2024年广东省深圳市宝安中学九年级中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2024年广东省深圳市宝安中学九年级中考数学一模试卷（含答案），共25页。

A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（ ）
A．52°B．60°C．68°D．112°
3．（3分）如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3．
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2B．（﹣2a2b）2＝﹣4a4b2
C．﹣8a3b÷2ab＝﹣4a2D．2xy2•x2y＝2x2y2
5．（3分）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，已知PQ平行于x轴且PQ＝4，则点Q的坐标是（ ）
A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3）B．（6，﹣3）
C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）
6．（3分）下列选项中正确的是（ ）
A．线段既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．关于x一元二次方程x2+mx﹣1＝0可能无实数根
C．用反证法证明“在三角形中，至少有一个角不大于60度”，应假设“两个角大于60度”
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
7．（3分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．C． D．
8．（3分）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，若AD＝5，则DF的长为（ ）

例8 例9 例11
A．B．C．D．
9．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DH并延长交AB于点K，若DF平分∠CDK，则＝（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜B．0＜c＜C．﹣1＜c＜D．﹣1＜c＜0
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：﹣3m3+12m＝ ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为 ．
13．（3分）土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角∠BAC和第二时刻光线与地面的夹角∠ADB相等，测得第一时刻的影长为1.6尺，则第二时刻的影长为 尺．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OA＝6，OC＝4，点Q是AB边上一个动点，过点Q的反比例函数y＝（x＞0）与BC边交于点P．若将△PBQ沿PQ折叠，点B的对应点E恰好落在对角线AC上，则此时反比例函数的解析式是 ．

