北师大版 (2019)必修 第一册4.3 百分位数精品课时练习
展开1.某科技攻关青年团队共有8人,他们的年龄分别是29,35,40,36,38,30,32,41,则这8人年龄的25%分位数是 .
【答案】31
【分析】先排序,再计算,然后可得.
【详解】把这8个数据按从小到大的顺序排列可得:29,30,32,35,36,38,40,41,
计算8×25%=2,所以这8人年龄的25%分位数是.
故答案为:31
2.一组数据按从小到大排列为,若该组数据的第60百分位数是众数的倍,则这组数据的平均数是( )
A.4B.5C.6D.7
【答案】B
【分析】按百分位数和平均数的定义计算即可.
【详解】由题意该组数据共7个数,,故第60百分位数为从小到大第5个数 ,又众数为4,故 ,故该组数据的平均数为,
故选:B
(多选题)3.一组数据从小到大为5,6,7,8,,11,若这组数据的平均数是8,则( )
A.B.极差为6C.40%分位数为7D.方差为5
【答案】BC
【分析】根据数据的平均数、极差、百分位数、方差的概念逐项求解判断即可.
【详解】由题得,所以,所以A错误;
根据定义极差为,所以B正确;
因为,40%分位数为7,所以C正确;
根据方差公式,方差为,所以D错误.
故选:BC.
4.已知一组数据按从小到大的顺序排列为:23,28,30,x,34,39,且其中位数是31,则数据的第50百分位数是 .
【答案】31
【分析】利用中位数的性质求x,再由百分位数的定义可知数据的第50百分位数是数据第三位和第四位的平均数.
【详解】一组数据按从小到大的顺序排列为:23,28,30,x,34,39,且其中位数是31,
故 = 31,解得.
,数据的第50百分位数是.
故答案为:.
考查题型二 利用频率分布直方图求百分位数
(多选题)1.党的二十大报告提出,要加快发展数字经济,促进数字经济与实体经济的深度融合,数字化构建社区服务新模式成为一种时尚.某社区为优化数字化社区服务,问卷调查调研数字化社区服务的满意度,满意度采用计分制(满分100分),统计满意度绘制成如下频率分布直方图,图中.则下列结论正确的是( )
A.
B.满意度计分的众数为80分
C.满意度计分的分位数是85分
D.满意度计分的平均分是76.5
【答案】ACD
【分析】根据频率之和为1即可求解A,根据众数,中位数以及平均数的计算即可分别求解BCD.
【详解】由频率分布直方图可知,即,
又,所以,所以选项正确;
满意度计分的众数为75分,所以选项错误;
前三组的频率之和为0.75,
前四组的频率之和为,则分位数,
故,满意度计分的分位数为85,所以选项正确;
满意度计分的平均分为:分,所以选项D正确.
故选:ACD.
(多选题)2.某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动,选取了人参与问卷调查,将他们的成绩进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),得到如图所示的频率分布直方图,且成绩落在的人数为10,则( )
A.
B.
C.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,则问卷调查成绩的平均数低于70
D.问卷调查成绩的80%分位数的估计值为85
【答案】ABD
【分析】根据所有小矩形面积之和为1,即可判断A;根据在的频率为0.1,由,即可判断B;利用小矩形面积乘以组区间的中点值计算即可判断C;利用百分位数的求法可判断D.
【详解】由图可知.,解得,
则成绩在的频率为0.1,由,得,A,B正确;
问卷调查成绩的平均数为,C不正确.
因为,
所以问卷调查成绩的分位数在内,设问卷调查成绩的分位数为,
则,解得,D正确.
故选:ABD.
(多选题)3.在某市高三年级举行的一次模拟考试中,某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况,从中随机抽取了100名学生的成绩(成绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,并按照的分组作出频率分布直方图如图所示.则下列说法正确的是( )
A.样本的众数为70
B.样本的分位数为78.5
C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D.该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
【答案】BC
【分析】样本的众数应是区间中点75,故选项A错误.设样本的分位数为t,通过计算可判断t在区间内,计算区间,,所对应的矩形面积之和为0.8,即可求得样本的分位数为78.5,故选项B正确. 根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C正确.用样本中低于60分的频率估计总体频率,即可判断选项D错误.
【详解】对于选项A,样本的众数应是区间中点75,故选项A错误.
对于选项B,设样本的分位数为t,
因为左边两个矩形面积和为,
左边三个矩形面积和为.
因此t在区间内,所以,
解得,故选项B正确.
对于选项C,用样本平均分估计总体平均分,而样本的平均分为,故选项C正确.
对于选项D,样本中低于60分的学生的频率为,估计总体中低于60分的学生的人数约为,故选项D错误.
故答案为:BC.
(多选题)4.某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心,技能动天下”的文创大赛,随机抽取了400名学生进行成绩统计,将数据按照分成5组,制成如图所示的频率分布直方图,下列说法正确的是( )
A.被抽取的400名学生成绩的极差为50
B.在被抽取的学生中,成绩在内的学生有280人
C.以每组区间的中点值估计全校学生的平均成绩为85分
D.估计全校学生成绩的分位数为95
【答案】BD
【分析】结合频率分布直方图计算数据的极差、平方数、百分位数及估计总体即可.
