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初中人教版第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.2 平行线的判定巩固练习
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这是一份初中人教版第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.2 平行线的判定巩固练习，文件包含专题52平行线的判定八大题型举一反三人教版原卷版docx、专题52平行线的判定八大题型举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc962" 【题型1 平面内两直线的位置关系】 PAGEREF _Tc962 \h 1
\l "_Tc18606" 【题型2 格点中作平行线】 PAGEREF _Tc18606 \h 2
\l "_Tc27058" 【题型3 填写平行线判定的依据】 PAGEREF _Tc27058 \h 6
\l "_Tc24379" 【题型4 确定两直线平行的条件】 PAGEREF _Tc24379 \h 8
\l "_Tc15634" 【题型5 补充过程证明两直线平行】 PAGEREF _Tc15634 \h 12
\l "_Tc20388" 【题型6 利用平行线的判定进行证明】 PAGEREF _Tc20388 \h 16
\l "_Tc7514" 【题型7 旋转使两直线平行】 PAGEREF _Tc7514 \h 20
\l "_Tc18149" 【题型8 平行线判定的实际应用】 PAGEREF _Tc18149 \h 25
【题型1 平面内两直线的位置关系】
【例1】（2023下·北京延庆·七年级统考期末）如图的网格纸中，AB∥ ，AB⊥ ．
【答案】 CD， AE.
【分析】根据平行和垂直的定义结合网格即可作出判断.
【详解】解：由图可得AB∥CD，而CD⊥AE，∴可得AB⊥AE．
【点睛】本题考查了平行和垂直的判断，熟悉网格结构是解题关键.
【变式1-1】（2023下·吉林·七年级统考期中）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和 两种位置关系．
【答案】平行
【分析】根据两直线的位置关系解答即可.
【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，
故答案为：平行.
【点睛】此题主要考查了平行线，关键是掌握在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外).
【变式1-2】（2023下·七年级单元测试）同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意先画出图形即可得到答案．
【详解】解：根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点．如图，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平面内，直线的位置关系的理解，相交线的交点的含义，利用数形结合的方法解题是关键．
【变式1-3】（2023下·浙江·七年级专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线．
【答案】平行
【分析】根据平行线的定义，进行判断即可．
【详解】解：由平行线的定义可知，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条平行直线，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系．熟练掌握同一平面内，不相交的两条直线是平行线，是解题的关键．
【题型2 格点中作平行线】
【例2】（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7×7的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】利用格点的性质和三角形的面积公式即可得．
【详解】由格点的性质和三角形的面积公式得，总共有6个满足条件的格点C，如图所示：（格点C均在平行于AB的直线上）
其中，由点C1,C2,C3,C4,C5与点A,B分别构成的5个三角形的面积显然是3
△ABC6的面积为S△AC3C6−S△BDC6−S直角梯形△ABDC3
=12×4×6−12×3×3−12×(3+6)×1
=12−92−92
=3
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的实际应用，理解题意，结合格点的性质是解题关键．
【变式2-1】（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：
(1)过点B画直线BE∥AD；过点C画直线CF∥AD；
(2)过点D画直线MN⊥AD；
(3)试判断直线BE与直线CF的位置关系．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)BE∥CF，理由见解析．
【分析】（1）根据网格线的特点作图；
（2）根据网格线的特点作图；
（3）根据平行线的传递性证明．
【详解】（1）解：如图，BE，CF即为所求；
（2）解：如图，MN即为所求；
（3）解： BE∥CF，理由如下：
∵BE∥AD， CF∥AD，
∴BE∥CF．
【点睛】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及平行线的判定方法是解题的关键．
【变式2-2】（2023下·广东广州·七年级执信中学校考期中）如图，点A，C，B，D在8×9网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．请按要求画图，并回答问题：
(1)过点C画直线AB的垂线，垂足为E；并直接写出点C到直线AB的距离；
(2)过点A画AF∥BC交CE于点F；
(3)请写出图中∠CBD的所有同位角．
【答案】(1)图见解析；2
(2)图见解析
(3)∠BAF,∠BAC,∠CED
【分析】（1）取格点E，作直线CE即可写；
（2）取格点F，连接AF即可；
（3）根据作图写出图中∠CBD的所有同位角即可．
【详解】（1）解：如图，直线CE即为所求；
点C到直线AB的距离为2；
（2）解：如图，AF即为所求；
（3）解：∠CBD的所有同位角有∠BAF,∠BAC,∠CED．
【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图、点到直线的距离、画平行线，同位角，解决本题的关键是准确画图．
【变式2-3】（2023下·江西抚州·七年级统考期中）请仅用无刻度直尺完成下列作图．（注意：请将相关字母标在相应位置上）
在图1的方格纸中过格点A作直线b，使b∥a．
【分析】根据平行线的判定可取格点F，直线AF即可．
【详解】解：如图1中，直线b即为所求．
【题型3 填写平行线判定的依据】
【例3】（2023上·山西晋中·七年级统考期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2．这样画的依据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【详解】解：由题意得∠1=∠2，
根据内错角相等，两直线平行可得l1∥l2 ．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
【变式3-1】（2023下·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图所示，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，∠BCD=70°，管道AB，CD的关系是 ，依据是 ．
【答案】 AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行
【分析】根据题意推出∠ABC+∠BCD=110°+70°=180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得出结论．
【详解】解：∵∠ABC=110°，∠BCD=70°，
∴∠ABC+∠BCD=110°+70°=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：AB∥CD，同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行．
