2024年湖南省常德市津市市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年湖南省常德市津市市中考数学一模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程3x2−4x−4=1的一次项系数为( )
A. −5B. −4C. 3D. 6
2.“明天下雨的概率是80%”，下列说法正确的是( )
A. 明天一定下雨B. 明天一定不下雨
C. 明天 80%的地方下雨D. 明天下雨的可能性比较大
3.二次函数y=a(x+m)2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是( )
A. m<0，k<0
B. m<0，k>0
C. m>0，k>0
D. m>0，k>0
4.一个圆锥的母线长18cm，底面直径长8cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°
5.将二次函数y=x2−6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为( )
A. y=x2−2x−5B. y=x2+2x−9C. y=x2−2x−8D. y=x2+2x−5
6.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的.如图是由”七巧板”组成的边长为5cm的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为( )
A. 16B. 17C. 18D. 27
7.若将一元二次方程x2−8x+5=0化成(x+a)2+b=0的形式，则a和b的值分别为( )
A. 4，11B. 4，19C. −4，−11D. −4，−19
8.如图所示，在平面直角坐标系中A(0,0)，B(1,0)，P(0,1)，四边形ABQP是正方形，把正方形ABQP绕点A顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点Q的坐标为( )
A. (1,1)
B. (1,−1)
C. (−1,−1)
D. (−1,1)
9.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AC，BD，过点C作CF⊥BD于点F，交AB于点G，若CD=8，OG=1，则⊙O的半径为(
A. 4
B. 133
C. 265
D. 6
10.将抛物线y=−x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象与直线y=x+m有4个交点，则m的取值范围是( )
A. m≤−5B. −214≤m<−5C. −214二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知关于x的一元二次方程x2−mx+6=0的一个根为3，则方程的另一个根是______．
12.某公司购进了一批草莓，并对这批草莓进行了“损坏率”统计，如下表是通过随机取样后，得到的草莓“损坏率”统计表的一部分，由已知数据和图表估计草莓完好的概率为______.(精确到0.1)
13.如图，有一张长30cm，宽20cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的13，则x的值为______．
14.已知a，b，c满足a−2b=c，b+c=−4a，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线______．
15.如图，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B.过点B作BD/​/AC交⊙O于点D，连接CD，OC，且OC交DB于点E.若∠CDB=30°，DB=2 3cm.则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−2mx+m+2=0．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)在等腰△ABC中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值．
17.(本小题9分)
直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线.根据定义回答以下问题：
(1)求证：抛物线y=ax2+bx与其关联直线一定有公共点；
(2)当a=1时，求抛物线y=ax2+bx与其关联直线一定都经过的点的坐标(用字母b表示)．
18.(本小题9分)
如图，在12×12的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，给出了以格点(网格线的交点)为端点的△ABC．
(1)以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转180°得到△A′BC′，画出△A′BC′；
(2)请你求出点A在(1)中运动的路径长．
19.(本小题9分)
小明和小刚在玩扑克牌的游戏，他们从一副牌中拿出了如图所示的五张扑克牌．

(1)从一副扑克牌(包含大小王)中随机抽取一张扑克牌，抽到黑桃的概率是多少？
(2)小明从如图所示的五张扑克牌中随机抽取一张，抽到数字6的概率是多少？
(3)小明先从如图所示的五张扑克牌中抽取一张，放回后小刚再抽取一张，求两张扑克牌上的数字之和小于10的概率．
20.(本小题9分)
某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产x台电子产品的成本y(元)由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为2000元，材料成本(单位：元)与x成正比例，人工成本(单位：元)与x的平方成正比例，在生产过程中得到如下数据：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若某月平均每台电子产品的成本26元，求这个月共生产电子产品多少台？
(3)若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着x的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为Q(单位：元)，且有Q=mx+n(m、n均为常数)，已知当x=2000台时，Q为35元，且此时销售利润W(单位：元)有最大值，求m、n的值(提示：销售利润=销售收入−成本费用)