例14 例15
15．（3分）如图，在锐角△ABC中，cs∠BAC＝，AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接DE．则＝ ．
三．解答题（共6小题，满分55分）
16．（12分）（1）计算：；
解方程：．
17．（7分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”再次开讲．神舟十三号飞行乘组三名航天员又一次给全国的青少年带来了精彩的太空实验，传播了载人航天知识和文化．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取了40名学生进行了测试，并对成绩（满分10分，成绩取整数，7分以上（包括7分）为合格，9分以上（包括9分）为优秀）进行了整理，绘制了条形统计图如图：
（1）请补充完成下面的成绩统计分析表：
（2）男生说他们的合格率、优秀率均高于女生，所以他们的成绩好于女生，但女生不同意男生的说法，认为女生的成绩好于男生，请给出两条支持女生的理由；
（3）后面又追加了男女共5名同学（其中女生多于男生）的成绩，这5名同学成绩均为优秀，下面是关于追加后女生成绩信息的统计：
请求出追加后女生的人数，并说明理由．
18．（8分）如图，以▱ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连接BF．过点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．
19．（9分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；
物价部门规定，该纪念品每件的利润不允许高于进货价的35%，当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
20．（9分）根据以下素材，探索完成任务
21．（10分）在菱形ABCD中，BC＝5，，动点M在射线BD上运动．
（1）如图1，将点A绕着点M顺时针旋转90°，得到对应点A′，连接MC，AA′．
求证：AA′＝MC；
如图2，在（1）条件下，若射线MA′经过CD边中点E，求BM的值；
（3）连接AM，将线段AM绕着点M逆时针旋转一个固定角α，∠α＝∠BCD，点A落在点F处，射线MF交射线BC于G，若△BMG是等腰三角形，求BG的值．
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2024年广东省深圳市宝安中学九年级下册数学一模
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“人体红细胞的平均直径为0.0077m，该数据用科学记数法表示为7.7×10﹣6”．其中墨迹遮盖的“0”的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵7.7×10﹣6＝0.0000077，
∴墨迹遮盖的“0”的个数为3．
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是关键．
2．（3分）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（ ）
A．52°B．60°C．68°D．112°
【分析】由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝68°，再由三角形的内角和可求得∠ACB＝60°，再次利用平行线的性质即可求∠MAC的度数．
【解答】解：∵AB，CD都与地面平行，∠BCD＝68°，
∴∠ABC＝∠BCD＝68°，
∵∠BAC＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°，
∵AM与CB平行，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
3．（3分）如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3．
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【分析】由作图得AB＝AD＝CB＝CD，即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形ABCD是菱形，于是得到问题的答案．
【解答】解：由作图得AB＝AD，CB＝CD＝AD，
∴AB＝AD＝CB＝CD，
∵四条边相等的四边形是菱形，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：D．
【点评】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识，根据“四条边相等的四边形是菱形“证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2B．（﹣2a2b）2＝﹣4a4b2
C．﹣8a3b÷2ab＝﹣4a2D．2xy2•x2y＝2x2y2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：（a﹣b）（b﹣a）＝﹣a2+2ab﹣b2，故选项A错误；
（﹣2a2b）2＝4a4b2，故选项B错误；
﹣8a3b÷2ab＝﹣4a2，故选项C正确；
2xy2•x2y＝2x2y3，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5．（3分）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，已知PQ平行于x轴且PQ＝4，则点Q的坐标是（ ）
A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3）B．（6，﹣3）
C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）
【分析】先根据题意得出P点坐标，根据PQ平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论．
【解答】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴P（2，﹣3），
∵PQ平行于x轴，
∴设Q（x，﹣3），
∵PQ＝4，
∴|x﹣2|＝4，
∴x＝6或x＝﹣2，
∴Q（6，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
故选：A．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．
6．（3分）下列选项中正确的是（ ）
A．线段既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．关于x一元二次方程x2+mx﹣1＝0可能无实数根
C．用反证法证明“在三角形中，至少有一个角不大于60度”，应假设“两个角大于60度”
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
【分析】根据对称图形的判定，根的判别式，反证法以及平行四边形的判定方法等知识点分别进行分析判断．
【解答】解：A、线段既是中心对称图形，又是轴对称图形，原说法说法正确；
B、由于Δ＝m2+4＞0，所以关于x一元二次方程x2+mx﹣1＝0有两个不相等实数根，原说法错误；
