上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题（含答案）

这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，卷面满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1.不等式的解集为__________.
2.各位数字之和为4的三位正整数的个数为__________.
3.曲线在处切线的斜率是__________.
4.设全集，，则________.
5.向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为________.
6.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第50百分位数是__________.
7.已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为_________.
8.已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为_________.
9.已知2，4，6，8，这5个数的标准差为2，若在-2，0，5，，中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是___________.
10.下列四个命题中为真命题的是__________.（写出所有真命题的序号）
①若随机变量服从二项分布，则其方差；
②若随机变量服从正态分布，且，则；
③已知一组数据，，，…，的方差是3，则，，，…，的方差也是3；
④对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4.
11.已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为___________.
12.已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为_________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13.若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
14.小军小朋友参加少儿体操选拔赛，8位教练员的评分分别为13，14，16，18，18，20，22，23，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分.去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列会发生变化的是（ ）
A.平均数B.极差C.中位数D.众数
15.掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”.那么下列结论正确的是（ ）
A.与是对立事件B.与是互斥事件
C.与是相互独立事件D.与是相互独立事件
16.已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（ ）
A.有一个极小值点，一个极大值点B.有两个极小值点，一个极大值点
C.最多有一个极小值点，无极大值点D.最多有一个极大值点，无极小值点
三、解答题（本大题共有4题，满分78分）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）对于函数，其中，.
（1）求函数的单调增区间；
（2）在锐角三角形中，若，，求的面积.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知直三棱柱，，，，分别为线段，上的点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）近年来，汽车智能化自动化方向发展迅速，某地区举办了面向中学生的智能小车大赛，其中初赛为自动循迹小车比赛，要求参赛小车能在指定赛道按规则成功到达目标地将晋级下一轮.赛道如图所示，图中每个点表示一个路口且相邻路口的道路长1m.点为小车的出发地，最下方五个点都是目标地，规则为：①小车等可能的选择右下，左下或水平路线行进；②沿水平道路行驶到下一个路口后必须选择右下或左下的路线行进.
（1）求小车行驶5m到达目标地的概率；
（2）若花儿中学代表队成功晋级，设其参赛小车行驶的距离为m，求的分布列和数学期望.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点.为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，求过、、三点的圆的方程；
（3）若，且，求的最大值.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若时，，求的取值范围；
（3）对于任意，证明：.
华东师大二附中2023学年第二学期5月质量检测
高二数学答案
一、填空题
1.2.103.4.
5.
6.【答案】55
【解】根据茎叶图中的数据从小到大排列为：42，47，54，55，58，70，96，共7个数据；且，这组数据的第4个数据即为所求的第50百分位数：55.
故答案是：55.
7.8.9.
10.【答案】①③
【解】对于①，因为随机变量服从二项分布，所以，所以①正确，
对于②，因为随机变量服从正态分布，且，所以，
所以，
所以，所以②错误，
对于③，因为数据，，，…，的方差是3，所以由方差的性质可知，，，…，的方差不变，也是3，所以③正确，
对于④，因为线性回归方程为，样本点的中心为，所以，解得，所以④错误，
故答案为：①③
11.【答案】
【解】记第一次抽到第号球的事件分别为，
则有，
记第二次在第号盒内抽到3号球的事件分别为，
而，，两两互斥，和为，，，，
记第二次抽到3号球的事件为，
.
故答案为：.
12.【答案】
【解】设，，则，
此时，则，
令，
当时，，
记，则，
所以在上递增，在上递减，
故，所以，
所以的最大值为.故答案为：.
二、选择题
13.C14.B
15.【答案】D
【解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，
即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误；
对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误，
对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误，
对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确，
故选：D.
16.【答案】C
【解】令，则，
故.
令，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值为，
的极大值为，
所以当时，至多有1个变号零点，且在上无变号零点；
当在区间上没有变号零点时，
则，，单调递增，无极值点，
当在区间上有1个变号零点时，
可设为，则当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以有且只有一个极小值点，无极大值点.
综上，最多有一个极小值点，无极大值点.
故选：C.
三、解答题
17.【解】（1）
令，则，函数为增函数，
当，时函数为增函数，
即，，得，，
所以函数的单调增区间是，（）.
（2）由已知，所以，
因为，所以，即，所以，
又，所以，
所以的面积.
18.【解】（1）
证明：在直三棱柱中，，平面，
所以以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则点，，，，，
则，，，
设，则，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，取，则；
，取，则，
因为，所以平面平面.
（2）设点，
由，得平面的法向量，
由得点的平面的距离，解得，
由，得，直线与平面所成的角的正弦值为.
19.【解】（1）根据规则，小车行驶5m到达目标地，需要行驶1段水平道路，4段向下的道路，且从点开始第一步必定往下，再在中间三段水平路中选择一段横移，
故小车行驶5m到达目标地的概率为.
（2）根据题意的可取值为4，5，6，7，
且从点开始第一步必定往下，再在中间三段水平路中选择横移段数，
则；；；.
故的分布列为：
则.
20.【解】（1）双曲线的顶点坐标为，故，
由题意得，故，
故椭圆的方程为.
（2）因为，，过于的方程为，
由，解得点的坐标为.
设过，，三点的圆为，
则，解得，，，
所以圆的方程为；
（3）设，，
则，，
因为，所以，即，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，当且仅当，
即时，取等号.最大值为.
21.【解】（1）的定义域为；
当时，，则；
令，则；
故当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
于是，即，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由题意知，令，则；
由（1）可知若，则当时，，
若，则当时，有，符合题意；
若，则当时，，于是，
单调递减，则，与题意矛盾；
若，则当时，，于是，
单调递减，此时，与题意矛盾；
综上所述，的取值范围是.
（3）当时，上（2）可知，
即，取，可得，
即.
令，，…，，累加可得
.
另一方面，考虑函数，（），
即，
在上单调递减，则，
于是，（）.
取，可得，
整理得.
令，，…，，
累加可得.
综上所述，对于任意，成立.
4
5
6
7