专题5.11 相交线与平行线章末八大题型总结（拔尖篇）（原卷版+解析版）

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专题5.11 相交线与平行线章末八大题型总结（拔尖篇）【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc28476" 【题型1 平行线在三角板中的运用】  PAGEREF _Toc28476 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24645" 【题型2 平行线在折叠中的运用】  PAGEREF _Toc24645 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc8140" 【题型3 旋转使平行】  PAGEREF _Toc8140 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc25987" 【题型4 利用平行线求角度之间的关系】  PAGEREF _Toc25987 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc4842" 【题型5 利用平行线解决角度定值问题】  PAGEREF _Toc4842 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc11458" 【题型6 平行线的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc11458 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc24577" 【题型7 平行线的性质在生活中的应用】  PAGEREF _Toc24577 \h 55 HYPERLINK \l "_Toc20249" 【题型8 平行线与动点的综合应用】  PAGEREF _Toc20249 \h 59【题型1 平行线在三角板中的运用】【例1】（2023下·浙江温州·七年级校考期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．  (1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，直接写出此时t的值；(2)当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系．(3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，请直接写出此时t的值．【答案】(1)3(2)∠ECB−∠DCA=15°(3)15或24或33【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACE=12∠DCE=15°，然后求出t的值即可；（2）根据旋转得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°−5t，∠ECB=45°−5t，即可得出∠ECB−∠DCA=15°；（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可．【详解】（1）解：如图2，∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，  ∴∠DCE=30°，∵AC平分∠DCE，∴∠ACE=12∠DCE=15°，∴t=155=3，答：此时t的值是3；（2）解：当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3；  由旋转得：∠ACE=5t，∴∠DCA=30°−5t，∠ECB=45°−5t，∴∠ECB−∠DCA=45°−5t−30°−5t=15°；（3）解：分三种情况：①当AB∥DE时，如图4，  此时BC与CD重合，t=30+45÷5=15；②当AC∥DE时，如图5，  ∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D=90°，∴∠ACE=90°+30°=120°，t=120÷5=24；③当BC∥DE时，如图6，  ∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE=90°∴∠ACD=90°+30°+45°=165°∴t=165÷5=33综上，t的值是15或24或33．故答案为：15或24或33．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，角平分线的计算，平行线的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．【变式1-1】（2023下·河南安阳·七年级统考期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；(2)类比探究，若按住三角板ABC不动，顺时针绕直角顶点C转动三角形DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．【答案】(1)∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°(2)当∠ACD=60°或120°时，CE//AB(3)∠ACD=45°，AC⊥DE或AC//DE【分析】（1）由三角板的特点可知∠ACB=∠DCE=90°，即可求出∠BCD=∠ACE．再根据∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE−∠ACE，即可求出∠BCE+∠ACD=180°；（2）分类讨论结合平行线的性质即可求解；（3）由（1）∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD=45°，再分类讨论结合平行线的判定和性质即可得出DE与AC的位置关系．【详解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB−∠ACD=∠DCE−∠ACD，即∠BCD=∠ACE．∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE−∠ACE，∴∠BCE+∠ACD=∠ACB+∠DCE=90°+90°=180°．故答案为：∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°；（2）分类讨论：①如图1所示，∵CE//AB，∴∠ACE=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠DCE−∠ACE=90°−30°=60°；②如图2所示，∵CE//AB，∴∠BCE=∠B=60°，∴∠ACD=360°−∠ACB−∠DCE−∠BCE=360°−90°−90°−60°=120°．综上可知当∠ACD=60°或120°时，CE//AB；（3）根据（1）可知∠BCE+∠ACD=180°，∴3∠ACD+∠ACD=180°，∴∠ACD=45°．分类讨论：①如图3所示， ∵∠ACD=45°，∴∠BCD=45°=∠CDE，∴BC//DE．∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AC⊥DE；②如图4所示，∵∠ACD=45°，∴∠ACD=45°=∠CDE，∴AC//DE．