2024年安徽省宿州市埇桥区宿城一中中考数学模拟试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年安徽省宿州市埇桥区宿城一中中考数学模拟试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−23的相反数是( )
A. 23B. −32C. 32D. −23
2.到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫.将数据9980万用科学记数法表示是( )
A. 9.98×103B. 9.98×105C. 9.98×106D. 9.98×107
3.计算(m2)3的结果是( )
A. m5B. m6C. m8D. m9
4.实数 2+1在数轴上的对应点可能是( )
A. A点B. B点C. C点D. D点
5.如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是( )
A. 72∘
B. 36∘
C. 74∘
D. 88∘
6.在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球.从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
7.如图，AB，CD相交于点E，且AC//EF//DB，点C，F，B在同一条直线上.已知AC=p，EF=r，DB=q，则p，q，r之间满足的数量关系式是( )
A. 1r+1q=1p
B. 1p+1r=2q
C. 1p+1q=1r
D. 1q+1r=2p
8.关于二次函数y=2(x−4)2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A. 有最大值4B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6
9.如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO=5m，树影AC=3m，树AB与路灯O的水平距离AP=4.5m，则树的高度AB长是( )
A. 2m
B. 3m
C. 32m
D. 103m
10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(2,0)，且对称轴为直线x=12，有下列结论：①abc>0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2a,0)；⑤4am2+4bm−b≥0.其中正确结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.不等式2x−1>1的解集是______.
12.分解因式：x2+2x+1=__________.
13.若x、y满足x−2y=−2x+2y=3，则代数式x2−4y2的值为______.
14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%，小彤的这两项成绩依次是90，80.则小彤这学期的体育成绩是______.
15.如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y=kx(x<0)的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD=1，三角板的斜边FG=4，则k=______.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算：(3.14−π)0− 27+|1− 3|+4sin60∘.
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克.
(1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系；当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
18.(本小题8分)
在中国共产党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动.为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩(百分制)绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据图中信息回答下列问题：
(1)本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示 C等级的扇形圆心角度数为______.
(2)A等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0,4)，B(0,2)，C(3,2).
(1)将△ABC以O为旋转中心旋转180∘，画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为(2,2)，求△A1C1C2的面积.
20.(本小题10分)
拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内.
(1)转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC=143∘，CD//l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长(精确到1cm，参考数据：sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6).
(2)物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.
21.(本小题10分)
如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE=3cm.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长.
22.(本小题12分)
某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
(1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
(2)在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢.为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
(3)第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资.若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？
23.(本小题12分)
如图，矩形ABCD中，AB=4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB=30∘.连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.
(1)若EF⊥BD，求DF的长；
(2)若PE⊥BD，求DF的长；
(3)直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围.
24.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3,0)，B点坐标为(−1,0)，连接AC、BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒 2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒.
(1)求b、c的值.
(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据相反数的含义，可得
−23的相反数等于：−(−23)=23，
故选：A。
根据相反数的含义，可求得一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，据此解答即可。
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”。
2.【答案】D
【解析】解：9980万=99800000=9.98×107.
故选：D.
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：(m2)3=m2×3=m6.
故选：B.
幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此计算即可．
本题考查了幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵1<2<4，
∴1< 2<2，
∴2< 2+1<3，
则实数 2+1在数轴上的对应点可能是点D，
故选：D.
先确定2< 2+1<3，再根据数轴上点的位置可得结论．
本题考查了实数与数轴，实数的大小比较的应用，能得出2< 2+1<3是解此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵正五边形ABCDE，
∴每个内角为180∘−360∘÷5=108∘，
∵AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=36∘，
∴∠ACD=∠BCD−∠BCA=108∘−36∘=72∘，
故选：A.
先求出正五边形每个内角的度数，再由等腰△ABC，求出∠BCA即可．
本题考查的正多边形外角和定理，以及等腰三角形的性质，求出正五边形每个内角的度数是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查概率公式．
用白球的数量除以所有球的数量即可求得摸出一个球是白球的概率．
【解答】
解：∵袋子中共有6个小球，其中白球有1个，
∴摸出一个球是白球的概率是16.
故选A.
7.【答案】C
【解析】解：∵AC//EF，
∴△BEF∽△BAC，
∴EFAC=BFBC，
∵EF//DB，
∴△CEF∽△CDB，
∴EFBD=CFBC，
∴EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，即rp+rq=1，
∴1p+1q=1r.
故选：C.