21.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径作⊙A，交AB于点D，交CA延长线于点E，BF是⊙A的切线，连接EF，DF．
(1)求证：EF/​/AB；
(2)若⊙A的半径为2，当四边形ADFE为菱形时，求BF的长．
22.(本小题10分)
如图，二次函数y=ax2−43x+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,−2)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为抛物线上一动点(直线AB上方)，且S△PBA=4，求点P的坐标．
23.(本小题11分)
已知Rt△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°，D是AC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，F是BD中点，连接EF，CF．
(1)如图①，线段EF，CF之间的数量关系为______，∠EFC的度数为______；
(2)如图②，将△AED绕点A按顺时针方向旋转α(0°<α<30°)，请判断线段EF，CF之间的数量关系及∠EFC的度数，并说明理由；
(3)在△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到直线AB边上时，连接BE，若BC=3，AD=2，请直接写出BE的长度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：3x2−4x−4=1，
3x2−4x−4−1=0，
3x2−4x−5=0，
∴一元二次方程3x2−4x−4=1的一次项系数为−4，
故选：B．
根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a≠0)是解题的关键．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：明天下雨的概率是80%，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有D合题意．
故选：D．
根据概率的意义找到正确选项即可．
本题考查了概率的意义，解决本题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．
3.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=a(x+m)2+k
∴顶点为(−m,k)，
∵顶点在第四象限，
∴−m>0，k<0，
∴m<0，k<0，
故选：A．
根据顶点所处的位置确定m、k的符号．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为x°，
由题意得，xπ×18180=8π，
解得x=80，
∴该圆锥的侧面展开图的圆心角为80°．
故选：B．
利用圆锥侧面展开扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算．
本题考查了圆锥侧面展开扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意可得解析式为：y=(x−1)2−3−6=x2−2x−8．
故选：C．
根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式．
本题主要考查了函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形，
∵大正方形的边长为5cm，
∴大正方形的对角线长为5 2cm，面积为25cm2，
∴阴影部分的边长为5 24cm，
∴S阴影=(5 24)2=258cm2，
∴P(该点取到阴影部分)=25825=18．
故选：C．
求出大正方形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概率公式求出即可作出选择．
本题考查几何概率，掌握几何概率公式，正确计算出图形的面积是u解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：因为x2−8x+5=x2−8x+16−16+5=(x−4)2−11，
所以方程x2−8x+5=0可化成(x−4)2−11=0，
所以a=−4，b=−11．
故选：C．
用配方法对所给一元二次方程变形为(x+a)2+b=0的形式即可解决问题．
本题考查解一元二次方程−配方法，熟知配方法是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由题知，
∵四边形ABQP是正方形，且B(1,0)，P(0,1)，A(0,0)，
∴点Q的坐标为(1,1)．
∴将正方形ABQP绕点A顺时针旋转90°时，点Q的对应点的坐标为(1,−1)，
依次类推，点Q的对应点的坐标为(−1,−1)，(−1,1)，(1,1)，…，
由此可见，点Q的对应点的坐标按(1,−1)，(−1,−1)，(−1,1)，(1,1)循环出现，
又∵2022÷4=505余2，
∴第2022次旋转结束时，点Q的坐标为(−1,−1)．
故选：C．
根据所给旋转方式，依次求出点Q对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据所给旋转方式发现点Q的对应点的坐标按(1,−1)，(−1,−1)，(−1,1)，(1,1)循环出现是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图，连接CO，
∵AB⊥CD，
∴∠BED=90°，
∴∠B+∠D=90°，
∵CF⊥BD，
∴∠BFG=90°，
∴∠B+∠BGF=90°，
∴∠BGF=∠D，
∵∠BGF=∠AGC，
∴∠AGC=∠D，
∵BC=BC，
∴∠A=∠D，
∴∠A=∠AGC，
∴AC=GC，
又∵AB⊥CD，
∴AE=GE，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴CE=12CD=4，
设OE的长为x，则AE=GE=x+1，
∴AO=AE+OE=2x+1，
∴CO=AO=2x+1，
在Rt△OCE中，OE2+CE2=CO2，
42+x2=(2x+1)2，
16+x2=4x2+4x+1，
3x2+4x−15=0，
(3x−5)(x+3)=0，
3x−5=0或x+3=0，
解得：x1=53,x2=−3(不合题意，舍去)，
∴CO=2x+1=133，
∴⊙O的半径为133，
故选：B．
