山东省齐鲁名校联盟2023-2024学年高三下学期考前质量检测数学试题（含答案）

这是一份山东省齐鲁名校联盟2023-2024学年高三下学期考前质量检测数学试题（含答案），共13页。试卷主要包含了在中，角的对边分别是，且，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）
A．34，35B．34，34C．34.5，35D．34.5，34
4．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）
A．1B．C．D．
5．在中，角的对边分别是，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为（ ）
A．2B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．4B．2C．D．
8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于轴上，半径为，且与的上支交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数C．在上单调递减D．在上单调递增
10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的最小值为
C．的最小正周期可以为D．的图象关于原点对称
11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该四棱台的侧面积为
C．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面
D．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点，则其爬行的最短路程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中的系数为______．（用数字作答）
13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取值范围是______．
14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线在轴上的截距；
（Ⅱ）探究的零点个数．
16．（15分）
如图，在直三棱柱中，为棱上一点，且．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
17．（15分）
设数列满足，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前项和．
18．（17分）
在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中．
（Ⅰ）若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．
（Ⅱ）对任意一次测试，证明：．
（Ⅲ）若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（Ⅰ）中机器人的检测效果．
19．（17分）
已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别交于点，与在第一象限的交点为．
（Ⅰ）证明：直线与相切．
（Ⅱ）若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的面积的最小值．
2023-2024学年（下）高三年级考前质量检测
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案 C
命题意图 本题考查集合的表示与运算．
解析 因为，所以．
2．答案 B
命题意图 本题考查复数的运算及几何意义．
解析 因为，所以，故在复平面内对应的点为位于第二象限．
3．答案 D
命题意图 本题考查中位数和平均数的概念．
解析 将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，故中位数为，平均数为．
4．答案 B
命题意图 本题考查直线与圆的位置关系．
解析 由直线与圆有公共点，可得圆心到直线的距离为，解得的取值范围为．
5．答案 A
命题意图 本题考查正弦定理和余弦定理的应用．
解析 由条件及正弦定理得，即，由余弦定理得，所以．
6．答案 A
命题意图 本题考查正方体的结构特征以及棱锥体积的计算．
解析 设的中点为，则，在对角面中，可以计算得，所以．
7，答案 D
命题意图 本题考查三角恒等变换的应用．
解析 因为，所以，所以．
8．答案 B
命题意图 本题考查双曲线与圆的位置关系．
解析 由题可知．设圆，联立得，故，因此，因为，所以，同理可得，故，当或时取得最小值．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．答案 AD
命题意图 本题考查函数的奇偶性和单调性．
解析 因为①，所以，即②，联立①②，解得，所以．因为，所以是奇函数，又，所以在上单调递增．故A，D正确．
10．答案 ABD
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．
解析 对于A，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，由题可知，解得，又，所以的最小值为，故B正确；
对于C，若最小正周期，则，由B项可知，不存在满足条件的，故C错误；
对于D，因为，代入，得，所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D正确．
11．答案 BD
命题意图 本题考查棱台的结构特征以及相关计算．
解析 对于A，，故A误；
对于B，梯形的高为，所以梯形的面积为，梯形的高为，所以梯形的面积为，故该四棱台的侧面积为，故B正确；
对于C，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，过三个切点的截面如图（1）所示，由图可知，所以，从而球的半径为，所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C错误；对于D，将平面与平面展开至同一平面，如图（2），则，将平面与平面展开至同一平面，如图（3），则，所以最短路程为，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案 672
命题意图 本题考查二项式定理的应用．
解析 的展开式的通项为，令，得，所以的系数为．
13．答案
命题意图 本题考查椭圆的性质．
解析 设椭圆的半焦距为，离心率为．当取最小值时，取最大值，反过来也一样，所以，即，又因为，故．
14．答案
命题意图 本题考查函数与不等式的综合．
解析 将两边展开，得到，从而，故，而，故，即，从而．设函数，则，由于在上单调递增，故，即．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．命题意图 本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点．
解析 （Ⅰ）由题意知，所以，
又，所以的方程为，即，
所以在轴上的截距为．
（Ⅱ）因为和在上均单调递增，所以在上单调递增．又因为，所以，使得．
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
又因为，
所以有两个零点．
16．命题意图 本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量计算二面角．
解析 （Ⅰ）在直三棱柱中，平面．
，
平面．
平面，
平面．
又平面，
平面平面．
（Ⅱ）如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则．
设点，则．
，解得．
设平面的法向量为，
则可取．
易知为平面的一个法向量．
，
故由图可知二面角的大小为．
17．命题意图 本题考查数列的通项公式和数列求和．
解析 （Ⅰ）由题易知，且，
所以，
所以，
所以也满足该式，
所以．
（Ⅱ），①
，②
②-①，得．
设，③
则，④
④-③，得，
所以．
18，命题意图 本题考查条件概率、概率的运算性质．
解析 （Ⅰ），
．
（Ⅱ），
要证明，需证明．
等式右边：
．
等式左边：
因为，
所以
．
等式左右两边相等，因此成立．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，因为，
所以（Ⅰ）中机器人的检测效果一般．
另解：，
，
所以．判断结果同上．
19．命题意图 本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题意知，
设，则，
所以，所以，
所以直线的斜率为，方程为．
联立方程得，
因为，所以直线与相切．
（Ⅱ）（ⅰ）设直线的方程为，
由可得，则，又因为，所以．
由（Ⅰ）知，点，直线的斜率为，方程为，
由得，由，
得．
作，垂足为，则，直线的方程为，
将直线与的方程联立，得解得．
所以，所以，
由相似三角形的性质可得．
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，
因为，
所以（当且仅当时等号成立），
故，即的面积的最小值为．
实际有雷
实际无雷
总计
检测到有雷
40
24
64
检测到无雷
10
26
36
总计
50
50
100