数学必修 第一册1.1 随机现象精品练习题

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考查题型一 判断现象是随机现象还是确定性现象
1．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是（ ）
A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球C．3个都是排球D．至少有1个是篮球
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用随机事件、不可能事件、必然事件的定义逐项判断作答.
【详解】依题意，选出的3个球：“3个都是篮球”与“至少有1个是排球”可能发生，也可不发生，它们是随机事件，A，B都不是；
因只有2个排球，所以选出3个球不可能都是排球，“3个都是排球”是不可能事件，C不是；
因只有2个排球，所以选出的3个球至少有1个是篮球，“至少有1个是篮球”是必然事件，D是.
故选：D
（多选题）2．下列现象中，是随机现象的有（ ）
A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆
B．若a为整数，则a＋1为整数
C．发射一颗炮弹，命中目标
D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品
【答案】ACD
【分析】根据事件的分类逐项分析判断.
【详解】对于选项A：交警记录某一小时通过的汽车的数量是随机现象，故A正确；
对于选项B：当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，故B错误；
对于选项C：发射一颗炮弹，可能命中目标，也可能没有命中目标，故C正确；
对于选项D：检查流水线上一件产品，可能是合格品，也可能是次品，故D正确；
故选：ACD.
3．观察下列现象：
（1）在标准大气压下水加热到100℃，沸腾；（2）导体通电，发热；
（3）同性电荷，相互吸引；（4）实心铁块丢入水中，铁块浮起；
（5）买一张福利彩票，中奖；（6）掷一枚硬币，正面朝上；
其中是随机现象的有
【答案】（5）、（6）
【分析】根据随机现象的定义判断即可.
【详解】显然（1）、（2）是必定发生的，（3）、（4）是不可能发生的，从而它们都是确定性现象.
（5）、（6）是可能发生也可能不发生的，是随机现象.
故答案为：（5）、（6）
4．在下列现象中，随机现象是 ．（选填序号）
①汽车排放尾气会污染环境；
②实数a、b都不为0，则；
③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；
④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；
⑤函数（）在定义域内为严格增函数；
⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球．
【答案】③④⑥
【分析】根据给定条件，利用随机事件、不可能事件、必然事件的定义逐一判断各个命题作答.
【详解】对于①，汽车排放的尾气一定会污染环境，①是必然事件；
对于②，因实数a、b都不为0，则，，②是不可能事件；
对于③，正方体的4个顶点可能在一个平面内，也可能不在同一平面内，③是随机事件；
对于④，一枚硬币连掷三次，出现的结果有3次反面、2次反面1次正面、1次反面2次正面，3次正面，④是随机事件；
对于⑤，函数（）在定义域内为严格减函数，⑤是不可能事件；
对于⑥，三个小球全部放入两个盒子中，某个盒子中可能有0个球、1个球、2个球、3个球，⑥是随机事件.所以随机现象是③④⑥.
故答案为：③④⑥
5．下列现象中，是确定性现象的是 ．
①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②打开电视机，正好在播新闻；
③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球；
④下周六是晴天．
【答案】①
【分析】根据确定事件以及不可能事件和随机事件的定义即可求解.
【详解】长度为3，4，5恰好构成勾股数，所以必然构成一个直角三角形，故①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象．
故答案为：①
考查题型二 判断事件是随机事件还是确定性事件还是不可能事件
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨
【答案】B
【分析】根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A不正确；
13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B正确；
车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C不正确；
明天可能下雨也可能不下雨，故D不正确.
故选：B
2．在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（ ）．
A．3件都是正品 B．至少有1件是次品 C．3件都是次品D．至少有1件是正品
【答案】D
【分析】根据必然事件的定义判断．
【详解】12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件，次品的个数可能为，正品的个数分别为，因此只有“至少有1件正品”一定会发生，它是必然事件，ABC三个选项中的事件都有可能不发生．
故选：D．
3．有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在结冰；④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②④
【答案】B
【分析】根据事件的知识求得正确答案.
【详解】①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.
故选：B
4．给出下列事件：
①函数在定义域内为增函数；
②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利；
③一所学校共有名学生，有名学生的生日相同；
④若集合、、满足，，则；
⑤在标准大气压下，河流在时结冰；
⑥从、、中任选两数相加，其和为偶数.
其中属于随机事件的是 ，属于必然事件的是 ，属于不可能事件的是 （填序号）.
【答案】 ②③ ④⑥ ①⑤
【分析】利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断①②③④⑤⑥，可得结论.
【详解】①中函数在定义域为减函数，说法不正确，故为不可能事件；
②中可能张怡宁胜利也可能小学生胜利，故为随机事件；
③中，因为，所以，有可能有名学生的生日相同，也有可能没有名学生的生日相同，故为随机事件；
④中，根据集合的包含关系，④中说法正确，故为必然事件；
⑤中的说法不正确，故为不可能事件；
⑥中任意两奇数和均为偶数，说法正确，故为必然事件.
故答案为：②③；④⑥；①⑤.
考查题型三 判断随机事件样本点的个数
1．抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】利用基本事件的定义，列举即可．
【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，
则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．
故选：C.
2．先后抛掷2枚质地均匀的一角､五角的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是（ ）
A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”
【答案】A
【解析】根据样本点的概念，结合题意逐项判断即可.
【详解】“至少一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”、“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”3个样本点，故A正确；
“只有一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、 “一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”2个样本点，故B错误；
“两枚硬币都是正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”1个样本点，故C错误；
“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、 “一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”2个样本点，故D错误.
故选：A.
3．从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ．
【答案】6
【分析】根据要求一一列举即可.
【详解】该试验的结果中，含a的有；不含a，含b的有；
不含a，b，含c的有；，
即该试验的样本点数为6.