C、用反证法证明“在三角形中，至少有一个角不大于60度”，应假设“三角形的每个角都小于60°”，原说法错误；
D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原说法错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了对称图形、反证法、平行四边形的判定方法、根的判别式等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
7．（3分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y＝19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A．
【点评】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
8．（3分）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，若AD＝5，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等边三角形和等腰三角形的性质可知BD垂直平分AC，再根据勾股定理求出OD和BO的长，进一步可得BD的长，根据平行线的性质进一步可得DF＝BF，过点F作FH⊥BD于点H，根据等腰三角形的性质可得DH的长，设DF＝x，则FH＝x，根据勾股定理列方程，求解即可．
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝8，
在等腰△ADC中，AD＝DC＝5，
∴BD垂直平分AC，
∴AO＝4，∠AOD＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
根据勾股定理，得OD＝＝＝3，BO＝＝＝，
∴BD＝3+，
∵DF∥AB，
∴∠FDB＝∠ABD＝30°，
∴∠FDB＝∠FBD＝30°，
∴DF＝BF，
过点F作FH⊥BD于点H，
则H是BD的中点，
∴DH＝BD＝，
设DF＝x，则FH＝x，
根据勾股定理，得，
解得x＝或x＝﹣4﹣（舍去），
∴DF＝，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
9．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DH并延长交AB于点K，若DF平分∠CDK，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点K作KM⊥AH，设DE＝a，AE＝b，先证得∠KHA＝∠KAH，可得KH＝KA，再证△EHD∽△EDA，可得，即，解出，再证△HED∽△HMK，列比例式求解即可．
【解答】解：过点K作KM⊥AH，设DE＝a，AE＝b，
∵DF平分∠CDK，
∴∠CDF＝∠EDH，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，
∴∠CDF＝∠ABH，DE＝AH，∠DEA＝∠EHB，
∴DF∥HB，
∴∠EDH＝∠BHK，
∴∠KBH＝∠KHB，
∴KH＝KB，
∵∠AHB＝90°，
∴∠KBH+∠KAH＝90°，∠KHB+∠KHA＝90°，
∴∠KHA＝∠KAH，
∴KH＝KA，
∴，
∵∠HED＝∠DEA，∠HDE＝∠EAD，
∴△EHD∽△EDA，
∴，
即，
解得：，
∵DE∥KM，
∴△HED∽△HMK，
∴，
故选：C．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
10．（3分）对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜B．0＜c＜C．﹣1＜c＜D．﹣1＜c＜0
【分析】由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c＝2x的两个实数根，由Δ＞0且x＝1时y＞0，即可求解．
【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+x+c有两个相异的二倍数点x1、x2是方程x2+x+c＝2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2﹣x+c＝0，
由x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2﹣x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2﹣x+c＝c＞0②，
联立①②并解得：0＜c＜，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握二倍数的概念，并据此得出关于c的不等式．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：﹣3m3+12m＝ ﹣3m（m+2）（m﹣2） ．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：﹣3m3+12m＝﹣3m（m2﹣4）＝﹣3m（m+2）（m﹣2）．
故答案为：﹣3m（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式和公式法的综合运用，掌握平方差公式是解本题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为 1 ．
【分析】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），将点B的坐标代入直线表达式，即可求解．
【解答】解：点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），
将点B的坐标代入直线表达式得：﹣m＝﹣2+1，
解得：m＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，通常把点坐标代入函数表达式即可求解．
13．（3分）土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角∠BAC和第二时刻光线与地面的夹角∠ADB相等，测得第一时刻的影长为1.6尺，则第二时刻的影长为 40 尺．
【分析】由∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB，得△ABC∽△DBA，知＝，故BD＝＝40（尺），即第二时刻的影长为40尺．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB，
∴△ABC∽△DBA，
∴＝，
∴BD＝，
根据题意得：AB＝8尺，BC＝1.6尺，
∴BD＝＝40（尺）；
∴第二时刻的影长为40尺；
故答案为：40．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OA＝6，OC＝4，点Q是AB边上一个动点，过点Q的反比例函数y＝（x＞0）与BC边交于点P．若将△PBQ沿PQ折叠，点B的对应点E恰好落在对角线AC上，则此时反比例函数的解析式是 y＝（x＞0） ．