【详解】由题意可知抽取学生的成绩在区间内,
但不一定最低分为50,最高分为100,故A错误;
根据频率分布直方图可知,
所以分数在的有人,故B正确;
平均成绩为,
故C错误;
易知全校学生成绩的分位数在区间内,
可得,故D正确.
故选:BD
5.村BA全称是“当丽乡村”篮球联赛,近几个月以来,广东各地村居篮球联赛众多.村BA以篮球为纽带,掀起乡村体育热潮,大力促进全民健身和乡村振兴的发展.某村BA球队对最近50场比赛的得分进行了统计,将数据按,分为4组,画出的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)若该球队准备对得分排名前的比赛进行宣传,试估计被宣传的比赛得分不低于多少
【答案】(1);(2)
【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程,解得即可;
(2)计算第百分位数,即可得解.
【详解】(1)由频率分布直方图可得,解得.
(2)因为,
,
所以第百分位数位于之间,设为,
则,解得,
所以被宣传的比赛得分不低于.
(多选题)1.已知互不相同的30个样本数据,若去掉其中最大和最小的数据,设剩下的28个样本数据的方差为,平均数为;去掉的两个数据的方差为,平均数为﹔原样本数据的方差为,平均数为,若=,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
【答案】ABD
【分析】对于A选项,求出剩下的28个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和,列出方程即可;
对于B选项,写出和的表达式即可;
对于C选项,根据中位数定义判断即可;
对于D选项,根据分位数定义判断即可.
【详解】A. 剩下的28个样本数据的和为,去掉的两个数据和为,原样本数据和为,所以,因为=,所以,故A选项正确;
B.设,,
因为,所以,所以,
所以,故B选项正确;
C. 剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数,故C选项错误;
D.去掉2个数据,则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数,故D正确.
故选:ABD.
2.某面包店记录了最近一周A,B两种口味的面包的销售情况,如表所示:
(1)试比较最近一周A,B这两种口味的面包日销量的第60百分位数的大小.
(2)该面包店店主将在下一周每天都制作n个A口味的面包,假设下一周A口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致,每个面包当天卖出可获利6元,当天未售出则将损失5元,从,15,16中选一个,你应该选择哪一个?说明你的理由.
【答案】(1)A口味的面包日销量的第60百分位数大于B口味的面包日销量的第60百分位数
(2)应该选择,理由见解析
【分析】(1)利用百分位数的定义求解即可;
(2)依题意分别求得,15,16时,面包店店主下一周A口味的面包可获利的金额,进而进行比较即可得解.
【详解】(1)最近一周A口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为10,12,13,14,16,18,19.
因为,所以A口味的面包日销量的第60百分位数为16;
最近一周B口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为9,10,12,13,14,18,20,
所以B口味的面包日销量的第60百分位数为14;
故最近一周A口味的面包日销量的第60百分位数大于B口味的面包日销量的第60百分位数.
(2)当时,下一周A口味的面包可获利
元;
当时,下一周A口味的面包可获利
元;
当时,下一周A口味的面包可获利
元;
因为,所以应该选择.
3.某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策,拟实行5G网络流量阶梯定价,每人月用流量中不超过一种流量计算单位的部分按元收费,超过kGB的部分按2元收费,从用户群中随机调查了10000位用户,获得了他们某月的流量使用数据,整理得到如下的频率分布直方图.已知用户月使用流量的中位数为
(1)求表中的
(2)若k为整数,依据本次调查为使以上用户在该月的流量价格为元,则k至少定为多少?
(3)为了进一步了解用户使用5G流量与年龄的相关关系,由频率分布直方图中流量在和两组用户中,按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户,已知组用户平均年龄为30,方差为36,流量在组用户的平均年龄为20,方差为16,求抽取的100名用户年龄的方差.
【答案】(1);(2);(3)48
【分析】(1)根据频率分布直方图的特征即可求解;
(2)根据频率分布直方图,结合百分位数的求法即可求解;
(3)根据频率分布直方图,结合方差的计算公式即可求解.
【详解】(1),,
(2)通过直方图可知第85百分位数落在第组,
,
解得,,;
(3)按分层抽样在组抽取40人记为,,,,
则,
,
在组抽取60人,记为,,
同理可得,平均值为,
抽取的100名用户的方差
4.随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:),按照区间,,,,分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数;
(2)估计该校100名生学身高的75%分位数.
(3)若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:,,;,,.记总的样本平均数为,样本方差为,证明:
①;
②.
【答案】(1)0.06 60人;(2);(3)详见解析.
【分析】(1)利用频率分布直方图中长方形面积之和为1,易求出,进而利用频率分布直方图可求身高在及以上的学生人数;
(2)可设该校100名生学身高的75%分位数,再利用频率分布直方图计算即得;
(3)利用样本平均数,方差公式化简即证.
【详解】(1)由频率分布直方图可知,解得,
身高在及以上的学生人数(人).
(2)的人数占比为%,
的人数占比为%,
所以该校100名生学身高的75%分位数落在,
设该校100名生学身高的75%分位数为,
则%,解得,
故该校100名生学身高的75%分位数为.
(3)由题得①;②
又
同理,
∴
.A口味
B口味
星期
一
二
三
四
五
六
日
星期
一
二
三
四
五
六
日
销量/个
16
12
14
10
18
19
13
销量/个
13
18
10
20
12
9
14
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