先连接CO，根据已知条件和直角三角形的性质证明∠BGF=∠D，∠AGC=∠D，从而证明AC=GC，然后根据等腰三角形的性质证明AE=EG，再根据垂径定理求出CE，最后在Rt△COE中，利用勾股定理求出OE，进而求出OC即可．
本题主要考查了圆的有关运算，解题关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理及勾股定理．
10.【答案】C
【解析】解：令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点为(−1,0)、(3,0)，
∵将抛物线y=−x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
∴新图象中当−1≤x≤3时，解析式为y=x2−2x−3，如图，
当直线y=x+m.经过(3,0)时，此时直线y=x+m与新函数图象有3个交点，
把(3,0)代入直线y=x+m，解得m=−3，
直线y=x+m再向下平移时，有4个交点；
当y=x2−2x−3与直线y=x+m有一个交点时，此时直线y=x+m与新函数图象有3个交点，
联立方程组y=x+my=x2−2x−3，
整理得x2−3x−3−m=0，
∴Δ=b2−4ac=21+4m=0，
解得m=−214，
综上所述，新图象与直线y=x+m有4个交点时，m的取值范围是−214故选：C．
先求出抛物线y=−x2+2x+3与x轴的交点坐标，再根据抛物线y=−x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象的解析式为y=x2−2x−3(−1≤x≤3)，画出图象，结合图象求出满足题意的m的取值范围．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−mx+6=0的一个根为3，设另一个根为a，
∴3a=6，
解得a=2，
故答案为：2．
根据一元二次方程根与系数的关系解答本题即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
12.【答案】0.9
【解析】解：由图表可知，草莓损坏的频率约为0.1，
∴估计草莓完好的概率为0.9．
故答案为：0.9．
利用频率估计概率得到随试验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9．
本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比是解决问题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：根据题意知：无盖纸盒的长为(30−2x)cm，宽为(20−2x)cm，
∴(30−2x)(20−2x)=13×30×20，
解得x=5或x=20(不符合题意，舍去)，
答：x的值为5cm；
故答案为：5．
由已知可得无盖纸盒的长为(30−2x)cm，宽为(20−2x)cm，而制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的13，故(30−2x)(20−2x)=13×30×20，即可解得答案．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
14.【答案】x=−52
【解析】解：由题意，∵a−2b=c，b+c=−4a，
∴c=−4a−b=a−2b．
∴5a=b．
∴二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象的对称轴为直线x=−b2a=−5a2a=−52．
故答案为：x=−52．
依据题意，由a−2b=c，b+c=−4a，从而可得c=−4a−b=a−2b，进而可得5a=b，再结合抛物线的对称轴是直线x=−b2a进行计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握二次函数的对称轴为直线x=−b2a是关键．
15.【答案】2π3cm2
【解析】解：∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ACO=90°．
∵BD/​/AC，
∴∠ACO=∠BEO=∠DEC=90°，
∴DE=BE=12DB= 3．
又∵∠CDB=30°，
∴∠O=60°，
∴∠OBE=30°，
在△CDE和△OBE中，
∠EBO=∠DBE=ED∠CED=∠BEO，
∴△CDE≌△OBE(ASA)，
∴∠CED=∠OEB，
∴CD=OB．
在Rt△CDE中，设CE=x，则CD=2x，
∵CE2+DE2=CD2，
∴x2+( 3)2=4x2，
解得x=1(负值已舍去)，
∴CD=OB=2，即⊙的半径长为2cm，
∴S阴影=S扇形OBC=60⋅π×22360π=2π3(cm2)，
故答案为：2π3cm2．
根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到OC⊥BD，根据垂径定理得到BE的长，再根据圆周角定理发现∠BOE=60°，从而根据锐角三角函数求得圆的半径，根据全等三角形的判定定理得到△DCE≌△BOE，则它们的面积相等，故阴影部分的面积就是扇形OBC的面积．
本题主要考查切线的性质，圆周角定理，形面积的计算，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
16.【答案】解：(1)Δ=b2−4ac=4m2−4(m−1)(m+2)=−4m+8，
∵方程有实数根，
∴Δ=b2−4ac≥0且m−1≠0，
∴−4m+8≥0且m≠1，
解得m≤2且m≠1；
(2)根据题意得Δ=−4m+8≥0且m≠1，
解得m≤2且m≠1，
当3是腰时，3是方程的一个根，把x=3代入方程得9(m−1)−6m+m+2=0，
解得m=74，
此时方程的另一根为53，
∵3+53>3，
∴三角形存在；
两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，
∴Δ=0，
则m=2，
此时两根都为2，
三角形存在，
综上所述，m=73或2．
【解析】(1)由方程无实数根得Δ=b2−4ac<0，可得关于m的不等式，解之可得m的范围；
(2)由Δ≥0，求出m的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把x=3代入方程可求得m；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由Δ=0可求出m，两种情况都根据三角形的三边关系检验．