【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．【变式1-2】（2023上·湖南长沙·七年级校考期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）①如图1，∠DPC＝　 　度．②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①∠CPD∠BPN为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证明．【答案】（1）①90；②t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正确，②错误，证明见解析．【分析】（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：∠DPC=180°−∠CPA−∠DPB,从而可得答案；②当BD//PC时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当PA//BD时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//DP时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//BD时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//BP时的旋转时间与PA//BD相同；（2）分两种情况讨论：当PD在MN上方时，当PD在MN下方时，①分别用含t的代数式表示∠CPD,∠BPN，从而可得∠CPD∠BPN的值；②分别用含t的代数式表示∠CPD,∠BPN，得到∠BPN+∠CPD是一个含t的代数式，从而可得答案．【详解】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案为90；②如图1﹣1，当BD∥PC时，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为3秒；如图1﹣2，当PC∥BD时，∵PC//BD,∠PBD＝90°，∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为21秒，如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为9秒，如图1﹣4，当PA∥BD时，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为27秒，如图1﹣5，当AC∥DP时，∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为6秒，如图1﹣6，当AC//DP时， ∵AC//DP， ∴∠DPA=∠PAC=90°， ∠DPN+∠DPA=180°−30°+90°=240°， ∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为240°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为24秒，如图1﹣7，当AC∥BD时，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴点A在MN上，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为18秒，当AC//BP时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s，27s． 综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是“孪生三角形”；（2）如图，当PD在MN上方时，①正确，理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，∴∠BPN=2∠CPD=180°−2t, ∴∠CPD∠BPN=12. ②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．当PD在MN下方时，如图，①正确，理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝2t−30°, ∠APN＝3t．∴∠CPD＝360°−∠CPA−∠APN−∠DPB−∠BPN=360°−60°−3t−30°−(180°−2t) =90°−t ∴∠BPN=2∠CPD=180°−2t, ∴∠CPD∠BPN=12. ②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．综上：①正确，②错误．【点睛】本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．【变式1-3】（2023上·福建泉州·七年级统考期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线AC的反向延长线上时，即停止旋转．(1)如图2，当边AC落在∠DAE内，①∠CAD与∠BAE之间存在怎样的数量关系？试说明理由；②过点A作射线AF，AG，若∠CAF=13∠CAD，∠BAG=14∠EAG，求∠FAG的度数；(2)设△ADE的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与△ABC的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值．【答案】(1)①∠BAE−∠CAD=45°（或∠BAE=∠CAD+45°），理由见解析；②105°(2)5或15或35或45或50【分析】（1）①由角的和差关系可得∠BAE+∠CAE=90°，∠CAD+∠CAE=45°，再把两式相减即可得到结论；②先求解∠FAE=45°−∠DAF=45°−43∠CAD，-∠EAG=∠BAE+∠BAG=43∠BAE，结合∠FAG=∠FAE+∠EAG，=45°−43∠CAD+43∠BAE =45°+43(∠BAE−∠CAD)，从而可得答案；（2）分5种情况讨论：如图，当AD∥BC时，如图，当DE∥AB时，如图，当DE∥BC时，如图，当DE∥AC时，如图，当AE∥BC时，再结合平行线的性质可得答案．【详解】（1）解：①∠BAE−∠CAD=45°（或∠BAE=∠CAD+45°）；理由如下：∠BAE+∠CAE=90°，∠CAD+∠CAE=45°，两式相减得：∠BAE−∠CAD=45°，② ∵∠CAF=13∠CAD，    ∴∠FAE=45°−∠DAF=45°−43∠CAD，∵∠BAG=14∠EAG，∴∠BAG=13∠BAE，∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=43∠BAE，∴∠FAG=∠FAE+∠EAG，=45°−43∠CAD+43∠BAE=45°+43(∠BAE−∠CAD)=45°+43×45°=105° ；（2）如图，当AD∥BC时，∴∠DAC=∠ACB=30°，∠EAC=45°−30°=15°，∴t=153=5；如图，当DE∥AB时，∴∠BAC+∠ADE=180°，则∠ADE=90°，此时∠CAE=∠DAE=45°，∴t=453=15；如图，当DE∥BC时，∴∠BMA=∠D=90°，∠AMC=180°−90°=90°，∴∠MAC=90°−30°=60°，∴∠EAC=45°+60°=105°，∴t=1053=35；如图，当DE∥AC时，∴∠ADE=∠BAC=90°，即A，B，D共线，∴∠CAE=90°+45°=135°，∴t=1353=45；如图，当AE∥BC时，∴∠EAB=∠B=60°，∴∠EAC=60°+90°=150°，∴t=1503=50．