【变式3-2】（2023下·河北石家庄·七年级校考期末）数学课上老师要求同学们用三角板画已知直线a的平行线b，如图是苗苗和小华画图的过程．老师说苗苗和小华两位同学的画法都是正确的．甲、乙两位同学分别对苗苗和小华画平行线的依据进行了说明：
甲同学说：苗苗的画图依据是“同位角相等，两直线平行”；
乙同学说：小华的画图依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”．
对于甲、乙两同学的说法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙都正确B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确D．甲、乙都错误
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】苗苗画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行；
小华画平行线的依据是：内错角相等，两直线平行；
故甲正确，乙错误．
故选：B
【点睛】本题考查平行线的判定定理．掌握相关定理是解题的关键．
【变式3-3】（2023下·广东韶关·七年级统考期中）如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是（ ）
①同位角相等，两直线平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行
A．①②B．②④C．①④D．③④
【答案】C
【分析】根据平行线的判定进行解答即可．
【详解】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；
∴依据为①④，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【知识点1 平行线的判定】
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型4 确定两直线平行的条件】
【例4】（2023下·安徽六安·七年级校考阶段练习）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
∠1=∠3B．∠4＝∠5
C．∠B=∠DD．∠B+∠2+∠4=180°
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】解：A．∠1=∠3，不能判定AB∥CD，不符合题意；
B．∠4=∠5，根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
C．∠B=∠D，不能判定AB∥CD，不符合题意；
D．∠B+∠4+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
【变式4-1】（2023下·河北廊坊·七年级统考期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．若∠1=∠2，则AB∥CDB．若∠1+∠3=180°，则AB∥CD
C．若∠3=∠5，则AB∥CDD．若∠4=∠5，则AB∥CD
【答案】C
【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各项进行判断即可．
【详解】解：A、∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可判定AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、如图，
∵∠1+∠3=180°，∠1+∠6=180°，
∴∠3=∠6，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
C、∠3，∠5不是内错角，故∠3=∠5不能判定AB∥CD，本选项错误，故本选项符合题意；
D、∠4，∠5是内错角，可以判定出AB∥CD，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．
【变式4-2】（2023下·山东日照·七年级统考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠CD．∠B+∠BDE=180°
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】因为∠1=∠2，
所以DE∥BC，
故A不符合题意；
因为∠3=∠4，
不能判断DE∥BC，
故B符合题意；
因为∠5=∠C，
所以DE∥BC，
故C不符合题意；
因为∠B+∠BDE=180°，
所以DE∥BC，
故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【变式4-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是 ．（只填序号）
【答案】①③④⑤⑥
【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断①；根据同位角相等，两直线平行，即可判断③；根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断④；根据同角的补交相等可得∠4=∠6，再根据同位角相等，两直线平行，即可判断⑤；过点B作BD∥b，则∠3=∠ABD，从而得出∠2=∠CBD，进而得出BD∥a，最后根据平行于同一直线的两直线互相平行，即可判断⑥．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴a∥b，
故①能够判定直线a∥b，符合题意；
②∠2=∠3不能判定a∥b，故②不符合题意；
③∵∠3=∠5，
∴a∥b，
故③能够判定直线a∥b，符合题意；
④∵∠3+∠4=180∘，
∴a∥b，
故④能够判定直线a∥b，符合题意；
⑤∵∠5+∠6=180∘，∠5+∠4=180∘，
∴∠4=∠6，
∴∴a∥b，
故⑤能够判定直线a∥b，符合题意；
⑥过点B作BD∥b，
∵BD∥b，
∴∠3=∠ABD，
∵∠7=∠2+∠3，∠7=∠ABD+∠CBD，
∴∠2=∠CBD，
∴BD∥a，
∴a∥b．
故⑥能够判定直线a∥b，符合题意；
综上：能够判定直线a∥b的有：①③④⑤⑥．
故答案为：①③④⑤⑥．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行．
【题型5 补充过程证明两直线平行】
【例5】（2023下·福建宁德·七年级统考期中）请把以下说理过程补充完整：
如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，
说明BE与DF平行的理由．
解：理由是：
因为AB⊥BC ，
所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．
因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，
所以___________=___________（___________）．
所以BE∥DF（_____________________）．
【答案】90，90；∠1，∠4，等角的余角相等；同位角相等两直线平行
【分析】由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，根据∠2＝∠3，利用等角的余角相等得到∠1＝∠4，利用同位角相等两直线平行即可得证．
【详解】解： 理由是：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3＋∠4＝90°．
又∵∠1＋∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE//DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定以及余角和补角，利用等角的余角相等找出∠1＝∠4是解题的关键．
【变式5-1】（2023下·北京延庆·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】见解析
【分析】根据平行的判定定理证明即可．
【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两条直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式5-2】（2023下·四川达州·七年级校考阶段练习）推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ ），