【分析】设P（，4），Q（6，），求得PC＝，AQ＝，得到PB＝6﹣，BQ＝4﹣，根据三角函数的定义得到tan∠BQP＝tan∠BAC，求得∠BQP＝∠BAC，根据平行线的判定定理得到PQ∥AC，连接BE，根据折叠的性质得到BH＝EH，根据平行线分线段成比例定理得到AQ＝BQ＝2，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝4，
∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝4，
∴B（6，4），
设P（，4），Q（6，），
∴PC＝，AQ＝，
∴PB＝6﹣，BQ＝4﹣，
∴tan∠BQP＝＝＝，
∵tan∠BAC＝＝＝，
∴tan∠BQP＝tan∠BAC，
∴∠BQP＝∠BAC，
∴PQ∥AC，
连接BE，
∵将△PBQ沿PQ折叠，点B的对应点E恰好落在对角线AC上，
∴BH＝EH，
∴AQ＝BQ＝2，
∴＝2，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式是y＝，
故答案为：y＝．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，折叠的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．
15．（3分）如图，在锐角△ABC中，cs∠BAC＝，AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接DE．则＝ ﹣1 ．
【分析】如图，在AE上取一点M，使得AM＝MC．设EC＝m．想办法用m表示出AD，再证明DE＝EC，推出＝，可得结论．
【解答】解：如图，在AE上取一点M，使得AM＝MC．设EC＝m．
∵cs∠BAC＝，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠EAC＝∠BAC＝22.5°，
∵MA＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝22.5°，
∴∠CME＝∠MAC+∠MCA＝45°，
∴EC＝EM＝m，AM＝CM＝m，AE＝m+m，
∵∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ECF＝∠DAE＝22.5°，
∵∠DAE＝∠EAC，
∴＝，
∴DE＝ED，
∴＝＝＝tan22.5°＝＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明DE＝EC，推出＝是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分55分）
16．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，算术平方根定义，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+3﹣2++1﹣2×
＝+1﹣
＝1；
（2）方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得x+1+x2﹣1＝2，
整理，得x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
检验：当x＝1时，x2﹣1＝0，
当x＝﹣2时，x2﹣1≠0，
∴原分式方程的解为：x＝﹣2．
【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
17．（7分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”再次开讲．神舟十三号飞行乘组三名航天员又一次给全国的青少年带来了精彩的太空实验，传播了载人航天知识和文化．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取了40名学生进行了测试，并对成绩（满分10分，成绩取整数，7分以上（包括7分）为合格，9分以上（包括9分）为优秀）进行了整理，绘制了条形统计图如图：
（1）请补充完成下面的成绩统计分析表：
（2）男生说他们的合格率、优秀率均高于女生，所以他们的成绩好于女生，但女生不同意男生的说法，认为女生的成绩好于男生，请给出两条支持女生的理由；
（3）后面又追加了男女共5名同学（其中女生多于男生）的成绩，这5名同学成绩均为优秀，下面是关于追加后女生成绩信息的统计：
请求出追加后女生的人数，并说明理由．
【分析】（1）根据中位数、平均数的计算方法进行计算即可；
（2）从平均数，方差两个方面说明女生成绩比男生好即可；
（3）根据追加前后中位数、众数的变化得出答案．
【解答】解：（1）将25名男生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是7，因此男生成绩的中位数是7；
将15名女生成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是7，因此女生成绩的中位数是7；
女生成绩的平均数为＝6.6（分），
故答案为：7，6.6，7；
（2）女生成绩的平均数较男生高，女生成绩的方差比男生小，女生成绩更加稳定；
（3）追加后女生人数为18人，理由：追加的成绩均为9分或9分以上，追加前众数是8，追加后众数变为9，因此9分及9分以上的人数最多，9分及以上的至少追加3人，人数才能超过8分的人数，追加3人后女生人数变为18人，其中位数正好是7.5，所以追加3名女生，此时女生人数为18人．
【点评】本题考查条形统计图、平均数、中位数、众数，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
18．（8分）如图，以▱ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连接BF．过点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．
【分析】（1）如图，连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，根据平行四边形的性质得到OE∥CD∥AB，推出AB＝BC，于是得到结论；
（2）如图，连接BD，由（1）得，CE：AC＝1：2，得到点E是AC的中点，根据圆周角定理得到BF⊥CD，根据相似三角形的性质得到DF＝2，BF＝4，由勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵EG⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OE∥CD∥AB，
∴∠CEO＝∠CAB，
∵OC＝OE，
∴∠CEO＝∠ECO，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形；
（2）如图，连接BD，
由（1）得，OE∥CD，OC＝OB，
∴AE＝CE，
∴CE：AC＝1：2，
∴点E是AC的中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD经过点E，
∵BC是⊙O的直径，
∴BF⊥CD，
∵EG⊥CD，
∴EG∥BF，
∴△DGE∽△DFB，
∴DG：DF＝GE：BF＝DE：BD＝1：2，
∴DF＝2，BF＝4，
在Rt△BFC中，设CF＝x，则BC＝x+2，
由勾股定理得，x2+42＝（x+2）2，
解得：x＝3，
∴CF＝3．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．（9分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 180 件；
