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人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线达标测试
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这是一份人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线达标测试，文件包含专题51相交线十大题型举一反三人教版原卷版docx、专题51相交线十大题型举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27873" 【题型1 对顶角、邻补角的识别】 PAGEREF _Tc27873 \h 1
\l "_Tc20418" 【题型2 由对顶角、邻补角的性质求角的度数】 PAGEREF _Tc20418 \h 4
\l "_Tc1714" 【题型3 平面内两直线的位置关系】 PAGEREF _Tc1714 \h 8
\l "_Tc17621" 【题型4 作垂线】 PAGEREF _Tc17621 \h 11
\l "_Tc7303" 【题型5 由垂线求角度】 PAGEREF _Tc7303 \h 14
\l "_Tc28243" 【题型6 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线】 PAGEREF _Tc28243 \h 18
\l "_Tc184" 【题型7 点到直线的距离】 PAGEREF _Tc184 \h 20
\l "_Tc15068" 【题型8 垂线段最短】 PAGEREF _Tc15068 \h 24
\l "_Tc24174" 【题型9 同位角、内错角、同旁内角的识别】 PAGEREF _Tc24174 \h 27
\l "_Tc19438" 【题型10 确定同位角、内错角、同旁内角的对数】 PAGEREF _Tc19438 \h 30
【知识点1 对顶角、邻补角的概念】
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.
【题型1 对顶角、邻补角的识别】
【例1】（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）在下图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．
【详解】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故A选项不合题意；
B、∠1与∠2的两边互为反向延长线，是对顶角，故B选项符合题意；
C、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故C选项不合题意；
D、∠1与∠2两条边不是互为反向延长线，不是对顶角，故D选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，对顶角是相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它是在两直线相交的前提下形成的．
【变式1-1】（2023下·湖北荆门·七年级统考期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用邻补角定义进行解答即可．
【详解】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
【变式1-2】（2023下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对．
【答案】72
【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角；
②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对；
③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对；
④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对；
即对顶角的对数为，2，6，12，20……，
以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：n2−n ；
根据n条直线相交于一点，构成n2−n对对顶角的规律可知，
当n=9时，n2−n=（92-9）=72（对），
故答案为：72．
【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．
【变式1-3】（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角．
(1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角；
(2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角；
(3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角；
(4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？
【答案】(1)2，4
(2)6，12
(3)12，24
(4)若有n条直线相交于一点，则可形成nn−1对对顶角，2nn−1对邻补角
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；
（2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；
（3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；
（4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角；
故答案为：2，4；
（2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角；
故答案为：6，12；
（3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角；
故答案为：12，24；
（4）解：2条直线相交于一点，共有2×1=2对对顶角，2×2×1=4对邻补角；
3条直线相交于一点，共有3×2=6对对顶角，2×3×2=12对邻补角；
4条直线相交于一点，共有4×3=12对对顶角，2×4×3=24对邻补角；
∴若有n条直线相交于一点，则可形成nn−1对对顶角，2nn−1对邻补角．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键．
【知识点2 对顶角、邻补角的性质】
对顶角相等.
邻补角互补.
【题型2 由对顶角、邻补角的性质求角的度数】
【例2】（2023下·广西河池·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．
(1)图中∠AOC=∠______，∠AOE+∠______=180°；
(2)若∠AOC=80°，∠AOE=3∠COE，求∠DOE的度数．
【答案】(1)∠DOB，∠BOE
(2)160°
【分析】（1）观察图象，根据对顶角和补角的定义找角；
（2）设∠COE=x°，则∠AOE=3x°，可得x+3x=80，求得∠COE=20°，再结合∠DOE=180°−∠COE即可求解．
【详解】（1）解：∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD是对顶角．
∴∠AOC=∠BOD，
∵∠AOE的补角是∠BOE．
∴∠AOE+∠BOE=180°，
故答案为：∠DOB，∠BOE．
（2）∵∠AOE=3∠COE，
∴设∠COE=x°，则∠AOE=3x°，
∵∠AOC=80°，
∴x+3x=80，
∴x=20，即∠COE=20°，
∴∠DOE=180°−∠COE=180°−20°=160°．
【点睛】本题主要考查角的相关定义以及角度的和差倍分，要结合图象找隐藏的角度关系．
【变式2-1】（2023下·湖南长沙·七年级校考期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【答案】B
【分析】根据对顶角的性质：对顶角相等，邻补角的性质：邻补角互补，进行求解即可.
【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了对顶角与邻补角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握对顶角与邻补角的性质.