故答案为：6
4．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有 种．
【答案】36
【分析】直接采用列举法即可求出结果数.
【详解】将这个试验的所有结果一一列举出：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种．
故答案为：36.
考查题型四 求随机事件的样本空间
1．一个家庭有两个小孩，则样本空间为（ ）
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D．{(男，男)，(女，女)}
【答案】C
【分析】列举出所有可能结果，由此可得样本空间.
【详解】两个小孩的所有结果是：男男，男女，女男，女女，
则所有样本空间为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．
故选：C.
2．从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生．
(1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间；
(2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析
【分析】（1）（2）由题意结合列举法即可得解.
【详解】（1）有放回简单随机抽样时，样本空间为：
,共16个样本点.
（2）不放回简单随机抽样时，样本空间为：
,共12个样本点.
3．做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出：
(1)试验的样本空间Ω；
(2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点；
(3)事件“出现点数相等”包含的样本点；
(4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析
(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)；(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)
【分析】列举法写出样本点即可.
【详解】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
（2）“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：
(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
（3）“出现点数相等”包含以下6个样本点：
(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
（4）“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：
(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).
4．指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．
【答案】(1) {红球，白球}，{红球，黑球}，{白球，黑球}；(2)
【分析】根据题意利用列举法分析求解.
【详解】（1）由题意可得： {红球，白球}，{红球，黑球}，{白球，黑球}.
（2）由题意可知：；；
；；
；；
即试验的样本空间．
5．从甲､乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，设5名同学为：甲､乙､，写出这一事件的样本空间；
【答案】答案见解析.
【分析】直接从5个里面选3个，即可写出样本空间.
【详解】5名同学为：甲､乙､，从中随机选3名参加社区服务工作这一事件的样本空间为：{甲乙，甲乙，甲乙，甲，甲，甲，乙，乙，乙，}.
6．已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动．
(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作．设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，记事件“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，试用所给字母写出事件M包含的样本点；
【答案】(1)分别抽取3人，2人，2人；(2)答案见解析
【分析】（1）利用分层抽样的定义结合已知条件求解即可，
（2）根据题意利用列举法求解
【详解】（1）由题意知，高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者人数之比为，
又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学．
故应从高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（2），，，，，，，，，，，，，，，共含有15个样本点．
考查题型五 指出随机事件的含义
1．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验的样本点是（ ）
A．第一枚是3点，第二枚是1点
B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二点枚是3点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
【答案】B
【解析】根据样本点的概念结合题目意思逐项判断即可.
【详解】依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点，第二枚是1点”或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是2点”.
故选：B.
2．做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件的含义.
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为
【分析】（1）列举出所有可能的结果即可得到样本空间；
（2）根据（1）的结果可得试验结果个数；
（3）由可确定事件的含义.
【详解】（1）样本空间.
（2）由（1）知：这个试验的结果的个数共有个.
（3）由可知：事件表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为.
3．连续抛掷一枚均匀的骰子次，观察每次出现的点数，指出下列事件的含义．
(1)事件；
(2)事件；
(3)事件．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析
【分析】根据连续两次的点数特征即可确定事件的含义.
【详解】（1）事件的含义为：连续抛一枚均匀的骰子两次，第二次出现的点数都为.
（2）事件含义为：连续抛一枚均匀的骰子两次，第二次出现的点数比第一次大于.
（3）事件的含义为：连续抛一枚均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为.
4．从含有6件次品的200件产品中任取7件，观察其中次品数，写出对应的样本空间，并说出事件，的实际意义．
【答案】答案见解析
【分析】根据事件的表示求解即可.
【详解】样本空间为；
表示抽取的7件产品中,恰有一件次品或恰有两件次品；
表示抽取的7件产品中，没有次品．

（多选题）1．已知为实验的样本空间，随机事件，则（ ）
A．为必然事件，且B．为不可能事件，且
C．若，则为必然事件D．若，则不一定为不可能事件
【答案】ABD
【分析】根据必然事件和不可能事件的定义，再结合样本空间为有限和无限的情况，判断选项.
【详解】A.当为必然事件，且，故A正确；
B. 为不可能事件，且，故B正确；
C. 若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误；
D. 若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确.
故选：ABD
2．已知关于的方程，当时，“该方程有实数解”是随机现象，求的范围．
【答案】．
【分析】先分类讨论得到有实数解时，的取值范围，结合“该方程有实数解”是随机现象即可得到答案
【详解】解： 当时，原方程变成解得，故满足“该方程有实数解”；
当时，要使有实数解，
则，解得，则且；
故要使有实数解，，
当时，“该方程有实数解”是随机现象，
则与的交集不是空集，且后者不是前者的子集，
所以的范围．
3．，则中：
(1)恰含有两个样本点的事件有多少个？(2)至少含有三个样本点的事件有多少个？
【答案】(1)21；(2)99
【分析】（1）解集合中的不等式共有7种不同的取值，然后再选两个样本点即可.
（2）“利用反向思维”先求出一共有多少个基本事件，减去不可能事件、基本事件、含有两个样本点的事件.
【详解】（1），恰含有两个样本点的事件共（个）.
（2）所有事件一共个，其中不可能事件1个，基本事件7个，含有两个样本点的事件21个，则至少含有三个样本点的事件有（个）．
4．有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）用集合表示下列事件：“A在两侧”；“B，C两人相邻”.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）根据树状图写出样本空间；（2）参照（1）中得到的总的样本空间，找出符合事件的样本点，得到相应的样本空间。
【详解】解：（1）该试验的样本点用树状图表示，如图所示：
所以样本空间可表示为
.
（2）
；
.