河北省唐县第一中学2024届高三下学期高考三模数学试卷(含答案)

这是一份河北省唐县第一中学2024届高三下学期高考三模数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．复数(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点为( )
A.B.C.D.
3．某火锅店在每周的周一、周三、周五、周日会安排员工跳舞蹈“科目三”,已知某人在一周的七天中,随机选择两天到该店吃火锅,则该人能欣赏到舞蹈“科目三”的概率为( )
A.B.C.D.
4．已知在等差数列中,,公差.若数列也是等差数列,则( )
A.1B.2C.3D.4
5．若是一组数据,,,的平均数,则这组数据的方差为.已知数据,,,的平均数为4,方差为2,数据,,,的平均数为2,方差为4,若将这两组数据混合形成一组新的数据,则新的一组数据的方差为( )
A.6B.2C.3D.4
6．已知二次函数且的图象与曲线交于点P,与x轴交于点A(异于点O),若曲线在点P处的切线为l,且l与AP垂直,则a的值为( )
A.B.-1C.D.-2
7．已知锐角,满足,则的值为( )
A.B.C.D.
8．已知的值域为D,,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知四边形ABCD为等腰梯形,,l为空间内的一条直线,且平面ABCD,则下列说法正确的是( )
A.若,则平面ABCD
B.若,则
C.若,,则平面ABCD
D.若,,则平面ABCD
10．已知函数在R上单调递增,且对任意恒成立,则( )
A.B.是奇函数
C.是奇函数D.恒成立
11．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,直线过点A且与OA垂直,直线过点B且与OB垂直,直线与相交于点Q,则( )
A.设AB的中点为H,则轴
B.点Q的轨迹为抛物线
C.点Q到直线l距离的最小值为
D.的面积的取值范围为
三、填空题
12．在的展开式中,常数项为75,则______.
13．若双曲线的左、右焦点为,,P是其右支上的动点.若存在P,使得,,依次成等比数列,则t的取值范围为______.
14．在三棱锥中,已知是边长为2的正三角形,且.若和的面积之积为,且二面角的余弦值为,则该三棱锥外接球的表面积为______.
四、解答题
15．已知函数,为的极值点.
(1)求a；
(2)证明:.
16．如图,在四梭锥中,四边形ABCD为正方形,平面ABCD,且.E,F分别是PA,PD的中点,平面EFNM与PB,PC分别交于M,N两点.
(1)证明：；
(2)若平面平面PBC,求平面EFNM与平面PCD所成锐二面角的正弦值.
17．在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连绕发射信号n次,每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.
(1)当对,求;
(2)已知切比雷夫不等式:对于任一随机変量Y,若其数学期望和方差均存在,则对任意正实数a,有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少何的把提使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之问,试估计信号发射次数n的最小值.
18．设椭圆的左、右顶点和椭圆的左、右焦点均为E,F.P是C上的一个动点(已于E,F),已知直线EP交直线于点A,直线FP交直线于点B.直线AB与椭圆交于点M,N,O为坐标原点.
(1)若b为定值,证明：为定值；
(2)若直线OM,ON的斜率之积恒为,求b.
19．在初等数论中,对于大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其它自然数整除的数叫做素数,对非零素数a和整数b,若存在整数k使得,则称a整除b.已知p,q为不同的两个素数,数列是公差为p的等差整数数列,为q除所得的余数,为数列的前n项和.
(1)若,,,求.
(2)若某素数整除两个整数的乘积,则该素数至少能整除其中一个整数,证明:数列的前q项中任意两项均不相同;
(3)证明:为完全平方数.
参考答案
1．答案：C
解析：因为的解集为,且,,所以.故选C.
2．答案：A
解析：易知,对应的点为.故选A.
3．答案：B
解析：概率.故选B.
4．答案：C
解析：易知,则,由题意,可知,解得.故选C.
5．答案：D
解析：易知新的一组数据的平均数为,所以新数据的方差.故选D.
6．答案：B
解析：易知,设,则,,
因为,所以,即,
又,所以.故选B.
7．答案：D
解析：设,其中,,,
因为,所以,所以,
所以.故选D.
8．答案：D
解析：①若,当时,在上单调递减,此时,
当时,,当且仅当时,等号成立,又函数的值域D满足,则解得;
②若,当时,在上单调递增,此时,
当时,,当且仅当时,等号成立,
又函数的值域D满足,不合题意;
③当时,若,有(当且仅当时取等号)符
合题意,综上所述：.故选D.
9．答案：AC
解析：因为,且平面,平面ABCD,所以平面ABCD,即A正确;因为AD与BC是等腰梯形的腰,二者不平行,故若,则l与BC不平行,即B错误;因为直线AD与BC能相交,所以若,,则平面ABCD,即C正确;
因为,两者不相交,所以若,,推不出平面ABCD,即D错误.故选AC.
10．答案：ACD
解析：取,则,又单调递增,所以不恒成立,所以0,即A正确;
取,则,所以,即B错误;
因为.所以,所以,即C正确;
取,则,又,若存在,则,所以,即D正确.故选ACD.
11．答案：BD
解析：易知,设,设,,将l与抛物线C的方程联立,则可得,所以,,即,,所以,因为,所以直线,有,
同理可知,直线,所以,所以,所以,所以,即A错误;
又,所以Q的轨迹方程为,即B正确;
Q到l的距离,因为,所以,即C错误；
因为,所以,即D正确.故选BD.
12．答案：
解析：常数项为,解得.
13．答案：
解析：由题意可知,,,,且,设,则,所以在上有解,所以,解得.
14．答案：
解析：设AB中点为H,外接圆圆心为M,球心为O,
因为,所以,因为,所以,
所以,即是等腰直角三角形,其外接圆圆心为H,
由题意可知,,所以,所以,又,,所以,
所以外接球半径,
所以外接球表面积.
15．答案：(1)3
(2)证明见解析
解析：(1),
依题意,,解得,
经检验符合题意,所以;
(2)由(1)可知,,
要证,即证,
设,则,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
当时,取得极小值,也是最小值,
因为,,
所以.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明:因为E,F分别是PA,PD的中点,所以,
在正方形ABCD中,,所以,
因为平面,平面EFNM,
所以平面EFNM,
又平面PBC,平面平面,
所以,所以;
(2)如图,建立空间直角坐标系,则,,,,,,所以,,
,,
则
取,则,,所以,
设平面PCD的法向量,则,取,则,,所以,
设平面EFNM的法向量,则,
因为平面平面PBC,所以,
取,则,所以,
设平面EFNM与平面PCD所成锐二面角为,
则,.
17．答案：(1)
(2)157
解析：(1)由已知,所以；
(2)由已知,所以,,
若,则,即,
即,
由切比雪夫不等式,
要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间,则,解得,所以估计信号发射次数n的最小值为157.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明:易知,,设,则,即,
直线,则,所以,
所以;
(2)设直线,则,,
则,即,
令直线AB与椭圆联立,消去y,整理得,设,,则,,
因为,,
所以.
所以,所以,整理得,所以,
所以,解得.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由题意得,
所以n为奇数时,为奇数,n为偶数时,为偶数,
因为,故,
所以;
(2)假设存在,,,
依题意,,,,
所以,所以q整除,
因为p,q为不同的素数,故q不整除p,
又因为,故q不整除,
与q整除矛盾,故假设错误,
所以数列的前q项中任意两项均不相同.
(3)由(2)得,且数列的前q项中任意两项均不相同,
所以,
设,则,故,
所以为完全平方数.