【变式2-2】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）已知直线AB与CD相交于点O．
(1)如图1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，则∠AOD=_________．
(2)如图2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小
【答案】(1)135°
(2)54°
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=12∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=12∠AOM=12×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°−∠AOC=180°−45°=135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）解：∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB−∠BON=4x°−x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=12∠CON=32x°，
∵∠BOM=32x+x=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=32x°=32×36°=54°，
即∠MON的度数为54°．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．
【变式2-3】（2023下·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；
(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【答案】(1)①∠EOF的度数为60°；②见解析；
(2)3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出∠EOF=60°；②利用OF平分∠BOE，可得：∠EOF=∠FOB=12∠EOB，再利用垂直得到：∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，即可证明∠COE=∠AOC，OC平分∠AOE．
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧和点E，F在直线AB的异侧两种情况，再分别表示出∠BOE与∠AOC，再消去α即可．
【详解】（1）解：①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF=90°，
∵∠BOD=20°,∠BOE=130°，
∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−130°−20°=30°，
∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−∠COE=90°−30°=60°；
∴∠EOF的度数为60°；
②∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF=∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，
∴∠COE=∠AOC，
∴OC平分∠AOE．
（2）解：设∠COE=α，则∠AOF=2α，
当点E，F在直线AB的同侧时，如图：
∠EOF=90°−α，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①
∠BOE=180°−∠COE−∠AOC=180°−α−90°−α=270°−3α，②
令①×3+②×2可得：3∠AOC+2∠BOE=270°，
当点E，F在直线AB的异侧时，如图：
∠EOF=90°+α，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①
∠BOE=180°−∠AOE−∠BOD=180°−α−∠AOC−∠AOC=180°−α，②
令①+②×2可得：∠AOC+2∠BOE=270°，
综上所述：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
【点睛】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力．
【题型3 平面内两直线的位置关系】
【例3】（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）l1、l2、l3为同一平面内的三条直线，若l1与l2不平行，l2与l3不平行，那么下列判断正确的是（ ）
A．l1与l3一定不平行B．l1与l3一定平行
C．l1与l3一定互相垂直D．l1与l3可能相交或平行
【答案】D
【分析】根据关键语句“若l1与l2不平行, l2与l3不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．
【详解】根据题意可得图形：
根据图形可知：若l1与l2不平行,l2与l3不平行,则l1与l3可能相交或平行，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交.
【变式3-1】（2023上·黑龙江佳木斯·七年级校考开学考试）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直B．垂直或平行
C．平行或相交D．相交或垂直或平行
【答案】C
【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．
【详解】在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行．
故选：C
【点睛】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．
【变式3-2】（2023上·七年级单元测试）在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系：平行或相交或重合进行判断．
【详解】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；
在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交，故③错误，④正确．
故正确判断的个数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面内两条直线的三种位置关系，平行、相交或重合，熟练掌握这三种位置关系是解题的关键．
【变式3-3】（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行进行求解即可．
【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出过点O的4条直线中至多只有一条直线与直线m平行
即与直线m相交的直线至少有3条．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行性质是解题的关键．
【知识点3 垂线】
①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直.
②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线.
③它们的交点叫做 垂足.
④垂线的性质：
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
⑤点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型4 作垂线】
【例4】（2023下·北京密云·七年级统考期末）下列利用三角板过点P画直线AB的垂线CD，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据垂线的定义判断即可．
【详解】解：根据垂线的定义可知选项B中，直线CD经过点P，CD⊥AB，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解，垂线的定义．
【变式4-1】（2023上·七年级课时练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断.
【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，
故选A．
【点睛】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式4-2】（2022上·福建泉州·七年级泉州七中校考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点，已知点A、B、C都在格点上，按下列要求画图：
（1）连结AC，画射线BC，则三角形ABC的面积是
（2）过点C画直线CD，使CD∥AB；过点C画AB的垂线CE，垂足为F；
（3）线段 的长度是点C到AB的距离；
（4）直线CD、CE的位置关系为________
【答案】（1）作图见解析，3；（2）作图见解析；（3）CF；（4）垂直.
【分析】（1）按要求画图，求出三角形面积即可；
（2）直接利用网格作图即可；
（3）根据点到直线的距离的定义即可判断；
（4）直接利用网格得出直线CD、CE的位置关系.
【详解】（1）如图：
三角形ABC的面积=12×2×3=3，
故答案为：3；
（2）如图：
（3）由（2）可知线段CF的长度是点C到AB的距离，
故答案为：CF；
（4）两直线CD、CE的位置关系为：垂直，
故答案为：垂直.