∴ ＝ （ ）
∴BE∥CF（ ）．
【答案】已知；∠3；∠4；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】注意观察图中角之间的位置关系，主要依据为同角或等角的余角相等，平行线的判定定理．
【详解】解：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ 已知 ），
∴∠3=∠4（ 等角的余角相等 ）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【点睛】本题主要考查同角或等角的余角相等，内错角相等，两直线平行；熟练相关定理的运用是解题的关键．
【变式5-3】（2023下·浙江·七年级专题练习）完成下面的证明：已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ ）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】角平分线的定义；2∠2；等式的性质；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【分析】首先根据角平分线的定义可得∠BDC=2∠1，∠ABD=2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【详解】证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ 角平分线的定义）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠2（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ 等式的性质）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
【题型6 利用平行线的判定进行证明】
【例6】（2023下·广西南宁·七年级统考期末）如图∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上．
(1)∠DAB+∠B等于多少度？
(2)若∠B=∠D，AB与CD平行吗？证明你的结论．
【答案】(1)180
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）由AB⊥AC得∠BAC=90°，已知∠1=30°，∠B=60°，根据∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B计算即可；
（2）由（1）得：∠DAB+∠B=180°，结合∠B=∠D，得∠DAB+∠D=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明AB与CD平行．
【详解】（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
又∵∠1=30°，∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B=30°+90°+60°=180°，
故∠DAB+∠B等于180度．
（2）∵∠B=∠D，
由（1）得：∠DAB+∠B=180°，
∴∠DAB+∠D=180°，
∴ AB与CD平行．（同旁内角互补，两直线平行）
【点睛】本题考查了角度计算、平行线的判定，熟练计算、掌握平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，是解题的关键．
【变式6-1】（2023下·广东东莞·七年级校考期中）在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．证明：AD∥BC．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再由∠1=∠3，可得∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，即可得证．
【详解】证明：∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠1=∠2，
又∵ ∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴ AD∥BC．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式6-2】（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，设BC与AE交于点F．
(1)若△ABF的周长为12，△DEF的周长4，求AF的长；
(2)若∠ADC=∠DAC，证明：DE∥AC．
【答案】(1)AF的长为4；
(2)见解析
【分析】（1）设BD=a，DF=b，AF=x，由折叠的性质得DE=BD=a，AB=AE=x+EF，再根据周长公式列式计算即可求解；
（2）由折叠的性质得∠ADB=∠ADE，由邻补角的性质结合已知，推出∠DAC+∠ADE=180°，根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：设BD=a，DF=b，AF=x，
∵将△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴DE=BD=a，AB=AE=x+EF，
∵△DEF的周长4，
∴EF=4−a+b，
∴AB=x+4−a+b，
∵△ABF的周长为12，，
∴x+4−a+b+a+b+x=12，
解得x=4，即AF的长为4；
（2）证明：由折叠的性质得∠ADB=∠ADE，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠ADE=180°，
∵∠ADC=∠DAC，
∴∠DAC+∠ADE=180°，
∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式6-3】（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB和CD被直线MN所截．
(1)如图1，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE（平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足______时， AB∥CD，并说明平行的理由；
(2)如图2，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由；
(3)如图3，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由．
【答案】(1)∠1+∠2=90°，见解析
(2)∠1=∠2，见解析
(3)∠1=∠2，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1与∠2满足∠1+∠2=90°，即可得出∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，即可判断AB∥CD；
（2）根据角平分线的定义可得∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1与∠2满足∠1=∠2，即可得∠BEM=∠DFE，即可判断AB∥CD；
（3）同（2）的分析即得结论．
【详解】（1）当∠1与∠2满足∠1+∠2=90°时， AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∴∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，
∴AB∥CD；
（2）当∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，
∴∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠BEM=∠DFE，
∴AB∥CD；
（3）当∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
∴∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠AEF=∠DFE，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【题型7 旋转使两直线平行】