【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的倍分关系，角的旋转定义的理解，平行线的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．【题型2 平行线在折叠中的运用】【例2】（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为（　　）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【分析】分两种情况讨论，①当PK在AD上方时，延长MN、KH相交于点Q，根据MN∥PK，推出EN∥KQ，得到∠AEN=∠AHQ，求出∠AEN的度数，再根据∠KHD=∠AHQ即可求解；②当PK在BC下方时，延长MN、HK相交于点O，根据MN∥PK，推出EN∥HO，得到∠AEN=∠AHO，再根据∠AHO+∠KHD=180°即可求解．【详解】解：①当PK在AD上方时，延长MN、KH相交于点Q，如图所示∵MN∥PK∴∠K=∠Q∵∠K=90°∴∠Q=90°∵∠MNE=90°∴∠MNE=∠Q∴EN∥KQ∴∠AEN=∠AHQ∵∠EFC=37°，AD∥BC∴∠AEF=∠EFC=37°∵翻折∴∠AEF=∠NEF=37°∴∠AEN=74°∴∠AHQ=74°∵∠KHD=∠AHQ∴∠KHD=74°②当PK在BC下方时，延长MN、HK相交于点O，如图所示∵MN∥PK∴∠O=∠OKP=90°∵∠MNE=90°∴∠MNE=∠O∴EN∥HO∴∠AEN=∠AHO∵∠EFC=37°，AD∥BC∴∠AEF=∠EFC=37°∵翻折∴∠AEF=∠NEF=37°∴∠AEN=74°∴∠AHO=74°∵∠AHO+∠KHD=180°∴∠KHD=106°故选D．【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．【变式2-1】（2023下·福建宁德·七年级统考期末）如图，将一条长方形彩带ABCD进行两次折叠，先沿折痕MN向上折叠，再沿折痕AM向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角∠2=26°，则第一次折叠时∠1应等于 °．  【答案】77【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案．【详解】解：如图：  ∵折叠，∴∠1=∠5，∴∠3+2∠5=∠3+2∠1=180°，∴∠1=12180°−∠3，∵彩带两边平行，∴∠3=∠4=∠6，∵折叠，彩带两边平行，∴∠2=∠PEF=∠PMF=∠6，∴∠3=∠2=26°，∴∠1=12180°−∠3=12180°−26°=77°．故答案为：77．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式2-2】（2023下·浙江温州·七年级温州市第十二中学校联考期中）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM>DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1=∠2，则∠CPM的度数为（    ）  A．74° B．72° C．70° D．68°【答案】B【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，据此可得∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，再根据HP∥GM得∠HPM+∠GMP=180°，根据CP∥BM得∠CPM=∠AMP=2∠1，据此可求出∠1=36°，进而可求出∠CPM的度数．【详解】解：由翻折的性质得：∠AMN=∠NMP，∠CPM=∠HPM，∵四边形ABCD为长方形，∴AB∥CD，∴∠AMN=∠1，∴∠NMP=∠1，又∵∠1=∠2，∴∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∴∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，∵HP∥GM，∴∠HPM+∠GMP=180°，即：∠HPM+3∠1=180°，∵CP∥BM，∴∠CPM=∠AMP=2∠1，∴∠HPM=∠CPM=2∠1，∴2∠1+3∠1=180°，∴∠1=36°，∴∠CPM=2∠1=72°．故选：B．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和性质，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系．【变式2-3】（2023下·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知四边形纸片ABCD的边AB∥CD，E是边CD上任意一点，△BCE沿BE折叠，点C落在点F的位置．  (1)观察发现：如图①所示：∠C=60°，∠FED=45°，则∠ABF=______．(2)拓展探究：如图②，点F落在四边形ABCD的内部，探究∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，并证明；(3)迁移应用：如图③，点F落在边CD的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．【答案】(1)15°(2)∠FED+∠ABF=∠C，证明见解析(3)不成立，数量关系应为：∠ABF−∠FED=∠C，证明见解析【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出∠ABC，再结合折叠、四边形内角和，算出∠FBC，最后根据∠ABF=∠ABC−∠FBC计算即可；（2）过点F作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，由平行线的性质可得∠FED=∠EFN，根据平行公理的推论可得MN∥AB，继而得到∠NFB=∠ABF，再结合折叠的性质可得数量关系；（3）过点F作GH∥CD，由平行线的性质可得∠FED=∠HFE，根据平行公理的推论可得GH∥AB，继而得到得∠ABF=∠HFB，再结合折叠的性质可得数量关系．【详解】（1）解：∵AB∥CD，△BCE沿BE折叠，点C落在点F的位置，∠C=60°，∠FED=45°，∴∠ABC=180°−∠C=120°，（两直线平行，同旁内角互补）∠FEC=180°−∠FED=135°，∠F=∠C=60°，∴∠FBC=360°−∠F−∠C−∠FEC=360°−60°−60°−135°=105°，（四边形内角和为360°）∴∠ABF=∠ABC−∠FBC=120°−105°=15°，故答案为：15°（2）解：如下图，过点F作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N  则∠FED=∠EFN，∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴∠NFB=∠ABF，∴∠FED+∠ABF=∠EFN+∠NFB=∠EFB，由折叠的性质得，∠EFB=∠C∴∠FED+∠ABF=∠C（3）解：如下图，过点F作GH∥CD，则∠FED=∠HFE，  ∵AB∥CD，∴GH∥AB，∴∠ABF=∠HFB=∠HFE+∠BFE=∠FED+∠BFE，由折叠的性质得，∠BFE=∠C∴∠ABF=∠FED+∠C，即∠ABF−∠FED=∠C【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．