【点睛】本题考查复杂作图以及三角形的面积，正确借助网格作图是解题关键．
【变式4-3】（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是∠AOB的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．
(1)过点P画OB的垂线，交OA于点E；过点P画OA的垂线，垂足为F；
(2)线段PF的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段PE、PF、OE这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
【答案】(1)图见解析
(2)OA，PE，PF【分析】（1）如图，找点C，连接PC，与OA交点即为E，过P点作竖直的线，与OA交点即为F；
（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：由题意作图如下，PE是OB的垂线，PF是OA的垂线．
（2）解：线段PF的长度是点P到OA的距离，线段PE的长度是点E到直线OB的距离，
由垂线段最短可知，PF故答案为：OA，PE，PF【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【题型5 由垂线求角度】
【例5】（2023上·山西晋城·七年级校考期末）综合与探究
如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB．
(1)如图1，∠AOD=40°，直接写出∠EOC的度数；
(2)如图2，在∠AOE的内部作射线OF，且∠DOF=∠BOF，此时，∠BOD=7∠EOF，求∠EOC的度数；
(3)如图3，在直线AB的下方作∠AOH，且∠AOH<45°，再作OM平分∠AOH，ON平分∠EOH，求∠MON的度数．
【答案】(1)50°
(2)50°
(3)45°
【分析】（1）由垂直的性质得∠AOE=∠BOE=90°，由平角的定义得∠AOD+∠AOE+∠EOC=180°，由∠AOD=40°，可得∠EOC的度数；
（2）由垂直的性质得∠EOF+∠AOF=90°，∠BOC+∠EOC=90°，∠AOF=90°−∠EOF，由对顶角∠AOD=∠BOC，等量代换得∠EOC=90°−∠AOD，由∠DOF=∠BOF得∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠EOC+∠BOC，等量代换得∠AOD=2∠EOF，由对顶角∠AOC=∠BOD，得∠AOF+∠EOF+∠EOC=∠BOD，由∠BOD=7∠EOF，等量代换即可求解；
（3）根据角平分线的性质得∠AOM=∠MOH=12∠AOH，∠EON=∠NOH=12∠EOH，由∠NOM=∠NOH−∠MOH，等量代换即可求解．
【详解】（1）解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠AOE+∠EOC=180°，∠AOD=40°，
∴40°+90°+∠EOC=180°，
解得∠EOC=50°；
（2）解：∵OE⊥AB，
∴∠EOF+∠AOF=90°，∠BOC+∠EOC=90°，
∴∠AOF=90°−∠EOF，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠EOC=90°−∠AOD，
∵∠DOF=∠BOF，
∴∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠EOC+∠BOC，
∴∠AOD+90°−∠EOF=∠EOF+90°−∠AOD+∠AOD，
解得∠AOD=2∠EOF，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOF+∠EOF+∠EOC=∠BOD，
∵∠BOD=7∠EOF，
∴90°−∠EOF+∠EOF+90°−∠AOD=7∠EOF，
∴180°−2∠EOF=7∠EOF，
解得∠EOF=20°，
∴∠EOC=90°−2∠EOF=50°；
（3）解：∵OM平分∠AOH，ON平分∠EOH，
∴∠AOM=∠MOH=12∠AOH，∠EON=∠NOH=12∠EOH，
∵∠NOM=∠NOH−∠MOH，
∴∠NOM=12∠EOH−12∠AOH
=12∠EOH−∠AOH
=12∠AOE=45°．
【点睛】本题考查了对顶角、垂线、角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是理清角之间的关系．
【变式5-1】（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍少30°，求∠COD的度数 ．
【答案】110°或30°
【分析】有两种情况：①如图1，根据∠COD=90°+90°−∠AOB，列方程可得结论；②如图2，根据∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC，列方程可得结论．
【详解】解：设∠AOB=x°，则∠COD=2x°−30°，
分两种情况：
①如图1，∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠COD=90°+90°−∠AOB，
即2x°−30°=90°+90°−x°，
x°=70°，
∴∠COD=2×70°−30°=110°；
②如图2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC，
x°+90=2x°−30+90，
x°=30°，
∴∠COD=2×30°−30°=30°，
综上所述，∠COD的度数为110°或30°，
故答案为：110°或30°．
【点睛】此题主要考查了角的计算，以及垂直的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．
【变式5-2】（2023上·湖北黄冈·七年级统考阶段练习）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOC，若OF⊥OB，且∠EOF=110°，则∠DOF= ．
【答案】50°
【分析】根据垂直定义可得∠BOF=90°，从而可得∠BOE=20°，再根据角平分线的定义可得∠BOC=2∠BOE=40°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵OF⊥OB，
∴∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠EOF−∠BOF=110°−90°=20°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOE=2×20°=40°，
∴∠DOF=180°−∠BOF−∠BOC=180°−90°−40°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【变式5-3】（2023上·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考期末）如图，已知∠AOB画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，试写出∠AOB和∠COD的数量关系，并说明理由.
【答案】∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180∘，见解析.
【分析】分OC、OD在边OA的同侧和异侧分别作出图形，然后分别进行计算即可得解．
【详解】∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°，理由如下：
如图1，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COD；
如图2，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠AOB+∠AOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠AOB+∠AOD=180°，
又∵∠BOC+∠AOB+∠AOC=∠COD，
∴∠AOB+∠COD=180°；
如图3，∠AOB+∠COD =360°-∠AOC-∠BOD=360°-90°-90°=180°；
如图4，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOB+∠AOD=90°，∠COD+∠AOD=90°，
∴∠AOB=∠COD；
综上所述，∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°.