（2）物价部门规定，该纪念品每件的利润不允许高于进货价的35%，当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”即可解答；
（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，再根据该纪念品每件的利润不允许高于进货价的35%求出x的取值范围，由二次函数的性质即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
＝﹣10x2+1100x﹣28000
＝﹣10（x﹣55）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＜55时，y随x的增大而增大，
∵该纪念品每件的利润不允许高于进货价的35%，
∴≤35%，
解得x≤54，
∴当x＝54时，y最大，最大值为2240，
答：当每件的销售价x为54元时，销售该纪念品每天获得的利润y最大，最大利润2240元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
20．（9分）根据以下素材，探索完成任务
【分析】（1）利用SSS证明△ADE≌△ADF即可得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于点G，求出AD的长，即可利用DD'＝AD'﹣AD求出答案；
（3）设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，先求出BO，可得NG，再求出MN，进而可求出QG，即为问题的答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，且AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AP平分∠BAC；
（2）过E做EQ⊥AP，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∴∠AEQ＝30°，
∵AE＝20cm，
∴AQ＝AE＝10cm，
由勾股定理，得EQ＝＝＝（cm），
∵DE＝30cm，
∴DQ＝＝（cm），
∴AD＝AQ+DQ＝（10+）cm，
∵AD'＝50cm，
∴DD'＝AD'﹣AD＝50﹣（10+）＝40﹣＝≈15.5（cm），
（3）解：设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，如图，
在Rt△ABO中，
AB＝3AE＝60cm，∠BAO＝60°，
∴BO＝AB•sin∠BAO＝60•sin60°＝30（cm），
∴NG＝BO＝30cm，
在Rt△BMN中，
BN＝150cm，∠BMN＝60°，
∴MN＝＝＝50（cm），
∴MG＝MN﹣NG＝50﹣30＝20（cm），
在Rt△QGM中，
QG＝MG•tan60°＝20•＝60（cm），
故答案为：60．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
21．（10分）在菱形ABCD中，BC＝5，，动点M在射线BD上运动．
（1）如图1，将点A绕着点M顺时针旋转90°，得到对应点A′，连接MC，AA′．
求证：AA′＝MC；
（2）如图2，在（1）条件下，若射线MA′经过CD边中点E，求BM的值；
（3）连接AM，将线段AM绕着点M逆时针旋转一个固定角α，∠α＝∠BCD，点A落在点F处，射线MF交射线BC于G，若△BMG是等腰三角形，求BG的值．
【分析】（1）可证得△ABM≌△CBM，从而AM＝CM，进而得出AA′＝＝MC；
（2）连接AC，交BD于点O，作EF⊥BD于点F，先求出OD＝4，OA＝OC＝3，OF＝DF＝OD＝2，EF＝OC＝，设OM＝x，则MF＝OM+OF＝x+2，可证得△AOM∽△MFE，从而，从而得出，求得x的值，进一步得出结果；
（3）分为两种种情形：当点G在BC上，且BG＝MG时，同样得出点A、B、G、M共圆，从而∠MAG＝∠MBG，∠MGA＝∠ABG，进而得出和设BG＝MG＝CM＝a，作MH⊥BC于H，作AN⊥BC于点N，可求得sin∠MCH＝sin∠ABC＝，cs，从而表示出MH＝a，CH＝a，BH＝BC﹣CH＝5﹣，根据tan∠BCD＝＝列出，进而求得结果当BM＝BG时，作MH⊥BG于点H，可得出和设CH＝GH＝x，表示出BM＝BG＝5+2x，BH＝5+x，根据cs∠BCD＝列出，求得x的值，进一步得出结果；可判定出BM＞CM，进而得出结果．
【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，
AB＝CB，∠ABM＝∠CBM，
∵BM＝BM，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM＝CM，
∵∠AMA′＝90°，AM＝AM′，
∴AA′＝＝MC；
（2）解：如图1，
连接AC，交BD于点O，作EF⊥BD于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，CD＝BC＝5，∠CBD＝∠ABD，
∴OD＝OB＝BC•cs∠CBD＝5•cs∠ABD＝5×＝4，EF∥OC，
∴OA＝OC＝3，，
∴OF＝DF＝OD＝2，EF＝OC＝，
设OM＝x，则MF＝OM+OF＝x+2，
∵∠AOM＝∠EFM＝90°，
∴∠EMF+∠MEF＝90°，
∵∠AME＝90°，
∴∠AMO+∠EAF＝90°，
∴∠AOM＝∠MEF，
∴△AOM∽△MFE，
∴，
∴，
∴x1＝，x2＝（舍去），
∴OM＝，
∴BM＝OB﹣OM＝4﹣＝；
（3）解：如图2，
当点G在BC上，且BG＝MG时，
∴∠MBG＝∠BMG，
∴∠CGM＝∠MBG+∠BMG＝2∠MBG，
∵∠ABC＝2∠MBG＝2∠ABD，
∴∠ABC＝∠CGM，
∵∠AMG＝∠BCD，∠BCD+∠ABC＝180°，
∴∠AMG+∠ABC＝180°，
∴点A、B、G、M共圆，
∴∠MAG＝∠MBG，∠MGA＝∠ABG，
∵∠MGA＝∠MAG，
∴AM＝MG，
∵AM＝CM，
∴GM＝CM，
设BG＝MG＝CM＝a，
作MH⊥BC于H，作AN⊥BC于点N，
由S四边形ABCD＝BC•AN＝BD•AC得，
AN＝，
∴BN＝，
∴sin∠MCH＝sin∠ABC＝，
cs，
∴MH＝CM•sin∠MCH＝a•sin∠ABC＝a，
CH＝a，
∴BH＝BC﹣CH＝5﹣，
∵cs∠BCD＝，
∴tan∠BCD＝＝，
∴，
∴a＝，
∴BG＝，
如图3，
当BM＝BG时，作MH⊥BG于点H，
由上知：CM＝AM＝MG，
∴GH＝CH，
设CH＝GH＝x，
∴BM＝BG＝BC+CH+GH＝5+2x，BH＝5+x，
∵cs∠BCD＝，
∴，
∴x＝，
∴BG＝5+2x＝，
当点G在BC的延长线上时，CM＝AM＝MG，
∴∠MCG＝∠MGC＝90°，
∴∠BCM＝180°﹣∠MCG＞90°，
∴BM＞CM，
∴BM＞CM，
综上所述：BG＝或．
【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出相等关系列方程．
（1）以点A为圆心，任意长为
半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D；
（2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C；
（3）分别连接DC，BC.



