2023-2024学年山西省朔州市八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山西省朔州市八年级（下）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．πB．C．D．
2．（3分）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB＝CDB．BC＝CDC．∠D＝90°D．AC＝BD
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．6＝2C．D．5
4．（3分）下列命题不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
5．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20cm,对角线AC长为6cm,则它的面积为（ ）
A．24cm2B．28cm2C．32cm2D．48cm2
6．（3分）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地（ ）
A．4.5B．5.625C．4D．6.375
7．（3分）如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）
A．3米B．4米C．5米D．7米
8．（3分）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a,b,化简的结果是（ ）
A．b﹣aB．a﹣bC．a+bD．﹣a﹣b
9．（3分）公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a,短直角边长为b,大正方形面积为20，且（a+b）2=32．则小正方形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
10．（3分）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB=AE，则E点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，DE=4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB的长为 ．
13．（3分）如图，在5×5的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则△ABC的边AC上的高为 ．
14．（3分）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线AC= 千米．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，DE=AF，BE⊥CF于点G，若BC=8，AF=2，则GF的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（9分）计算：
（1）；
（2）﹣3+；
（3）计算：（2．
17．（6分）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
②上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
③计算的正确结果为 ．
18．（10分）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，其中点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出锐角等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为10；
（2）在方格纸中画出等腰直角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为10；
（3）在（1）、（2）条件下，连接EF，请直接写出线段EF的长．
19．（10分）一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度h（单位：米）有下面的关系式：．
（1）已知h=100米，求落下所用的时间；（结果精确到0.01）
（2）一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约3.5米，手拿物体高为1.5米）（结果精确到0.01）
（3）如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．
20．（10分）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：DE=DF；
（2）当E为CD边的中点时，判断四边形AEFG的形状，并说明理由．
22．（9分）阅读与思考，阅读下列材料，完成相应的任务．
欧几里德数
一般地，给定单位长度1，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里德数．例如，如图1所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位1．借助方格图，可以构造出线段AB，CD，EF分别表示正整数2，3，4，也可以构造出线段MN表示正分数．事实上，所有的正有理数都是欧几里德数．
任务：如图2，图3，图4所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度1．
（1）请在图2中用两种方法构造线段表示正整数5（该线段的端点均为格点）；
（2）小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数，，可分别用图3中两个三角形的边XY，PQ表示，取网格中MX＝MY＝1，且∠XMY＝90°，则XY＝，，取网格中线段ON=2，OQ=1，以点O为圆心，ON长为半径作弧交网格线于点P，连接OP，且PQ⊥OQ，则PQ=．
在图4中借助网格和尺规，用两种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数2（保留作图痕迹，不写作法）．
23．（11分）学习正方形时，王老师带领同学们探索了课本上的一道几何题．
【课本原型】（1）人教版八年级下册数学课本Pa拓广探索》第15题．请你写出证明过程．
【问题解决】（2）如图（1），正方形ABCD中，点G为CB延长线上的任意一点，DE⊥AG交GA延长线于点E，BF∥DE交AG于点F．试探索AF、BF、EF之间的数量关系，并给出证明．
【问题研究】（3）如图（2），四边形ABCD是正方形，点G为BC上的一点，DE⊥AG于点E，连接BE，若AE=4，请直接写出△ABE的面积．
2023-2024学年山西省朔州市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内。）
1．【答案】D
【解答】解：π，不符合二次根式的形式；
是开立方，不是二次根式；
是二次根式．
故选：D．
2．【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠D＝90°，
故A，C，D不符合题意，
当AB＝AD时，即一组邻边相等时，
故B符合题意，
故选：B．
3．【答案】C
【解答】解：A、与不能合并；
B、原式＝7；
C、原式＝＝；
D、原式＝3．
故选：C．
4．【答案】C
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；
故选：C．
5．【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为20cm，