【点睛】本题考查了垂线的定义，角的计算，同角的余角相等的性质，难点在于分情况讨论．
【题型6 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线】
【例6】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂直于同一直线的两条直线平行
【答案】C
【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案．
【详解】解：∵OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，
∴OA与OB重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），
故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂线的性质，正确把握定义是解题关键．
【变式6-1】（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）对于下列说法，正确的是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
C．测量孙浩的跳远成绩，正确做法的依据是“两点之间，线段最短”；
D．不相交的两条直线叫做平行线．
【答案】A
【详解】试题分析：B选项中，若两直线异面，则可以有无限条经过已知点的直线与已知直线垂直；C选项中，正确做法应该是孙浩落脚点与起跳线的最短距离，即落脚点与起跳线的垂直距离；D选项中，两条异面直线，不相交，也可能不平行．
考点：空间直线的相交、平行与垂直
点评：本题考查的是空间直线的知识，需要注意的是，在空间直线中，不相交的直线不一定平行．
【变式6-2】（2023下·河南郑州·七年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）如图所示，王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框AB是否与铅锤线重合．若门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE，否则AB与AE不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（ ）
A．经过两点有且只有一条直线
B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】根据垂线的性质解答即可．
【详解】∵在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
∴若门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE，否则AB与AE不重合．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解答本题的关键．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【变式6-3】（2023下·上海黄浦·六年级统考期末）下列方法中，不能用来检验平面与平面垂直的方法是（ ）．
A．铅垂线B．两把三角尺C．合页型折纸D．长方形纸片
【答案】D
【分析】由题意根据直线与水平面垂直，必须满足直线垂直于水平面内两条相交的直线，由此分析即可作出判断．
【详解】解：A、根据重力学原理，铅垂线垂直于水平面，不符合题意；
B、将两块三角板的直角边重合，另外两条直角边相交，放在水平面上，可判断重合的直角边垂直于水平面，不符合题意；
C、合页型折纸其折痕与纸被折断的一边垂直，即折痕与被折断的两线段垂直，把折断的两边放到水平面上，可判断折痕与水平面垂直，不符合题意；
D、长方形纸片只能判断长与宽互相垂直，不能判断与水平面垂直，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查垂线的判定，解答此题的关键是明确线面垂直的判定方法．
【题型7 点到直线的距离】
【例7】（2023下·陕西西安·七年级西安益新中学校考阶段练习）如图，P是∠AOB的边OB上一点．
(1)过P画OA的垂线，垂足为点H；
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C，点O到直线PC的距离是线段______的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；OP
【分析】（1）三角尺的直角的一边与OA重合，另一直角边经过点P画出垂线，垂足为点H即可；
（2）同（1）的方法即可完成画图．
【详解】（1）如图，PH即为所求；
（2）如图，PC即为所求；
所以点O到直线PC的距离是线段OP的长度．
故答案为：OP．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，垂线，点到直线的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
【变式7-1】（2023上·浙江·七年级统考阶段练习）如图，A、B、C是等边三角形的三个顶点，作直线l，使点A、B、C到直线l的距离之比为2:1:1，则满足条件的直线l共有（ ）
A．4条B．3条
C．2条D．1条
【答案】A
【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是分别过线段BC的中点和边AB、AC的三等分点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．
【详解】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，
故选A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离、平行线的性质等知识点，考查了分类讨论的数学思想．解题时注意全面考虑，避免漏解．
【变式7-2】（2023下·河南新乡·七年级校考期中）如图所示，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AC的长度是点C到AB的距离；⑥线段CD的长度是点D到AC的距离．
A．3个B．4个C．7个D．0个
【答案】A
【分析】①根据∠BAC=90°，得到AB⊥AC；②AD与AC不垂直；③点C到AB的垂线段是线段AC；④根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；⑤根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；⑥根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；
【详解】解：①∵∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；故①正确；
②AD⊥BC，AD与AC不垂直；故②错误；
③点C到AB的垂线段是线段AC；故③错误；
④点A到BC的距离是线段AD的长度；故④正确；
⑤线段AC的长度是点C到AB的距离；故⑤正确；
⑥线段CD的长度是点C到AD的距离；故⑥错误；
综上：正确的是：①④⑤，共3个；
故选A．
【点睛】本题考查垂线段．熟练掌握垂线段的定义，以及垂线段的长度是点到线段的距离，是解题的关键．
【变式7-3】（2023上·江苏南京·七年级校联考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点都叫做格点. 已知点A、B、C均在格点上．
(1)借助方格纸过点B画线段AC的平行线BD；
(2)借助方格纸过点B画线段AC的垂线BE，垂足为E；
(3)观察所画图形，点A到直线BE的距离是线段 的长度；
(4)BD与BE的位置关系是 ；
(5)比较大小：线段AB 线段BE（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)AE
(4)BD⊥BE
(5)＞；直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短
【分析】（1）利用网格特点进而过点B画BD//AC；
（2）利用网格特点进而过点B画BE⊥AC，垂足为点E；
（3）根据点到直线的距离和线段定义即可求解；
（4）根据作图和垂直定义即可求解；
（5）根据垂线段最短即可判断求解．
【详解】（1）如图所示：直线BD即为所求；
（2）如图所示：直线BE即为所求；
（3）∵BE⊥AC，垂足为点E；
∴AC⊥BE，垂足为点E；
∴线段AE的长度即是点A到BE的距离，
故答案为：AE；
（4）∵BD//AC；
又BE⊥AC，
∴BD⊥BE，
故答案为：BD⊥BE；
（5）线段AB、BE的大小关系是：AB>BE（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短），
故答案为：＞，理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
【点睛】本题考查应用设计与作图，平行与垂直的定义，距离定义，垂线段最短性质，解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质．
【题型8 垂线段最短】
【例8】（2023下·安徽池州·七年级统考期末）在同一个平面内，P是直线l外一点，A,B,C分别是l上三点，已知PA=1,PB=2，PC=3，若点P到l的距离是ℎ，则（ ）
A．0<ℎ≤1B．ℎ=1C．ℎ=2D．ℎ=3
【答案】A
【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可．
【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离ℎ≤PA，即0<ℎ≤1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键．
【变式8-1】（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图是一条河C是河边AB外一点，M是河边AB上一码头．
(1)若要从C走到码头M，请在图1中作出最短路线示意图．
(2)现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接CM即可得到答案；
（2）根据垂线段最短，作CD⊥AB即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意画出图，如图所示：
；
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27873" 【题型1 对顶角、邻补角的识别】 PAGEREF _Tc27873 \h 1
\l "_Tc20418" 【题型2 由对顶角、邻补角的性质求角的度数】 PAGEREF _Tc20418 \h 4
\l "_Tc1714" 【题型3 平面内两直线的位置关系】 PAGEREF _Tc1714 \h 8
\l "_Tc17621" 【题型4 作垂线】 PAGEREF _Tc17621 \h 11
\l "_Tc7303" 【题型5 由垂线求角度】 PAGEREF _Tc7303 \h 14
\l "_Tc28243" 【题型6 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线】 PAGEREF _Tc28243 \h 18
\l "_Tc184" 【题型7 点到直线的距离】 PAGEREF _Tc184 \h 20
\l "_Tc15068" 【题型8 垂线段最短】 PAGEREF _Tc15068 \h 24
\l "_Tc24174" 【题型9 同位角、内错角、同旁内角的识别】 PAGEREF _Tc24174 \h 27
\l "_Tc19438" 【题型10 确定同位角、内错角、同旁内角的对数】 PAGEREF _Tc19438 \h 30
【知识点1 对顶角、邻补角的概念】
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.