【例7】（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为( )
A．65°B．85°C．95°D．115°
【答案】B
【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时，a∥b，进而算出答案．
【详解】解：∵当∠AOB=65°时，a∥b
∴旋转的最小角度为150°﹣65°=85°，
故选：B
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．
【变式7-1】（2023下·河北秦皇岛·七年级统考期中）如图所示，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB，CD别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t= 秒．
【答案】5或95
【分析】分①AB与CD在EF的两侧时，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】∵∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°−∠DCF=180°−60°=120°，
分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD=120°−3t°，∠BAC=110°−t°，
要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°−3t°=110°−t°，
解得t=5；
如图②，CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF=360°−3t°−60°=300°−3t°，∠BAC=110°−t°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°−3t°=110°−t°，
解得t=95；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∠DCF=3t°−(180°−60°+180°)=3t°−300°，∠BAC=t°−110°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即3t°−300°=t°−110°，
解得t=95，
此时∠BAC=t°−110°<0°，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．
故答案为：5或95．
【点睛】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方法列方程是解题的关键，要注意分情况讨论．
【变式7-2】（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）如图（1），在△ABC中，∠A=42°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当∠ACB′=（ ）时，CB′//AB．
A．42°B．138°C．42°或138°D．42°或128°
【答案】C
【分析】结合旋转的过程可知，因为CB'位置的改变，∠ACB'与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】解：如图（2）①，
当∠ACB'=42°时，
∵∠A=42°，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2）②，
当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴∠ACB'+∠A=138°+42°=180°．
∴CB'∥AB．
综上可得，当∠ACB'=42°或∠ACB'=138°时，CB'∥AB．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
【变式7-3】（2023下·重庆·七年级重庆八中校考阶段练习）如图，PQ//MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足a−5+b−12=0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
【答案】15或22.5
【分析】先由题意得出a，b的值，再推出射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18°×5=90°，然后分情况讨论即可．
【详解】∵a−5+b−12=0，
∴a=5，b=1，
设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行，如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18°×5=90°，分两种情况：
①当9＜t＜18时，如图，∠QBQ'=t°，∠M'AM"=5t°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM"=5t-45°，
当∠ABQ'=∠BAM"时，BQ'//AM"，
此时，45°-t°=5t-45°，
解得t=15；
②当18＜t＜27时，如图∠QBQ'=t°，∠NAM"=5t°-90°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM"=45°-（5t°-90°）=135°-5t°，
当∠ABQ'=∠BAM"时，BQ'//AM"，
此时，45°-t°=135°-5t，
解得t=22.5；
综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM射线BQ互相平行．
故答案为：15或22.5
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的判定，掌握知识点是解题关键．
【题型8 平行线判定的实际应用】
【例8】（2023下·浙江台州·七年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5
【答案】A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出∠5=90°，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出∠3=90°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
【变式8-1】（2023下·江西赣州·七年级校联考期中）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以a∥b；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以a∥b；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以a∥b．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式8-2】（2023下·全国·七年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出∠1与∠2的补角相等，再根据∠3=∠4，结合内错角相等，两直线平行即可判定a∥b．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc962" 【题型1 平面内两直线的位置关系】 PAGEREF _Tc962 \h 1
\l "_Tc18606" 【题型2 格点中作平行线】 PAGEREF _Tc18606 \h 2
\l "_Tc27058" 【题型3 填写平行线判定的依据】 PAGEREF _Tc27058 \h 6
\l "_Tc24379" 【题型4 确定两直线平行的条件】 PAGEREF _Tc24379 \h 8
\l "_Tc15634" 【题型5 补充过程证明两直线平行】 PAGEREF _Tc15634 \h 12
\l "_Tc20388" 【题型6 利用平行线的判定进行证明】 PAGEREF _Tc20388 \h 16
\l "_Tc7514" 【题型7 旋转使两直线平行】 PAGEREF _Tc7514 \h 20
\l "_Tc18149" 【题型8 平行线判定的实际应用】 PAGEREF _Tc18149 \h 25
【题型1 平面内两直线的位置关系】
【例1】（2023下·北京延庆·七年级统考期末）如图的网格纸中，AB∥ ，AB⊥ ．
【答案】 CD， AE.