【题型3 旋转使平行】【例3】（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ，，．小明将ADE从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行．【答案】或【分析】分两种情况：①DE在AB上方；②DE在AB下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案．【详解】①当DE在AB上方，∵，∠B=60°，∠D=45°，∴∠BAC=30°，∠E=45°，∵AB∥DE，∴∠BAE=∠E=45°，∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，∴旋转时间为：（秒）；②当DE在AB下方，∵，∠B=60°，∠D=45°，∴∠BAC=30°，∠E=45°，∵AB∥DE，∴∠BAE+∠E=180°，∴∠BAE=180°-∠E=135°，∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=105°，∴旋转角度为：360°-∠CAE=255°，∴旋转时间为：（秒），综上所述：在旋转过程中，第或秒时，边与边平行，故答案为：或．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是对DE的位置进行讨论，画出相应图形解答．【变式3-1】（2023下·河北唐山·七年级统考期末）如图，分别将木条a，b与固定的木条c钉在一起，，，顺时针转动木条a，下列选项能使木条a与b平行的是（    ）  A．旋转30° B．旋转50° C．旋转80° D．旋转130°【答案】A【分析】根据平行线的 判定定理即可求解．【详解】解：在图中标注出，如图所示：  若，则故应将木条a顺时针转动30°故选：A【点睛】本题考查平行线的判定定理．根据题意选择合适的判定定理是解题的关键．【变式3-2】（2023下·安徽六安·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．  【答案】或【分析】分和两种情况求解．【详解】当时，∵，∴，∵，；当时，∵，；故答案为：或．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式3-3】（2023下·河北唐山·七年级统考期中）如图（1），在三角形ABC中，，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2），使，则（ ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．【详解】解：如图（2），当时，∵，∴．∴．如图（2），当时，∵，∴∴．综上可得，当或时，．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．【题型4 利用平行线求角度之间的关系】【例4】（2023下·广东广州·七年级统考期末）点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明∠B，∠D，∠BED之间的等量关系；（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同时点F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，设∠BMD=m，利用（1)中的结论求∠BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）mn−12n【分析】（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行线的性质解决问题．（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．【详解】解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=12m，∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，∴∠BFD=n−1nx+n−1ny=n−1nx+y=n−1n×12m=mn−12n．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．【变式4-1】（2023下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如下图①的形状，其中AC∥DE，CD∥BE．第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F处弯折，得到如下图②的形状．第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成∠G，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若∠C=2∠D，求∠E；(2)如图②，若AC∥BF，请判断∠C，∠D，∠E，∠F之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，如图③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，设∠D=x，∠F=y，求∠G．（用含x，y的式子表示）【答案】(1)∠E=60°(2)∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，理由见解析(3)∠G=23x+13y【分析】（1）根据平行线的性质得出∠C+∠D=180°，根据解题得出∠D=60°，进而根据CD∥BE，即可求解；（2）过点D,E分别作AC的平行线DN,EM，根据平行线的性质得出∠MED=∠NDE设∠MED=∠NDE=α，进而根据平行线的性质得出∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，即可得出结论；（3）根据（2）的结论可得∠ACD+x=∠DEF+y，∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，根据已知∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，可得∠G+23∠ACD=23∠DEF+y，进而即可求解．【详解】（1）解：∵AC∥DE， ∴∠C+∠D=180°，∵∠C=2∠D，∴3∠D=180解得：∠D=60°，∵CD∥BE．∴∠E=∠D=60°；（2）解：如图所示，过点D,E分别作AC的平行线DN,EM，∴EM∥DN，∴∠MED=∠NDE，设∠MED=∠NDE=α，又∵AC∥BF，∴AC∥DN，ME∥BF，∴∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，∴∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，；（3）∵∠D=x，∠F=y，∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，