【题型1 对顶角、邻补角的识别】
【例1】（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）在下图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．
【详解】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故A选项不合题意；
B、∠1与∠2的两边互为反向延长线，是对顶角，故B选项符合题意；
C、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故C选项不合题意；
D、∠1与∠2两条边不是互为反向延长线，不是对顶角，故D选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，对顶角是相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它是在两直线相交的前提下形成的．
【变式1-1】（2023下·湖北荆门·七年级统考期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用邻补角定义进行解答即可．
【详解】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
【变式1-2】（2023下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对．
【答案】72
【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角；
②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对；
③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对；
④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对；
即对顶角的对数为，2，6，12，20……，
以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：n2−n ；
根据n条直线相交于一点，构成n2−n对对顶角的规律可知，
当n=9时，n2−n=（92-9）=72（对），
故答案为：72．
【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．
【变式1-3】（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角．
(1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角；
(2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角；
(3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角；
(4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？
【答案】(1)2，4
(2)6，12
(3)12，24
(4)若有n条直线相交于一点，则可形成nn−1对对顶角，2nn−1对邻补角
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；
（2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；
（3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；
（4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角；
故答案为：2，4；
（2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角；
故答案为：6，12；
（3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角；
故答案为：12，24；
（4）解：2条直线相交于一点，共有2×1=2对对顶角，2×2×1=4对邻补角；
3条直线相交于一点，共有3×2=6对对顶角，2×3×2=12对邻补角；
4条直线相交于一点，共有4×3=12对对顶角，2×4×3=24对邻补角；
∴若有n条直线相交于一点，则可形成nn−1对对顶角，2nn−1对邻补角．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键．
【知识点2 对顶角、邻补角的性质】
对顶角相等.
邻补角互补.
【题型2 由对顶角、邻补角的性质求角的度数】
【例2】（2023下·广西河池·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．
(1)图中∠AOC=∠______，∠AOE+∠______=180°；
(2)若∠AOC=80°，∠AOE=3∠COE，求∠DOE的度数．
【答案】(1)∠DOB，∠BOE
(2)160°
【分析】（1）观察图象，根据对顶角和补角的定义找角；
（2）设∠COE=x°，则∠AOE=3x°，可得x+3x=80，求得∠COE=20°，再结合∠DOE=180°−∠COE即可求解．
【详解】（1）解：∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD是对顶角．
∴∠AOC=∠BOD，
∵∠AOE的补角是∠BOE．
∴∠AOE+∠BOE=180°，
故答案为：∠DOB，∠BOE．
（2）∵∠AOE=3∠COE，
∴设∠COE=x°，则∠AOE=3x°，
∵∠AOC=80°，
∴x+3x=80，
∴x=20，即∠COE=20°，
∴∠DOE=180°−∠COE=180°−20°=160°．
【点睛】本题主要考查角的相关定义以及角度的和差倍分，要结合图象找隐藏的角度关系．
【变式2-1】（2023下·湖南长沙·七年级校考期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【答案】B
【分析】根据对顶角的性质：对顶角相等，邻补角的性质：邻补角互补，进行求解即可.
【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了对顶角与邻补角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握对顶角与邻补角的性质.