【分析】根据平行和垂直的定义结合网格即可作出判断.
【详解】解：由图可得AB∥CD，而CD⊥AE，∴可得AB⊥AE．
【点睛】本题考查了平行和垂直的判断，熟悉网格结构是解题关键.
【变式1-1】（2023下·吉林·七年级统考期中）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和 两种位置关系．
【答案】平行
【分析】根据两直线的位置关系解答即可.
【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，
故答案为：平行.
【点睛】此题主要考查了平行线，关键是掌握在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外).
【变式1-2】（2023下·七年级单元测试）同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意先画出图形即可得到答案．
【详解】解：根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点．如图，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平面内，直线的位置关系的理解，相交线的交点的含义，利用数形结合的方法解题是关键．
【变式1-3】（2023下·浙江·七年级专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线．
【答案】平行
【分析】根据平行线的定义，进行判断即可．
【详解】解：由平行线的定义可知，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条平行直线，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系．熟练掌握同一平面内，不相交的两条直线是平行线，是解题的关键．
【题型2 格点中作平行线】
【例2】（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7×7的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】利用格点的性质和三角形的面积公式即可得．
【详解】由格点的性质和三角形的面积公式得，总共有6个满足条件的格点C，如图所示：（格点C均在平行于AB的直线上）
其中，由点C1,C2,C3,C4,C5与点A,B分别构成的5个三角形的面积显然是3
△ABC6的面积为S△AC3C6−S△BDC6−S直角梯形△ABDC3
=12×4×6−12×3×3−12×(3+6)×1
=12−92−92
=3
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的实际应用，理解题意，结合格点的性质是解题关键．
【变式2-1】（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：
(1)过点B画直线BE∥AD；过点C画直线CF∥AD；
(2)过点D画直线MN⊥AD；
(3)试判断直线BE与直线CF的位置关系．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)BE∥CF，理由见解析．
【分析】（1）根据网格线的特点作图；
（2）根据网格线的特点作图；
（3）根据平行线的传递性证明．
【详解】（1）解：如图，BE，CF即为所求；
（2）解：如图，MN即为所求；
（3）解： BE∥CF，理由如下：
∵BE∥AD， CF∥AD，
∴BE∥CF．
【点睛】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及平行线的判定方法是解题的关键．
【变式2-2】（2023下·广东广州·七年级执信中学校考期中）如图，点A，C，B，D在8×9网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．请按要求画图，并回答问题：
(1)过点C画直线AB的垂线，垂足为E；并直接写出点C到直线AB的距离；
(2)过点A画AF∥BC交CE于点F；
(3)请写出图中∠CBD的所有同位角．
【答案】(1)图见解析；2
(2)图见解析
(3)∠BAF,∠BAC,∠CED
【分析】（1）取格点E，作直线CE即可写；
（2）取格点F，连接AF即可；
（3）根据作图写出图中∠CBD的所有同位角即可．
【详解】（1）解：如图，直线CE即为所求；
点C到直线AB的距离为2；
（2）解：如图，AF即为所求；
（3）解：∠CBD的所有同位角有∠BAF,∠BAC,∠CED．
【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图、点到直线的距离、画平行线，同位角，解决本题的关键是准确画图．
【变式2-3】（2023下·江西抚州·七年级统考期中）请仅用无刻度直尺完成下列作图．（注意：请将相关字母标在相应位置上）
在图1的方格纸中过格点A作直线b，使b∥a．
【分析】根据平行线的判定可取格点F，直线AF即可．
【详解】解：如图1中，直线b即为所求．
【题型3 填写平行线判定的依据】
【例3】（2023上·山西晋中·七年级统考期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2．这样画的依据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【详解】解：由题意得∠1=∠2，
根据内错角相等，两直线平行可得l1∥l2 ．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
【变式3-1】（2023下·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图所示，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，∠BCD=70°，管道AB，CD的关系是 ，依据是 ．
【答案】 AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行
【分析】根据题意推出∠ABC+∠BCD=110°+70°=180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得出结论．
【详解】解：∵∠ABC=110°，∠BCD=70°，
∴∠ABC+∠BCD=110°+70°=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：AB∥CD，同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行．
【变式3-2】（2023下·河北石家庄·七年级校考期末）数学课上老师要求同学们用三角板画已知直线a的平行线b，如图是苗苗和小华画图的过程．老师说苗苗和小华两位同学的画法都是正确的．甲、乙两位同学分别对苗苗和小华画平行线的依据进行了说明：
甲同学说：苗苗的画图依据是“同位角相等，两直线平行”；
乙同学说：小华的画图依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”．
对于甲、乙两同学的说法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙都正确B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确D．甲、乙都错误
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】苗苗画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行；
小华画平行线的依据是：内错角相等，两直线平行；
故甲正确，乙错误．
故选：B
