验即可求解.
【详解】由表中数据易知营业收入增速的中位数为，故选项正确；
营业收入增速的极差为，故选项正确；
利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项错误；
利润总额增速的平均数
，故选项正确；
故选：.
（多选题）4．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ）
甲地：总体平均数为2，且标准差； 乙地：中位数为2，极差为；
丙地：总体平均数，且极差； 丁地：众数为1，且极差．
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
【答案】BCD
【分析】对于甲地，取特殊值满足条件代入即可知甲地不符合该标志，对于乙地和丙地，采用反证法即可知这两地符合该标志，对于丁地，由众数为1，且极差即可知所有数据不会超过5，即丁地符合.
【详解】甲地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2，标准差
，但不符合该标志，即A错误；
乙地：若中位数为2可知7天新增数据的最小值小于等于2，又由极差为可得最大值小于等于5，
即不可能有哪天的疑似病例超过5人，符合该标志，即B正确；
丙地：由极差可知，若某天疑似病例超过5人，此时7天新增数据的最小值大于等于3，那么总体平均数就不可能成立，
所以每天新增疑似病例不超过5人，符合该标志，即C正确；
丁地：因为众数为1，且极差，所以新增疑似病例的最大值小于等于，所以符合该标志，即D正确.
故选：BCD
5．某城市户居民的月平均用水量（单位：吨），以分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中的值；并估计出月平均用水量的众数．
(2)求月平均用水量的中位数及平均数；
(3)在月平均用水量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在这一组的用户中抽取多少户？
【答案】(1)x=0.075；众数为；(2)中位数为6.4；平均数为；(3)4(户)
【分析】（1）根据频率和为1，即可求，根据最高矩形数据的中点求众数；
（2）根据频率分布直方图求平均数和中位数；
（3）按照这一组所占比例，计算抽取的户数.
【详解】（1）根据频率和为1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1，
解得x=0.075；由图可知，最高矩形的数据组为[6，8)，所以众数为；
（2）[2，6)内的频率之和为
(0.02+0.095+0.11)×2=0.45；
设中位数为y，则0.45+(y−6)×0.125=0.5，
解得y=6.4，∴中位数为6.4；
平均数为
（3）月平均用电量为的用户在四组用户中所占的比例为
，
∴月平均用电量在的用户中应抽取22×=4(户)．
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