【变式2-2】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）已知直线AB与CD相交于点O．
(1)如图1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，则∠AOD=_________．
(2)如图2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小
【答案】(1)135°
(2)54°
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=12∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=12∠AOM=12×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°−∠AOC=180°−45°=135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）解：∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB−∠BON=4x°−x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=12∠CON=32x°，
∵∠BOM=32x+x=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=32x°=32×36°=54°，
即∠MON的度数为54°．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．
【变式2-3】（2023下·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；
(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【答案】(1)①∠EOF的度数为60°；②见解析；
(2)3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出∠EOF=60°；②利用OF平分∠BOE，可得：∠EOF=∠FOB=12∠EOB，再利用垂直得到：∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，即可证明∠COE=∠AOC，OC平分∠AOE．
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧和点E，F在直线AB的异侧两种情况，再分别表示出∠BOE与∠AOC，再消去α即可．
【详解】（1）解：①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF=90°，
∵∠BOD=20°,∠BOE=130°，
∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−130°−20°=30°，
∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−∠COE=90°−30°=60°；
∴∠EOF的度数为60°；
②∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF=∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，
∴∠COE=∠AOC，
∴OC平分∠AOE．
（2）解：设∠COE=α，则∠AOF=2α，
当点E，F在直线AB的同侧时，如图：
∠EOF=90°−α，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①
∠BOE=180°−∠COE−∠AOC=180°−α−90°−α=270°−3α，②
令①×3+②×2可得：3∠AOC+2∠BOE=270°，
当点E，F在直线AB的异侧时，如图：
∠EOF=90°+α，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①
∠BOE=180°−∠AOE−∠BOD=180°−α−∠AOC−∠AOC=180°−α，②
令①+②×2可得：∠AOC+2∠BOE=270°，
综上所述：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
【点睛】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力．
【题型3 平面内两直线的位置关系】
【例3】（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）l1、l2、l3为同一平面内的三条直线，若l1与l2不平行，l2与l3不平行，那么下列判断正确的是（ ）
A．l1与l3一定不平行B．l1与l3一定平行
C．l1与l3一定互相垂直D．l1与l3可能相交或平行
【答案】D
【分析】根据关键语句“若l1与l2不平行, l2与l3不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．
【详解】根据题意可得图形：
根据图形可知：若l1与l2不平行,l2与l3不平行,则l1与l3可能相交或平行，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交.
【变式3-1】（2023上·黑龙江佳木斯·七年级校考开学考试）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直B．垂直或平行
C．平行或相交D．相交或垂直或平行
【答案】C
【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．
【详解】在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行．
故选：C
【点睛】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．
【变式3-2】（2023上·七年级单元测试）在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系：平行或相交或重合进行判断．
【详解】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；
在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交，故③错误，④正确．
故正确判断的个数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面内两条直线的三种位置关系，平行、相交或重合，熟练掌握这三种位置关系是解题的关键．
【变式3-3】（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行进行求解即可．
【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出过点O的4条直线中至多只有一条直线与直线m平行
即与直线m相交的直线至少有3条．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行性质是解题的关键．
【知识点3 垂线】
①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直.
②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线.
③它们的交点叫做 垂足.
④垂线的性质：
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
⑤点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型4 作垂线】
【例4】（2023下·北京密云·七年级统考期末）下列利用三角板过点P画直线AB的垂线CD，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据垂线的定义判断即可．
【详解】解：根据垂线的定义可知选项B中，直线CD经过点P，CD⊥AB，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解，垂线的定义．
【变式4-1】（2023上·七年级课时练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断.
【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，
故选A．
【点睛】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式4-2】（2022上·福建泉州·七年级泉州七中校考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点，已知点A、B、C都在格点上，按下列要求画图：
（1）连结AC，画射线BC，则三角形ABC的面积是
（2）过点C画直线CD，使CD∥AB；过点C画AB的垂线CE，垂足为F；
（3）线段 的长度是点C到AB的距离；
（4）直线CD、CE的位置关系为________
【答案】（1）作图见解析，3；（2）作图见解析；（3）CF；（4）垂直.
【分析】（1）按要求画图，求出三角形面积即可；
（2）直接利用网格作图即可；
（3）根据点到直线的距离的定义即可判断；
（4）直接利用网格得出直线CD、CE的位置关系.
【详解】（1）如图：
三角形ABC的面积=12×2×3=3，
故答案为：3；
（2）如图：
（3）由（2）可知线段CF的长度是点C到AB的距离，
故答案为：CF；
（4）两直线CD、CE的位置关系为：垂直，
故答案为：垂直.