【点睛】本题考查平行线的判定定理．掌握相关定理是解题的关键．
【变式3-3】（2023下·广东韶关·七年级统考期中）如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是（ ）
①同位角相等，两直线平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行
A．①②B．②④C．①④D．③④
【答案】C
【分析】根据平行线的判定进行解答即可．
【详解】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；
∴依据为①④，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【知识点1 平行线的判定】
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型4 确定两直线平行的条件】
【例4】（2023下·安徽六安·七年级校考阶段练习）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
∠1=∠3B．∠4＝∠5
C．∠B=∠DD．∠B+∠2+∠4=180°
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】解：A．∠1=∠3，不能判定AB∥CD，不符合题意；
B．∠4=∠5，根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
C．∠B=∠D，不能判定AB∥CD，不符合题意；
D．∠B+∠4+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
【变式4-1】（2023下·河北廊坊·七年级统考期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．若∠1=∠2，则AB∥CDB．若∠1+∠3=180°，则AB∥CD
C．若∠3=∠5，则AB∥CDD．若∠4=∠5，则AB∥CD
【答案】C
【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各项进行判断即可．
【详解】解：A、∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可判定AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、如图，
∵∠1+∠3=180°，∠1+∠6=180°，
∴∠3=∠6，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
C、∠3，∠5不是内错角，故∠3=∠5不能判定AB∥CD，本选项错误，故本选项符合题意；
D、∠4，∠5是内错角，可以判定出AB∥CD，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．
【变式4-2】（2023下·山东日照·七年级统考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠CD．∠B+∠BDE=180°
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】因为∠1=∠2，
所以DE∥BC，
故A不符合题意；
因为∠3=∠4，
不能判断DE∥BC，
故B符合题意；
因为∠5=∠C，
所以DE∥BC，
故C不符合题意；
因为∠B+∠BDE=180°，
所以DE∥BC，
故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【变式4-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是 ．（只填序号）
【答案】①③④⑤⑥
【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断①；根据同位角相等，两直线平行，即可判断③；根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断④；根据同角的补交相等可得∠4=∠6，再根据同位角相等，两直线平行，即可判断⑤；过点B作BD∥b，则∠3=∠ABD，从而得出∠2=∠CBD，进而得出BD∥a，最后根据平行于同一直线的两直线互相平行，即可判断⑥．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴a∥b，
故①能够判定直线a∥b，符合题意；
②∠2=∠3不能判定a∥b，故②不符合题意；
③∵∠3=∠5，
∴a∥b，
故③能够判定直线a∥b，符合题意；
④∵∠3+∠4=180∘，
∴a∥b，
故④能够判定直线a∥b，符合题意；
⑤∵∠5+∠6=180∘，∠5+∠4=180∘，
∴∠4=∠6，
∴∴a∥b，
故⑤能够判定直线a∥b，符合题意；
⑥过点B作BD∥b，
∵BD∥b，
∴∠3=∠ABD，
∵∠7=∠2+∠3，∠7=∠ABD+∠CBD，
∴∠2=∠CBD，
∴BD∥a，
∴a∥b．
故⑥能够判定直线a∥b，符合题意；
综上：能够判定直线a∥b的有：①③④⑤⑥．
故答案为：①③④⑤⑥．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行．
【题型5 补充过程证明两直线平行】
【例5】（2023下·福建宁德·七年级统考期中）请把以下说理过程补充完整：
如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，
说明BE与DF平行的理由．
解：理由是：
因为AB⊥BC ，
所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．
因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，
所以___________=___________（___________）．
所以BE∥DF（_____________________）．
【答案】90，90；∠1，∠4，等角的余角相等；同位角相等两直线平行
【分析】由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，根据∠2＝∠3，利用等角的余角相等得到∠1＝∠4，利用同位角相等两直线平行即可得证．
【详解】解： 理由是：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3＋∠4＝90°．
又∵∠1＋∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE//DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定以及余角和补角，利用等角的余角相等找出∠1＝∠4是解题的关键．
【变式5-1】（2023下·北京延庆·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】见解析
【分析】根据平行的判定定理证明即可．
【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两条直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式5-2】（2023下·四川达州·七年级校考阶段练习）推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ ），
∴ ＝ （ ）
∴BE∥CF（ ）．
【答案】已知；∠3；∠4；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】注意观察图中角之间的位置关系，主要依据为同角或等角的余角相等，平行线的判定定理．