∴AB＝×20＝6（cm）AC＝，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OD＝OB＝＝＝4（cm），
∴BD＝6OB＝2×4＝6（cm），
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝2），
故选：A．
6．【答案】B
【解答】解：由题意知，AB+BC＝12尺，
∴BC＝12﹣AB，
由勾股定理得，AB2+AC2＝BC7，
即AB2+9＝（12﹣AB）7，
解得AB＝5.625，
∴折断处距离地5.625尺．
故选：B．
7．【答案】D
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝4（米），
∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是2+4＝7（米）．
故选：D．
8．【答案】A
【解答】解：由数轴得，a＜0，
∴＝b﹣a，
故选：A．
9．【答案】B
【解答】解：如图所示：
∵（a+b）2＝32，
∴a2+6ab+b2＝32，
∵大正方形的面积为20，
2ab＝32﹣20＝12，
∴小正方形的面积为20﹣12＝5．
故选：B．
10．【答案】B
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，
∴AD＝AE＝，
∵点A表示的数是2，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为1+．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：＝＝8．
故答案为：6
12．【答案】6．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10．
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
故答案为：8．
13．【答案】．
【解答】解：由图可知，，
设△ABC的边AC上的高为h，则．
故答案为：．
14．【答案】．
【解答】解：在△CHB中，BC＝5千米，BH＝3千米．
∴CH6+BH2＝BC2，
∴△HBC是直角三角形，∠CHB＝90°，
∴CH⊥AB，
设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH3，
即x2＝（x﹣3）2+42，
解得：x＝，
即原路线AC的长为千米，
故答案为：．
15．【答案】5.2．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝8，
∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝8，
又∵DE＝AF＝5，
∴CE＝DF＝6，
∴在△CDF和△BCE中，
，
∴△CDF≌△BCE（SAS），
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∵在Rt△BCE中，BC＝8，
∴BE＝10，
∴BE•CG＝BC•CE，
∴CG＝＝＝，
∵△CDF≌△BCE（SAS），
∴CF＝BE＝10，
∴GF＝CF﹣CG＝10﹣＝5.2．
故答案为：2.2．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．【答案】（1）4﹣3；
（2）；
（3）﹣6．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝2﹣3；
（2）﹣6+
＝4﹣+
＝（4﹣+1）
＝；
（3）（2
＝（2）2﹣（3）2
＝12﹣18
＝﹣6．
17．【答案】①（a+b）2＝a2+b2+2ab；
②3，二次根式的平方计算错误；
③1．
【解答】解：
＝
＝（5﹣7）×（5+6）
＝25﹣24
＝1．
①第5步依据的乘法公式为（a+b）2＝a2+b6+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a5+b2+2ab；
②上述解答过程，从第3步开始出错，
故答案为：3，二次根式的平方计算错误；
③计算的正确结果为1．
故答案为：4．
18．【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）．
【解答】解：（1）如图，△ABE即为所求作．
（2）如图，△CDF即为所求作．
（3）EF＝＝．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把h＝100代入得：t＝＝＝2；
（2）根据题意得：3.5×7+1.5＝15.3（米），
则t＝＝≈1.76（秒）；
（3）把t＝8.6代入得：3.3＝，
解得：h＝64.8，
则物体开始下落的高度为64.2米．
20．【答案】（1）21.6米；
（2）8米．
【解答】解：（1）由勾股定理得，CD＝，
∴CE＝CD+DE＝20+2.6＝21.6（米）；
（2）如图，由勾股定理得，
BF＝＝17（米），
25﹣17＝3（米），
∴他应该往回收线8米．
21．【答案】（1）见解析；
（2）四边形AEFG是矩形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠DFE＝∠CBE，∠DEF＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DE＝DF；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS），
∴BC＝FD，BE＝FE，
∴FD＝AD，
∵GD＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．
22．【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）如图2中，线段AB；
（2）如图4中，线段AB；
23．【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）AF+BF＝EF；
（3）4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠BAG+∠DAE＝90°，、
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝∠DEF＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAG，
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠AFB，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴BF＝AE，
∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；
（2）解：AF+BF＝EF，理由如下：
由（1）得：AB＝AD，∠AED＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝180°﹣∠E＝90°，
∴∠E＝∠AFB，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
∴AF+BF＝AF+AE＝EF；
（3）解：如图，
作BF∥DE，
由（1）得：BF＝AE＝4，
∴S△ABE＝．解：
＝ …第1步
＝（5﹣2）×（5+2）…第2步
＝25﹣12…第3步
＝13．…第4步
如图，四边形ABCD是正方形，点G为BC上的任意一点，交AG于F．求证：AF﹣BF＝EF．