2023-2024学年四川省泸州市古蔺县金兰教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省泸州市古蔺县金兰教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若 x+1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−1B. x≥0C. x≥−1D. 任意实数
2.下列式子是最简二次根式的是( )
A. 20B. 7C. 0.5D. 13
3.如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是( )
A. 5米B. 6米C. 7米D. 8米
4.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2× 3= 6C. 2 3− 3=2D. 6÷2= 3
5.如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于( )
A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm
6.下列命题错误的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 矩形的四个内角都是直角
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过O的直线EF分别交AB、CD于点E、F.若图中阴影部分的面积为6，则矩形ABCD的面积为( )
A. 12B. 18C. 24D. 30
8.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A=∠B−∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. a2=c2−b2D. a：b：c=4：5：6
9.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为( )
A. 1B. 2C. 1.5D. 2.5
10.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A. 9B. 6C. 4D. 3
11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5，且EO=2DE，则ED的长为( )
A. 5B. 2 5C. 2D. 2 23
12.如图，在▱ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为( )
A. 1B. 3−1C. 32D. 2− 3
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.在▱ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠B的度数为______°
14.若x，y为实数，且满足|x−2024|+ y+1=0，则yx的值为______．
15.矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=______cm．
16.如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4.设AB=x，AD=y，则x2+(y−4)2的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(1−π)0+|1− 2|+(12)−1− (−2)2．
18.(本小题6分)
计算： 48÷ 3− 12× 6+12 13．
19.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：BE=DF．
20.(本小题7分)
先化简，再求值：(1−xx+1)÷x2−2x+1x2−1，其中x= 3+1．
21.(本小题7分)
如图：四边形ABCD中，AB=CB= 2，CD= 5，DA=1，且AB⊥CB于B.试求：四边形ABCD的面积．
22.(本小题8分)
在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
23.(本小题8分)
2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响.据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km(即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响).如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC.若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为25km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
24.(本小题12分)
阅读材料：
教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，P=12(a+b+c)，那么这个三角形的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c).这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．
完成下列问题：
(1)一个三角形边长依次为5、6、7，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是______．
(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
①作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD= ______；
②请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，AB/​/OC，A(0,12)，B(a,c)，C(b,0)，并且a，b满足b= a−21+ 21−a+16.一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒)．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
(3)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥−1，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：A、 20=2 5，则 20不是最简二次根式，故此选项不合题意；
B、 7是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、 0.5= 12= 22，则 0.5不是最简二次根式，故此选项不合题意；
D、 13= 33，则 13不是最简二次根式，故此选项不合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可．
此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边，从而得出这棵树折断前的高度．
【解答】
解：∵树的顶端落在离树杆底部4米处，大树在离地面3米处折断，
∴折断的部分长为 32+42=5(米)，
∴折断前高度为5+3=8(米)．
故选D．
4.【答案】B
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故A不符合题意；
B、 2× 3= 6，故B符合题意；
C、2 3− 3= 3，故C不符合题意；
D、 6÷2= 62，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AD/​/BC，
∴∠DAE=∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=AB=3
∵BC=AD=5
∴EC=BC−BE=5−3=2
故选：B．
根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根据AD、AB的值，求出EC的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
6.【答案】A
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，命题正确，不符合题意；
C、矩形的四个内角都是直角，命题正确，不符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意；
故选：A．
根据矩形的判定、平行四边形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】C
【解析】解：∵矩形ABCD，
∴OA=OC，AB//DC，
∴∠DCA=∠CAB，∠CFE=∠AEF，
∴△CFO≌△AEO，
∴△CFO的面积等于△AEO的面积，
∵图中阴影部分的面积为6，
∴△AOB的面积是6，
∵矩形ABCD，OB=OD，
∴矩形ABCD的面积是4×6=24．
故选：C．
根据矩形的性质得到OA=OC，AB//DC，推出∠DCA=∠CAB，∠CFE=∠AEF，证△CFO≌△AEO，求出△CFO的面积等于△AEO的面积，求出△OAB的面积即可．
本题主要考查对矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出△AOB的面积是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、∠A=∠B−∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°，则∠B=90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形，不符合题意；
C、由a2=c2−b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴DE=12BC=4，D是AB的中点，
∵∠AFB=90°，
∴DF=12AB=3，
∴EF=DE−DF=1，
故选：A．
先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，
从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
∴4×12ab+(a−b)2=25，
∴(a−b)2=25−16=9，
∴a−b=3．
故选：D．
分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a−b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
11.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，
∴OC=OD，
∵EO=2DE，
∴设DE=x，OE=2x，
∴OD=OC=3x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC=∠OEC=90°，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，
∴(2x)2+52=(3x)2，
解得：x= 5
∴DE= 5；
故选：A．
由矩形的性质得到∠ADC=90°，BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，求得OC=OD，设DE=x，OE=2x，得到OD=OC=3x，根据勾股定理即可得到答案．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°−∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=DM=AM，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=2 3，
在Rt△ACN中，∵AC=2 3，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=12AC= 3，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=12AG，
∵AG≤AC，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2 3，最小值为 3，
∴EF的最大值为 3，最小值为 32，
∴EF的最大值与最小值的差为 32．
故选：C．
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N.首先证明∠ACD=90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=12AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属于中考选择题中的压轴题．
13.【答案】130
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=∠C=50°，
∴∠B=180°−∠A=130°．
故答案为130．
由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD//BC，又由∠A+∠C=100°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握方程思想的应用．
14.【答案】1
【解析】解：∵|x−2024|+ y+1=0，
∴x−2024=0，y+1=0，
解得x=2024，y=−1，
∴yx=(−1)2024=1．
故答案为：1．
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15.【答案】5.8
【解析】解：由翻折不变性可知，EB=ED；
设DE为xcm，则EB=xcm，
∵AB=10，
∴AE=AB−x=10−x，
又∵AD=4cm，
∴在Rt△ADE中，
AD2+AE2=DE2，
∴42+(10−x)2=x2，
∴16+100+x2−20x=x2，
解得x=5.8
故答案为5.8．
根据翻折不变性可知，EB=ED.设DE为x，则得到EB为x，于是可知AE=10−x；在△AED中，利用勾股定理即可求出DE的长．
此题考查了翻折不变性，找到图中的不变量，将未知量转化到直角三角形中，利用勾股定理是解题的关键．
16.【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，
∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°．
又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF=4，
∴BF=DF=EF=4．
∴CF=4−BC=4−y．
∴在直角△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+(4−y)2=42=16，
∴x2+(y−4)2=x2+(4−y)2=16．
故答案是：16．
根据矩形的性质得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角△BDE的斜边上的中线等于斜边的一半得到：BF=DF=EF=4，则在直角△DCF中，利用勾股定理求得x2+(y−4)2=DF2．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质．根据“直角△BDE的斜边上的中线等于斜边的一半”求得BF的长度是解题的突破口．
17.【答案】解：(1−π)0+|1− 2|+(12)−1− (−2)2
=1+ 2−1+2−2
= 2．
【解析】根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式的性质与化简分别计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式的性质是解题的关键．
18.【答案】解：原式=4− 3+12× 33
=4− 3+4 3
=4+3 3．
【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，再计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△ABE≅△CDF(SAS)，
∴BE=DF．
【解析】由平行四边形的性质可得AB/​/CD，AB=CD即∠BAE=∠DCF，根据SAS可得△ABE≅△CDF，最后根据全等三角形的性质即可解答．
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证的△ABE≅△CDF是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1−xx+1)÷x2−2x+1x2−1
=x+1−xx+1⋅(x+1)(x−1)(x−1)2
=1x+1⋅(x+1)(x−1)(x−1)2
=1x−1，
当x= 3+1时，原式=1 3+1−1= 33．
【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】解：连接AC，