【详解】解：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ 已知 ），
∴∠3=∠4（ 等角的余角相等 ）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【点睛】本题主要考查同角或等角的余角相等，内错角相等，两直线平行；熟练相关定理的运用是解题的关键．
【变式5-3】（2023下·浙江·七年级专题练习）完成下面的证明：已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ ）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】角平分线的定义；2∠2；等式的性质；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【分析】首先根据角平分线的定义可得∠BDC=2∠1，∠ABD=2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【详解】证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ 角平分线的定义）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠2（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ 等式的性质）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
【题型6 利用平行线的判定进行证明】
【例6】（2023下·广西南宁·七年级统考期末）如图∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上．
(1)∠DAB+∠B等于多少度？
(2)若∠B=∠D，AB与CD平行吗？证明你的结论．
【答案】(1)180
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）由AB⊥AC得∠BAC=90°，已知∠1=30°，∠B=60°，根据∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B计算即可；
（2）由（1）得：∠DAB+∠B=180°，结合∠B=∠D，得∠DAB+∠D=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明AB与CD平行．
【详解】（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
又∵∠1=30°，∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B=30°+90°+60°=180°，
故∠DAB+∠B等于180度．
（2）∵∠B=∠D，
由（1）得：∠DAB+∠B=180°，
∴∠DAB+∠D=180°，
∴ AB与CD平行．（同旁内角互补，两直线平行）
【点睛】本题考查了角度计算、平行线的判定，熟练计算、掌握平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，是解题的关键．
【变式6-1】（2023下·广东东莞·七年级校考期中）在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．证明：AD∥BC．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再由∠1=∠3，可得∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，即可得证．
【详解】证明：∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠1=∠2，
又∵ ∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴ AD∥BC．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式6-2】（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，设BC与AE交于点F．
(1)若△ABF的周长为12，△DEF的周长4，求AF的长；
(2)若∠ADC=∠DAC，证明：DE∥AC．
【答案】(1)AF的长为4；
(2)见解析
【分析】（1）设BD=a，DF=b，AF=x，由折叠的性质得DE=BD=a，AB=AE=x+EF，再根据周长公式列式计算即可求解；
（2）由折叠的性质得∠ADB=∠ADE，由邻补角的性质结合已知，推出∠DAC+∠ADE=180°，根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：设BD=a，DF=b，AF=x，
∵将△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴DE=BD=a，AB=AE=x+EF，
∵△DEF的周长4，
∴EF=4−a+b，
∴AB=x+4−a+b，
∵△ABF的周长为12，，
∴x+4−a+b+a+b+x=12，
解得x=4，即AF的长为4；
（2）证明：由折叠的性质得∠ADB=∠ADE，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠ADE=180°，
∵∠ADC=∠DAC，
∴∠DAC+∠ADE=180°，
∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式6-3】（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB和CD被直线MN所截．
(1)如图1，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE（平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足______时， AB∥CD，并说明平行的理由；
(2)如图2，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由；
(3)如图3，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由．
【答案】(1)∠1+∠2=90°，见解析
(2)∠1=∠2，见解析
(3)∠1=∠2，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1与∠2满足∠1+∠2=90°，即可得出∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，即可判断AB∥CD；
（2）根据角平分线的定义可得∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1与∠2满足∠1=∠2，即可得∠BEM=∠DFE，即可判断AB∥CD；
（3）同（2）的分析即得结论．
【详解】（1）当∠1与∠2满足∠1+∠2=90°时， AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∴∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，
∴AB∥CD；
（2）当∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，
∴∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠BEM=∠DFE，
∴AB∥CD；
（3）当∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