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式Δ=b2−4ac.掌握当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根是解决问题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵抛物线y=ax2+bx与y=ax+b相交，
∴ax2+bx=ax+b．
∴ax2+(b−a)x−b=0．
∵Δ=(b−a)2+4ab=(a+b)2≥0，
∴抛物线y=ax2+bx与其关联直线一定有公共点．
(2)解：当a=1时，抛物线y=x2+bx与其关联直线恒过点(1,1+b)；
当a=1，y=0时，抛物线y=x2+bx与其关联直线恒过点(−b,0)；
∴当a=1时，抛物线y=ax2+bx与其关联直线一定经过的定点的坐标为(1,1+b)，(−b,0)．
【解析】(1)依据题意，联立方程得出ax2+bx=ax+b，整理成ax2+(b−a)x−b=0，根据Δ=(b−a)2+4ab=(a+b)2≥0，得出结论；
(2)依据题意，根据抛物线y=x2+bx和直线y=x+b的特征即可求得．
本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△A′BC′即为所求．

(2)由勾股定理得，AB= 32+12= 10，
∴点A在(1)中运动的路径长为180π× 10180= 10π．
【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)利用勾股定理求出AB的长，再利用弧长公式计算即可．
本题考查作图−旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)一共有4×13+2=54(种)等可能的结果，其中抽到黑桃的结果有13种，
∴抽到黑桃的概率为1354．
(2)由题意得，共有5种等可能的结果，其中抽到数字6的结果有2种，
∴抽到数字6的概率为25．
(3)列表如下：
由表格可知，共有25种等可能的结果，其中两张扑克牌上的数字之和小于10的结果有：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,6)，(2,6)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,6)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(6,2)，(6,3)，(6,2)，(6,3)，共17种，
∴两张扑克牌上的数字之和小于10的概率为1725．
【解析】(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)直接利用概率公式可得答案．
(3)列表可得出所有等可能的结果数以及两张扑克牌上的数字之和小于10的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意设y=ax2+bx+2000，
∵当x=20时，y=2014，当x=40时，y=2216，
∴2014=400a+20b+20002216=1600a+40b+2000，
解得a=1100b=5，
∴y与x之间的函数关系式为y=1100x2+5x+2000；
(2)根据题意得26x=1100x2+5x+2000，
解得x1=2000，x2=100，
答：若某月平均每台电子产品的成本26元，这个月共生产电子产品100台或2000台；
(3)根据题意得：W=x(mx+n)−(1100x2+5x+2000)=(m−1100)x2+(n−5)x−2000，
∵当x=2000台时，销售利润W有最大值，
∴−n−52(m−1100)=200，
化简得4000m+n=45，
又∵当x=2000时，Q=35=2000m+n，
∴联立方程组4000m+n=452000m+n=35，
解得m=1200n=25．
【解析】(1)先根据题意设出y=ax2+bx+2000，再根据表格中x，y的对应值求出a，b即可；
(2)当y=26x时，解关于x的一元二次方程即可；
(3)先根据销售利润=销售收入−成本费用得出W关于x的函数解析式，再根据函数的性质得出4000m+n=45，以及当x=2000台时，Q为35元，联立方程组，解方程组得出m，n的值．
本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
21.【答案】(1)证明：连接AF，则AF=AE，
∴∠E=∠AFE，
∵BF是⊙A的切线，∠ACB=90°，
∴BF⊥AF，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∵AB=AB，AF=AC，
∴Rt△ABF≌Rt△ABC(HL)，
∴∠BAF=∠BAC，
∴∠BAF+∠BAC=2∠BAC=∠CAF=∠E+∠AFE=2∠E，
∴∠E=∠BAC，
∴EF//AB．
(2)解：∵四边形ADFE是菱形，⊙A的半径为2，
∴FD=AD=AF=2，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠BAF=60°，
∴BFAF=tan60°= 3，
∴BF= 3AF= 3×2=2 3，
∴BF的长是2 3．
【解析】(1)连接AF，则∠E=∠AFE，由切线的性质得BF⊥AF，则∠AFB=∠ACB=90°，可证明Rt△ABF≌Rt△ABC，得∠BAF=∠BAC，推导出2∠BAC=2∠E，则∠E=∠BAC，所以EF/​/AB；
(2)由四边形ADFE是菱形，⊙A的半径为2，得FD=AD=AF=2，所以△ADF是等边三角形，则∠BAF=60°，由BFAF=tan60°= 3，得BF= 3AF=2 3．
此题重点考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2−43x+c的图象经过A(3,0)，B(0,−2)两点，
∴9a−4+c=0c=−2，
解得a=23c=−2，
∴二次函数的解析式为y=23x2−43x+2；
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵y=kx+b的图象经过A(3,0)，B(0,−2)两点，
∴3k+b=0b=−2，
解得k=23b=−2，
∴直线AB的解析式为y=23x−2，
在y轴上取点C(0,m)(m>−2)，使△ABC的面积为4，
∴12×(m+2)×3=4，
解得m=23，
∴C(0,23)，
过C点作直线l/​/AB交抛物线于P点，如图，则S△ABP=S△ABC=4，
∵直线AB的解析式为y=23x−2，
∴直线l的解析式为y=23x+23，
解方程组y=23x2−43x−2y=23x+23得x=−1y=0或x=4y=103，
∴点P的坐标为(−1,0)或(4,103).
