2024年广东省深圳市九年级中考数学冲刺模拟训练试卷解析

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1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．
2．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分．
3．作答选择题1~10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，作答非选择题11~22，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
2. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写道：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”苔花的花粉直径约为0.0000084米，数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用科学记数法表示成（，为整数）的形式即可．
【详解】解：根据题意可得：，
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，整式乘法以及完全平方公式，平方差公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键，分别根据合并同类项法则，单项式乘以多项式运算法则，以及完全平方公式、平方差公式逐一判断即可．
【详解】A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
4. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，
则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
A．9，8B．11，8C．10，9D．11，8.5
【答案】A
【分析】根据众数与中位数的定义进行求解即可．
【详解】解：由图表可知，众数为9，
第10、11位对应的时间为8、8，
∴中位数为，
故选A．
5.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】，
解得，
所以解集为．
故选：D
6. 乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A. 32°B. 28°C. 26°D. 23°
【答案】D
【解析】
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE．
【详解】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE=92°，
∴∠CFE=92°，
又∵∠DCE=115°，
∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°，
故选：D．
数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；
若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．
设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，
依据题意，可得．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B

9 .如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米B．24米C．24.5米D．25米
【答案】D
【分析】如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G．解直角三角形DEF得EF=30米，DF=72米，得EG=150米，解直角三角形AFG得AG=139.5米，求出AB即可．
【详解】解：作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G．
在Rt△DEF中，设EF=x米，∵i=1∶2.4
∴DF=2.4x米，
∴DE= 米
∴=75，
∴x=30米，
∴DF=2.4x=72米，
∴GE=FC=DF+CD=72+78=150米，CG=EF=30米，
在Rt△AEG中，
米
∴米．

故选：D．
如图，在菱形中，，E是对角线上一点，
连接，作交边于点F，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出，，判定，是等边三角形，得到，，求出，而，得到，即可证明，推出，令，则，得出，得到，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
第二部分（非选择题，共70分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可求解．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12 .若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
【答案】且
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到，且，求解即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故答案为：且．
13. 如图，点A，B，C在⊙上，平分，若，则____°．
【答案】70
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解答中涉及角平分线定义，三角形外角的性质，能准确作出辅助线，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．延长交于点E，连接，由已知条件求出，由角平分线定义，可得到，最后根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求出的度数．
【详解】解：延长交于点E，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：70．
14. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，
将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．

【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16 .计算：；
【答案】
【分析】此题考查实数的运算，根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】：解：
；
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】先计算括号内的分式减法，然后把除法转化为乘法进行化简，最后代入求值．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
18. 宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图：

(1)本次抽取的学生共有 ___________人，他们成绩的中位数落在 ___________等级；
(2)补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为 ___________；
(3)若竞赛成绩为优秀，估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数；
(4)九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)50，B
(2)见解析，36°
(3)320
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出B等级人数，依据中位数的定义可得答案；
（2）根据（1）中所求结果即可补全图形，用360°乘以D等级人数所占比例即可得出答案；
（3）用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可；
（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）本次抽取的学生人数为（人），
则B等级人数为（人），A等级人数为（人），
成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据落在B等级，所以他们成绩的中位数落在B等级，
故答案为：50、B；
（2）补全直方图如下：

扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）（人），
答：估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数为320人；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
19. 某校开设智能机器人编程校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【解析】
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
20. 如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的直径为4，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据圆周角定理得到，由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，求得，设，，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
为的直径，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
在中，，
解得，
故的长为．
21. 【项目式学习】
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；
任务二 推理分析
（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式；
任务三 设计方案
（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，简单几何体的三视图，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．
（1）根据题意可得第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线关系式的顶点式，代入计算即可；
（2）根据抛物线的形状不变，即a的值不变，顶点坐标变为，抛物线与x轴的交点坐标变为，代入即可得出h与d的还是关系式；
（3）根据勾股定理求出的长，进而得出d的值，再代入h与d的函数关系式进行计算即可．
【详解】（1）解：
由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，
设抛物线关系式为，将代入得，
，
解得，
∴第一象限中抛物线的关系式为；
（2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h米，
其抛物线的关系式为，过点，
∴，
即，
（3）如图，延长交于点Q，则米，米，米，连接，
在中，米，米，
∴（米），
即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，，
将代入得，
（米），
故答案为：．
如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，
将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．
某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，
并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．
【特例分析】
当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：
①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：
②写出线段与之间的数量关系式：______；
【深入探究】
（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？
若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．
【答案】（1）①选择思路一，证明见解析；选择思路二，证明见解析；②或；（2）成立，证明见解析；（3）4或
【解析】
【分析】（1）①选择思路一：连接， 如图所示，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质证明是等腰直角三角形 ，进而得到，即可推出，，据此可证明；选择思路二： 将线段绕点F逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，再证明，即可证明；
②选择思路一：利用相似三角形的性质即可得到答案；选择思路二：由全等三角形的性质得到，过点H作于M， 证明四边形是正方形，推出，进而得到，即可得到；
（2）连接，同理可证明；得到；再由直角三角形的性质得到，则；
（3）由于，则，进而得到 ，故当为直角三角形，不能作为斜边；当时，和共线，则E和A重合，G和D重合，由正方形的性质可得，则；当时，连接，过B作于M，如图：证明，设，则，，由勾股定理得，则；证明是等腰直角三角形，得到，则，
由勾股定理得，则，据此可得．
【详解】解：（1）①选择思路一：
证明：连接， 如图所示，
∵四边形是正方形
∴，，
由旋转得，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
选择思路二：
证明：将线段绕点F逆时针旋转至，连接，如图所示，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴；
②思路一：由（1）①知，
∴，
∵为的中点，
∴
∴，
∴，即；
思路二：由（1）①知，
∴，
如图所示，过点H作于M，则四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
综上所述，；
（2）如图所示，连接，
∵四边形是正方形
∴，，
由旋转得，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴；
∵在中，点F为的中点，
∴，
∴ ，
∴；
（3）∵E在边上，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵为直角三角形，
∴不能作为斜边，
①当时，
∵，
∴和共线，
∴E和A重合，G和D重合，如图：
∴由正方形的性质可得，
∴；
当时，连接，过B作于M，如图：
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
中，由勾股定理得，
∴；
在中，F是中点，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
综上所述，或．
时间/小时
7
8
9
10
人数
7
9
11
3
思路一
思路二
第一步
如图2，连接，，
证明；
如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；
第二步
利用相似三角形的性质
及线段与之间的关系，
得到线段与之间的数量关系．
利用全等三角形的性质及线段与之间
的关系，得到线段与之间的数量关系．
图形
表达