江苏省苏锡常镇四市2024届高三二模数学试卷(含答案)

这是一份江苏省苏锡常镇四市2024届高三二模数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
3．已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知随机变量，且，则的最小值为( )
A.9B.C.4D.6
5．羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知非零向量，，若，则( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为( )
A.B.C.D.
8．正三棱锥和正三棱锥共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，( )
A.B.C.-1D.
二、多项选择题
9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有( )
A.若，，，则
B.，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
10．已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有( )
A.若2为的周期，则为奇函数
B.若为奇函数，则2为的周期
C.若4为的周期，则为偶函数
D.若为偶函数，则4为的周期
11．在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点(含端点)，且，设，，则( )
A.，B.为定值
C.的最小值50D.的最大值为
三、填空题
12．已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为______.
13．设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则______.
四、双空题
14．如果函数在区间上为增函数，则记为，函数在区间上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为______；如果函数，且，，则实数______.
五、解答题
15．如图，直三棱柱的体积为1，，，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
16．某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：
若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”.
(1)请完成以下列联表；问：能否有的把握认为爱好阅读与性别有关？
附：，.
(2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数X的概率分布和数学期望.
17．已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.
18．已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P，M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.
(1)求C的方程；
(2)存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；
(3)对于(2)中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值.
19．如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.
(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由，即，解得，
所以，
又，
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：因为双曲线C：经过点，
所以,，渐近线方程为.
故选：B.
3．答案：A
解析：若,均为纯虚数，设,且,
则，所以“,均为纯虚数”是是实数的充分条件，
当,，，
所以“,均为纯虚数”是是实数的不必要条件，
综上所述：“,均为纯虚数”是是实数的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为随机变量，且，则，可得，
，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为.
故选：B.
5．答案：C
解析：由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是，
第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是，
第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是，
由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为.
故选：C.
6．答案：D
解析：因为，为非零向量，所以，即(,)
因为，所以，则，
即，
即，由于，所以两边同除，
可得：，解得：或(舍去),
所以.
故选：D.
7．答案：A
解析：设椭圆的方程为，所以，
所以直线l的方程为，
所以原点O到直线l的距离等于E的短轴长，即，得，
又，所以，
所以，
故选:A.
8．答案：D
解析：由题意可得球心O在，设与的交点为R，于M，
由题意可得,，
所以,为两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为,，
所以，，设外接球的半径为r,球心O到平面的距离为m,
则,，
设的边长为a，由正三角形的性质，
所以，，,
所以
所以
，所以，故当时，最大，
此时.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：A.若，，，不能推出或，则不能推出，故A错误；
B.若，，则，又，所以，故B正确；
C.若，，则，又，所以，故C正确；
D.若，，，说明与和垂直的法向量互相垂直，则，故D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：对于A：若2是的周期，则，
由，可得，
所以，所以为奇函数；故A正确；
对于B：若为奇函数，则，
由，可得，所以2是的周期，故B正确；
若4是的周期，则，
由，可得
，
所以，所以为奇函数；故C不正确；
对于D：若为偶函数，则，
由，可得，所以，
所以，所以4是的周期，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：对于A，由题意知当E和B重合时，，此时取最小值，取到最大值1；
当F和D重合时，，此时取最小值，取到最大值1，A正确；
对于B，当E和B重合时，,，；
当E,F分别位于,的中点时，满足，
此时,，，由此可知不为定值，B错误；
对于C，
，
由，得，即,
即，即，
设,，，
则
，(为辅助角，)，
当时，取到最小值50，即的最小值50，C正确，
对于D，当,时，，
则
，故D错误，
故选：AC.
12．答案：(或，答案不唯一)
解析：由题意得圆心，半径，，
故M点在圆O外，设点O到直线l的距离为d，
由得，即，
即，即，解得，
设直线l的方程为，
则或，
所以直线l的方程为或.
故答案为：(或，答案不唯一).
13．答案：
解析：由余弦定理得，，
而由，得，
因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以，
所以，解得或，
当时，即，，由大边对大角得：最大角为C，
，故C为锐角，不符合题意；
当时，即，，由大边对大角得：最大角为B，
，故B是钝角，符合题意，
故答案为：.
14．答案：4；1
解析：对于第一空：由题意在上单调递增，
因为，所以，令，则，
由对勾函数性质得当时，的单调递增区间为，
所以，即t实数的最小值为2，所以m实数的最小值为4；
对于第二空：函数可导，所以，
由题意在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点，
所以，解得或，
经检验不满足题意，符合题意，所以.
故答案为：4；1.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)直三棱柱的体积为：，
则，四边形为正方形，
法一：在直棱柱中，面，，
又平面，则，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为，所以，
在正方形中，有，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以.
法二：直棱柱，平面，又，
以B为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，所以.
(2)由(1)得，
设，在中，过O作于H，连接，
因为，，平面，且，
所以平面，又平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，得，
又在中，，得，
，
所以二面角的余弦值为.
法二：
，，，，，
，，设平面的法向量：，
则，取，得，
，，设面的法向量，
则，取，得，
设二面角的大小为，则：
，
因为为锐角，所以二面角余弦值为.
16．答案：(1)列联表见解析，没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关
(2)概率分布见解析，1
解析：(1)列联表：
提出假设：是否喜爱阅读与性别没有关系，
根据列联表的数据，可以求得：
，
所以没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关.
(2)随机变量X服从超几何分布，X可能取0，1，2，
，，，
则X的分布列为：
所以，
故抽取男生人数的数学期望为1.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为函数的定义域为，当时，.
要证，只需证：当时，.
令，则，
则在单调递增，
所以，即.
(2)，
令，
则.
所以在单调递增，，
①时，，.
则在为增函数，在上无极值点，矛盾.
②当时，.由(1)知，，
，则，则使.
当时，，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增.
因此，在区间上恰有一个极值点，
所以a的取值范围为.
18．答案：(1)
(2)(2,2)或(4,2)
(3)5
解析：(1)，设，则，
所以得：，解得或(舍)，
所以抛物线C的方程为①.
(2)设直线MN：②，，，
联立①②，得.
所以③，，④.
，，
则，
.
因为，即：，
即：，
则或，能满足③式.
则MN：，或MN：，
所以定点Q的坐标为或；
(3)如MN过点，当时，，但此时M，N重合，
则|MN|无最小值，所以MN只能过点，此时|MN|有最小值.
由(2)，在④中，令得：，，
.
令，
则，.
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
所以当时，有最小值，|MN|有最小值.
.
19．答案：(1)相等，证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，3
解析：(1)第1行最后两数，第2行的最后两数.
第m()行的第m个数为，第个数为，
猜测：，
即证：，
法一：因为，
只要证明，该式显然成立，
所以，
所以每行最后两个数相等.
法二：
因为
；
又因为
.
即：.
所以每一行的最后两个数相等.
(2)第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为，
此时结论成立.
因为，
第m()行的个数之和为：
.
而第行倒数第二个数为，
由(1)得每行最后两个相等，所以结论得证.
(3)当，时，，，当时，此时显然不成立.
猜测：存在正整数k，使得恒成立，k的最大值为3.
下证：当时，恒成立.
由(1)知，，则，
因为
.
又，当时，.
当时，，所以.
综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得恒成立.
借阅次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
2
5
3
5
5
1
2
2
25
女生人数
4
4
5
5
3
2
1
1
25
合计人数
6
9
8
10
8
3
3
3
50
性别
阅读
合计
一般
爱好
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
性别
阅读
合计
一般
爱好
男生
10
15
25
女生
13
12
25
合计
23
27
50
X
0
1
2
P