∴∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠AEF=∠DFE，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【题型7 旋转使两直线平行】
【例7】（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为( )
A．65°B．85°C．95°D．115°
【答案】B
【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时，a∥b，进而算出答案．
【详解】解：∵当∠AOB=65°时，a∥b
∴旋转的最小角度为150°﹣65°=85°，
故选：B
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．
【变式7-1】（2023下·河北秦皇岛·七年级统考期中）如图所示，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB，CD别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t= 秒．
【答案】5或95
【分析】分①AB与CD在EF的两侧时，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】∵∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°−∠DCF=180°−60°=120°，
分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD=120°−3t°，∠BAC=110°−t°，
要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°−3t°=110°−t°，
解得t=5；
如图②，CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF=360°−3t°−60°=300°−3t°，∠BAC=110°−t°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°−3t°=110°−t°，
解得t=95；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∠DCF=3t°−(180°−60°+180°)=3t°−300°，∠BAC=t°−110°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即3t°−300°=t°−110°，
解得t=95，
此时∠BAC=t°−110°<0°，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．
故答案为：5或95．
【点睛】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方法列方程是解题的关键，要注意分情况讨论．
【变式7-2】（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）如图（1），在△ABC中，∠A=42°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当∠ACB′=（ ）时，CB′//AB．
A．42°B．138°C．42°或138°D．42°或128°
【答案】C
【分析】结合旋转的过程可知，因为CB'位置的改变，∠ACB'与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】解：如图（2）①，
当∠ACB'=42°时，
∵∠A=42°，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2）②，
当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴∠ACB'+∠A=138°+42°=180°．
∴CB'∥AB．
综上可得，当∠ACB'=42°或∠ACB'=138°时，CB'∥AB．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
【变式7-3】（2023下·重庆·七年级重庆八中校考阶段练习）如图，PQ//MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足a−5+b−12=0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
【答案】15或22.5
【分析】先由题意得出a，b的值，再推出射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18°×5=90°，然后分情况讨论即可．
【详解】∵a−5+b−12=0，
∴a=5，b=1，
设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行，如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18°×5=90°，分两种情况：
①当9＜t＜18时，如图，∠QBQ'=t°，∠M'AM"=5t°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM"=5t-45°，
当∠ABQ'=∠BAM"时，BQ'//AM"，
此时，45°-t°=5t-45°，
解得t=15；
②当18＜t＜27时，如图∠QBQ'=t°，∠NAM"=5t°-90°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM"=45°-（5t°-90°）=135°-5t°，
当∠ABQ'=∠BAM"时，BQ'//AM"，
此时，45°-t°=135°-5t，
解得t=22.5；
综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM射线BQ互相平行．
故答案为：15或22.5
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的判定，掌握知识点是解题关键．
【题型8 平行线判定的实际应用】
【例8】（2023下·浙江台州·七年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5
【答案】A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出∠5=90°，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出∠3=90°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
【变式8-1】（2023下·江西赣州·七年级校联考期中）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以a∥b；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以a∥b；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以a∥b．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式8-2】（2023下·全国·七年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出∠1与∠2的补角相等，再根据∠3=∠4，结合内错角相等，两直线平行即可判定a∥b．
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