【解析】(1)把A、B点的坐标代入y=ax2−43x+c中得到a、c的方程组，然后据解方程组即可；
(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=23x−2，在y轴上取点C(0,m)(m>−2)，使△ABC的面积为4，利用三角形面积公式得到12×(m+2)×3=4，解方程得到C(0,23)，过C点作直线l/​/AB交抛物线于P点，如图，则S△ABP=S△ABC=4，所以直线l的解析式为y=23x+23，然后解方程组y=23x2−43x−2y=23x+23得点P的坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式．
23.【答案】EF=CF 120°
【解析】解：(1)∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠BCD=90°，点F是BD中点，
∴FE=FB=FD=CF，
∴∠FBE=∠FEB，∠FBC=∠FCB，
∴∠EFC=∠EFD+∠CFD=∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB=2(∠FBE+∠FBC)=2∠ABC=120°，
故答案为：EF=CF；120°．
(2)EF=CF，∠EFC=120°，理由如下：
如图，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN，
∵BM=MA，BF=FD，∠ACB=90°，
∴MF//AD，MF=12AD，CM=12AB=AM=MB，
∵AN=ND，
∴MF=AN，
∴四边形MFNA是平行四边形，
∴NF=AM=MC，∠FMA=∠ANF，
在Rt△ADE中，AN=ND，∠AED=90°，
∴EN=2AD=AN=ND，
在△AEN和△ACM中，∠AEN=∠EAN，∠MCA=∠MAC，
∵∠MAC=∠EAN，
∴∠AMC=∠ANE，
又∵∠FMA=∠ANF，
∴∠FMC=∠ENF，
∴△MFC≌△ENF(SAS)，
∴FE=FC，∠NFE=∠MCF，
∵NF//AB，
∴∠NFD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，△BMC是等边三角形，∠MCB=60°，
∴∠EFC=∠EFN+∠NFD+∠DFC=∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠MCB=60°+60°=120°；
(3)在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=3，
∴AB=2BC=6，
①如图，当点D落在线段AB上时，过点E作EF⊥AB于点F，
∵AD=2，
∴BD=4，
在Rt△AED中，∠DAE=30°，AD=2，
∴DE=12AD=1，
在Rt△DEF中，∠EDF=60°，DE=1，
∴EF=ED⋅sin60°= 32，DF=ED⋅cs60°=12，
在Rt△BEF中，BE= EF2+BF2= ( 32)2+(4+12)2= 21；
②如图，当点D落在BA的延长线上时，过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△AED中，∠DAE=30°，AD=2，
∴AE= 3，
∴AG=32，GE= 32，
在Rt△BEG中，BE= EG2+BG2= ( 32)2+(6+32)2= 57．
综上所述，BE的长为 21或 57．
(1)要求EF与CF之间的数量关系，可通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得；要求∠EFC的度数，可根据等腰三角形的性质，进行等角代换求得；
(2)作辅助线，通过构造△MFC≌△ENF可求得，∠EFC的度数可通过等边三角形的性质及等角代换求得；
(3)要分点D落在线段AB上和点D落在BA的延长线上两种情况，通过勾股定理分别求解．
本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形斜边中线定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．草莓总质量n/kg
损坏草莓质量m/kg
草莓损坏的频率m/n(精确到0.001)
…
…
200
19.8
0.099
300
32.7
0.109
400
40.00
0.100
500
50.62
0.101
x(单位：台)
20
40
y(单位：元)
2104
2216
2
3
4
6
6
2
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,6)
(2,6)
3
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,6)
(3,6)
4
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,6)
(4,6)
6
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,6)
(6,6)
6
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,6)
(6,6)