平均分
方差
中位数
合格率
优秀率
男生
6.52
2.9

56%
16%
女生

2.8

53%
13%
众数
中位数
追加前
8
m
追加后
9
7.5
探究纸伞中的数学问题
素材1
我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC且AE＝AB，AF＝AC，DE＝DF，D点为伞圈．

素材2
伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D'的位置，且A、E、D′三点共线．测得AD'＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示（参考值：≈24.49）．

素材3
项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为GH，此时发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm．

问题解决
任务1
判断AP位置
求证：AP平分∠BAC．
任务2
探究伞圈移动距离
当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
任务3
拟定撑伞方案
求伞至少向下移动距离 cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
（1）以点A为圆心，任意长为
半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D；
（2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C；
（3）分别连接DC，BC.



平均分
方差
中位数
合格率
优秀率
男生
6.52
2.9
7
56%
16%
女生
6.6
2.8
7
53%
13%
众数
中位数
追加前
8
m
追加后
9
7.5
探究纸伞中的数学问题
素材1
我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC且AE＝AB，AF＝AC，DE＝DF，D点为伞圈．

素材2
伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D'的位置，且A、E、D′三点共线．测得AD'＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示（参考值：≈24.49）．

素材3
项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为GH，此时发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm．

问题解决
任务1
判断AP位置
求证：AP平分∠BAC．
任务2
探究伞圈移动距离
当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
任务3
拟定撑伞方案
求伞至少向下移动距离 60 cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）