∵AB⊥CB于B，
∴∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
又∵AB=CB= 2，
∴AC=2，
∵CD= 5，DA=1，
∴CD2=5，DA2=1，AC2=4，
∴AC2+DA2=CD2，
由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，
∵AB⊥CB于B，
∴S△ABC=12BC⋅AB，S△DAC=12AC⋅AD，
∵AB=CB= 2，DA=1，AC=2，
∴S△ABC=1，S△DAC=1，
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC，
∴S四边形ABCD=2．
【解析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据勾股定理逆定理可以判定△ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD．
∵BE/​/DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC= FC2+FB2= 32+42=5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【解析】(1)根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
(2)根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的定义，可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．
23.【答案】解：(1)会受到台风的影响．
理由：如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D．

图1
因为在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=400km，AC=300km，
所以BC= AB2+AC2= 3002+4002=500(km)，
因为AD⊥BC，
所以12BC⋅AD=12AB⋅AC，
所以AD=AB⋅ACBC=400×300500=240(km)．
因为AD<250km，所以农场A会受到台风的影响．
(2)如图2，假设台风在线段EF上移动时，会对农场A造成影响，

图2
所以AE=AF=250km，AD=240km，由勾股定理，可得
EF=2DF=2× 2502−2402=2×70=140(km)，
因为台风的速度是25km/h，
所以受台风影响的时间为140÷25=5.6(h)．
答：台风影响该农场持续时间为5.6h．
【解析】(1)勾股定理求出BC，过点A作AD⊥BC，垂足为D.根据面积法求出AD，判断即可；
(2)假设台风在线段EF上移动时，会对农场A造成影响，得AE=AF=250km，AD=240km，由勾股定理，可得EF的长度，再除以速度即可得到时间．
此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键．
24.【答案】6 6 14−x
【解析】解：(1)P=12(a+b+c)=12×(5+6+7)=9，
由海伦公式可得S= p(p−a)(p−b)(p−c)= 9(9−5)(9−6)(9−7)=6 6；
故答案为：6 6；
(2)①∵BC=14，BD=x，
∴DC=14−x，
故答案为：14−x；
②∵AD⊥BC，
∴AD2=AC2−CD2，AD2=AB2−BD2，
∴132−(14−x)2=152−x2，
解得x=9；
③由(2)得：AD= AB2−BD2= 225−81=12，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×14×12=84．
(1)利用公式代入计算即可得出答案；
(2)①根据CD=BC−BD可得答案；
②在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x的值；
③根据三角形面积公式计算即可．
本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵b= a−21+ 21−a+16，
∴a=21，b=16，
故B(21,12)C(16,0)；
(2)由题意得：AP=2t，QO=t，
则：PB=21−2t，QC=16−t，
∵当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形，
∴21−2t=16−t，
解得：t=5，
∴AP=10，OQ=5，
∴P(10,12)，Q(5,0)；
(3)当PQ=CQ时，过Q作QN⊥AB，
由题意得：122+t2=(16−t)2，
解得：t=72，
当PQ=PC时，过P作PM⊥x轴，

由题意得：QM=t，CM=16−2t，
则t=16−2t，
解得：t=163，
综上所述，t=72或163，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形．
【解析】(1)根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；
(2)由题意得：QP=2t，QO=t，PB=21−2t，QC=16−t，根据平行四边形的判定可得21−2t=16−t，再解方程即可；
(3)①当PQ=CQ时，122+t2=(16−t)2，解方程得到t的值；②当PQ=PC时，由题意得：QM=t，CM=16−2t，进而得到方程t=16−2t，再解方程即可．
此题主要考查了二次根式性质、解不等式组、平行四边形的判定，矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论．