【点睛】本题考查复杂作图以及三角形的面积，正确借助网格作图是解题关键．
【变式4-3】（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是∠AOB的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．
(1)过点P画OB的垂线，交OA于点E；过点P画OA的垂线，垂足为F；
(2)线段PF的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段PE、PF、OE这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
【答案】(1)图见解析
(2)OA，PE，PF
（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：由题意作图如下，PE是OB的垂线，PF是OA的垂线．
（2）解：线段PF的长度是点P到OA的距离，线段PE的长度是点E到直线OB的距离，
由垂线段最短可知，PF
【题型5 由垂线求角度】
【例5】（2023上·山西晋城·七年级校考期末）综合与探究
如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB．
(1)如图1，∠AOD=40°，直接写出∠EOC的度数；
(2)如图2，在∠AOE的内部作射线OF，且∠DOF=∠BOF，此时，∠BOD=7∠EOF，求∠EOC的度数；
(3)如图3，在直线AB的下方作∠AOH，且∠AOH<45°，再作OM平分∠AOH，ON平分∠EOH，求∠MON的度数．
【答案】(1)50°
(2)50°
(3)45°
【分析】（1）由垂直的性质得∠AOE=∠BOE=90°，由平角的定义得∠AOD+∠AOE+∠EOC=180°，由∠AOD=40°，可得∠EOC的度数；
（2）由垂直的性质得∠EOF+∠AOF=90°，∠BOC+∠EOC=90°，∠AOF=90°−∠EOF，由对顶角∠AOD=∠BOC，等量代换得∠EOC=90°−∠AOD，由∠DOF=∠BOF得∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠EOC+∠BOC，等量代换得∠AOD=2∠EOF，由对顶角∠AOC=∠BOD，得∠AOF+∠EOF+∠EOC=∠BOD，由∠BOD=7∠EOF，等量代换即可求解；
（3）根据角平分线的性质得∠AOM=∠MOH=12∠AOH，∠EON=∠NOH=12∠EOH，由∠NOM=∠NOH−∠MOH，等量代换即可求解．
【详解】（1）解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠AOE+∠EOC=180°，∠AOD=40°，
∴40°+90°+∠EOC=180°，
解得∠EOC=50°；
（2）解：∵OE⊥AB，
∴∠EOF+∠AOF=90°，∠BOC+∠EOC=90°，
∴∠AOF=90°−∠EOF，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠EOC=90°−∠AOD，
∵∠DOF=∠BOF，
∴∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠EOC+∠BOC，
∴∠AOD+90°−∠EOF=∠EOF+90°−∠AOD+∠AOD，
解得∠AOD=2∠EOF，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOF+∠EOF+∠EOC=∠BOD，
∵∠BOD=7∠EOF，
∴90°−∠EOF+∠EOF+90°−∠AOD=7∠EOF，
∴180°−2∠EOF=7∠EOF，
解得∠EOF=20°，
∴∠EOC=90°−2∠EOF=50°；
（3）解：∵OM平分∠AOH，ON平分∠EOH，
∴∠AOM=∠MOH=12∠AOH，∠EON=∠NOH=12∠EOH，
∵∠NOM=∠NOH−∠MOH，
∴∠NOM=12∠EOH−12∠AOH
=12∠EOH−∠AOH
=12∠AOE=45°．
【点睛】本题考查了对顶角、垂线、角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是理清角之间的关系．
【变式5-1】（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍少30°，求∠COD的度数 ．
【答案】110°或30°
【分析】有两种情况：①如图1，根据∠COD=90°+90°−∠AOB，列方程可得结论；②如图2，根据∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC，列方程可得结论．
【详解】解：设∠AOB=x°，则∠COD=2x°−30°，
分两种情况：
①如图1，∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠COD=90°+90°−∠AOB，
即2x°−30°=90°+90°−x°，
x°=70°，
∴∠COD=2×70°−30°=110°；
②如图2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC，
x°+90=2x°−30+90，
x°=30°，
∴∠COD=2×30°−30°=30°，
综上所述，∠COD的度数为110°或30°，
故答案为：110°或30°．
【点睛】此题主要考查了角的计算，以及垂直的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．
【变式5-2】（2023上·湖北黄冈·七年级统考阶段练习）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOC，若OF⊥OB，且∠EOF=110°，则∠DOF= ．
【答案】50°
【分析】根据垂直定义可得∠BOF=90°，从而可得∠BOE=20°，再根据角平分线的定义可得∠BOC=2∠BOE=40°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵OF⊥OB，
∴∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠EOF−∠BOF=110°−90°=20°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOE=2×20°=40°，
∴∠DOF=180°−∠BOF−∠BOC=180°−90°−40°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【变式5-3】（2023上·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考期末）如图，已知∠AOB画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，试写出∠AOB和∠COD的数量关系，并说明理由.
【答案】∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180∘，见解析.
【分析】分OC、OD在边OA的同侧和异侧分别作出图形，然后分别进行计算即可得解．
【详解】∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°，理由如下：
如图1，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COD；
如图2，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠AOB+∠AOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠AOB+∠AOD=180°，
又∵∠BOC+∠AOB+∠AOC=∠COD，
∴∠AOB+∠COD=180°；
如图3，∠AOB+∠COD =360°-∠AOC-∠BOD=360°-90°-90°=180°；
如图4，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOB+∠AOD=90°，∠COD+∠AOD=90°，
∴∠AOB=∠COD；
综上所述，∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°.
【点睛】本题考查了垂线的定义，角的计算，同角的余角相等的性质，难点在于分情况讨论．
【题型6 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线】
【例6】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂直于同一直线的两条直线平行
【答案】C
【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案．
【详解】解：∵OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，
∴OA与OB重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），
故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂线的性质，正确把握定义是解题关键．
【变式6-1】（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）对于下列说法，正确的是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
C．测量孙浩的跳远成绩，正确做法的依据是“两点之间，线段最短”；
D．不相交的两条直线叫做平行线．
【答案】A
【详解】试题分析：B选项中，若两直线异面，则可以有无限条经过已知点的直线与已知直线垂直；C选项中，正确做法应该是孙浩落脚点与起跳线的最短距离，即落脚点与起跳线的垂直距离；D选项中，两条异面直线，不相交，也可能不平行．
考点：空间直线的相交、平行与垂直
点评：本题考查的是空间直线的知识，需要注意的是，在空间直线中，不相交的直线不一定平行．
【变式6-2】（2023下·河南郑州·七年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）如图所示，王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框AB是否与铅锤线重合．若门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE，否则AB与AE不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（ ）
A．经过两点有且只有一条直线
B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】根据垂线的性质解答即可．
【详解】∵在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
∴若门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE，否则AB与AE不重合．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解答本题的关键．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【变式6-3】（2023下·上海黄浦·六年级统考期末）下列方法中，不能用来检验平面与平面垂直的方法是（ ）．
A．铅垂线B．两把三角尺C．合页型折纸D．长方形纸片
【答案】D
【分析】由题意根据直线与水平面垂直，必须满足直线垂直于水平面内两条相交的直线，由此分析即可作出判断．
【详解】解：A、根据重力学原理，铅垂线垂直于水平面，不符合题意；
B、将两块三角板的直角边重合，另外两条直角边相交，放在水平面上，可判断重合的直角边垂直于水平面，不符合题意；
C、合页型折纸其折痕与纸被折断的一边垂直，即折痕与被折断的两线段垂直，把折断的两边放到水平面上，可判断折痕与水平面垂直，不符合题意；
D、长方形纸片只能判断长与宽互相垂直，不能判断与水平面垂直，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查垂线的判定，解答此题的关键是明确线面垂直的判定方法．
【题型7 点到直线的距离】
【例7】（2023下·陕西西安·七年级西安益新中学校考阶段练习）如图，P是∠AOB的边OB上一点．
(1)过P画OA的垂线，垂足为点H；
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C，点O到直线PC的距离是线段______的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；OP
【分析】（1）三角尺的直角的一边与OA重合，另一直角边经过点P画出垂线，垂足为点H即可；
（2）同（1）的方法即可完成画图．
【详解】（1）如图，PH即为所求；
（2）如图，PC即为所求；
所以点O到直线PC的距离是线段OP的长度．
故答案为：OP．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，垂线，点到直线的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
【变式7-1】（2023上·浙江·七年级统考阶段练习）如图，A、B、C是等边三角形的三个顶点，作直线l，使点A、B、C到直线l的距离之比为2:1:1，则满足条件的直线l共有（ ）
A．4条B．3条
C．2条D．1条
【答案】A
【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是分别过线段BC的中点和边AB、AC的三等分点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．
【详解】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，
故选A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离、平行线的性质等知识点，考查了分类讨论的数学思想．解题时注意全面考虑，避免漏解．
【变式7-2】（2023下·河南新乡·七年级校考期中）如图所示，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AC的长度是点C到AB的距离；⑥线段CD的长度是点D到AC的距离．
A．3个B．4个C．7个D．0个
【答案】A
【分析】①根据∠BAC=90°，得到AB⊥AC；②AD与AC不垂直；③点C到AB的垂线段是线段AC；④根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；⑤根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；⑥根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；
【详解】解：①∵∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；故①正确；
②AD⊥BC，AD与AC不垂直；故②错误；
③点C到AB的垂线段是线段AC；故③错误；
④点A到BC的距离是线段AD的长度；故④正确；
⑤线段AC的长度是点C到AB的距离；故⑤正确；
⑥线段CD的长度是点C到AD的距离；故⑥错误；
综上：正确的是：①④⑤，共3个；
故选A．
【点睛】本题考查垂线段．熟练掌握垂线段的定义，以及垂线段的长度是点到线段的距离，是解题的关键．
【变式7-3】（2023上·江苏南京·七年级校联考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点都叫做格点. 已知点A、B、C均在格点上．
(1)借助方格纸过点B画线段AC的平行线BD；
(2)借助方格纸过点B画线段AC的垂线BE，垂足为E；
(3)观察所画图形，点A到直线BE的距离是线段 的长度；
(4)BD与BE的位置关系是 ；
(5)比较大小：线段AB 线段BE（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)AE
(4)BD⊥BE
(5)＞；直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短
【分析】（1）利用网格特点进而过点B画BD//AC；
（2）利用网格特点进而过点B画BE⊥AC，垂足为点E；
（3）根据点到直线的距离和线段定义即可求解；
（4）根据作图和垂直定义即可求解；
（5）根据垂线段最短即可判断求解．
【详解】（1）如图所示：直线BD即为所求；
（2）如图所示：直线BE即为所求；
（3）∵BE⊥AC，垂足为点E；
∴AC⊥BE，垂足为点E；
∴线段AE的长度即是点A到BE的距离，
故答案为：AE；
（4）∵BD//AC；
又BE⊥AC，
∴BD⊥BE，
故答案为：BD⊥BE；
（5）线段AB、BE的大小关系是：AB>BE（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短），
故答案为：＞，理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
【点睛】本题考查应用设计与作图，平行与垂直的定义，距离定义，垂线段最短性质，解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质．
【题型8 垂线段最短】
【例8】（2023下·安徽池州·七年级统考期末）在同一个平面内，P是直线l外一点，A,B,C分别是l上三点，已知PA=1,PB=2，PC=3，若点P到l的距离是ℎ，则（ ）
A．0<ℎ≤1B．ℎ=1C．ℎ=2D．ℎ=3
【答案】A
【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可．
【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离ℎ≤PA，即0<ℎ≤1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键．
【变式8-1】（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图是一条河C是河边AB外一点，M是河边AB上一码头．
(1)若要从C走到码头M，请在图1中作出最短路线示意图．
(2)现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接CM即可得到答案；
（2）根据垂线段最短，作CD⊥AB即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意画出图，如图所示：
；
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