先证得△BEF∽△BAC，△CEF∽△CDB，可得EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，两式相加即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似得出线段的比是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的最值．
根据题目中的函数解析式得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
【解答】
解：∵二次函数y=2(x−4)2+6，2>0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x=4时，y取得最小值6.
9.【答案】A
【解析】【分析】
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
【解答】
解：∵AB//OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴ABPO=ACPC，
∴AB5=33+4.5，
∴AB=2(m)，
故选：A.
10.【答案】D
【解析】解：①∵抛物线的对称轴为直线x=12，即对称轴在y轴的右侧，
∴ab<0，
∵抛物线与y轴交在负半轴上，
∴c<0，
∴abc>0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=12，
∴−b2a=12，
∴−2b=2a，
∴a+b=0，
故②不正确；
③∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(2,0)，
∴4a+2b+c=0，
∵c<0，
∴4a+2b+3c<0，
故③正确；
④∵a+b=0，4a+2b+c=0
∴c=−2a，
∴c2a=−1，
∴当a≠0，无论b，c取何值，抛物线一定经过(c2a,0)，
故④正确；
⑤∵b=−a，
∴4am2+4bm−b=4am2−4am+a=a(4m2−4m+1)=a(2m−1)2，
∵a>0，
∴a(2m−1)2≥0，即4am2+4bm−b≥0，
故⑤正确；
本题正确的有：①③④⑤，共4个．
故选：D.
11.【答案】x>1
【解析】解：解不等式2x−1>1得，2x>2，解得x>1.
利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上1再除以2，不等号的方向不变．
本题考查了同学们解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
12.【答案】(x+1)2
【解析】【分析】
本题考查了公式法分解因式．掌握因式分解的方法是解题的关键.
直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】
解：x2+2x+1=(x+1)2.
故答案为：(x+1)2.
13.【答案】−6
【解析】解：∵x−2y=−2，x+2y=3，
∴x2−4y2=(x+2y)(x−2y)=3×(−2)=−6，
故答案为：−6.
根据方程组中x+2y和x−2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
本题主要考查因式分解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
14.【答案】83
【解析】解：小彤这学期的体育成绩是90×30%+80×70%=83，
故答案为：83.
将小彤体育课外活动、期末考试的成绩分别乘以对应的百分比，再求和即可．
本题主要考查加权平均数，加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则(x1w1+x2w2+…+xnwn)÷(w1+w2+…+wn)叫做这n个数的加权平均数．
15.【答案】−12
【解析】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=CD=1，
在Rt△FMN中，∠MFN=45∘，
∴FN=MN=1
又∵FG=4，
∴NA=MB=FG−FN=4−1=3，
设OA=a，则OB=a+1，
∴点F(−a,4)，M(−a−1,3)，
又∵反比例函数y=kx(x<0)的图象恰好经过点F，M，
∴k=−4a=3(−a−1)，
解得，a=3，
∴k=−4a=−12，
故答案为：−12.
利用等腰直角三角形的性质可求出FN，NA，MB，设OA=a，用含有a的代数式表示点F、点M的坐标，再代入反比例函数关系式即可求出a的值，进而确定k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，构造直角三角形，利用特殊锐角三角函数值确定点F、点M的坐标是解决问题的关键．
16.【答案】解：原式=1−3 3+ 3−1+4× 32
=1−3 3+ 3−1+2 3
=0.
【解析】根据零指数幂，二次根式的运算法则，去绝对值，特殊角的三角函数值化简各项，再计算加减法．
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
17.【答案】解：(1)由题意得：
W=(48−30−x)(500+50x)
=−50x2+400x+9000，
x=2时，W=(48−30−2)×(500+50×2)=9600(元)，
(2)由(1)得：W=−50x2+400x+9000=−50(x−4)2+9800，
∵−50<0，
∴x=4时，W最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
(3)−50x2+400x+9000=9750，
解得：x1=3，x2=5，
∵让利于民，
∴x1=3不合题意，舍去，
∴定价应为48−5=43(元)，
答：定价应为43元．
【解析】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．
(1)根据利润=销售量×(单价-成本)，列出函数关系式即可，将x=2代入函数关系式即可求解；
(2)根据(1)求得的函数关系式进一步利用配方法结合也二次函数的最值求出答案即可；
(3)利用每天要获得9750元的利润列出方程求解，结合让利于民得出结论.
18.【答案】解：(1)本次抽取调查的学生共有的人数为：24÷48%=50(人)，
∴扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为：360∘×1550=108∘，
故答案为：50，108∘；
(2)画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率为812=23.
【解析】(1)由B等级的人数和所占百分比求出本次抽取调查的学生人数，即可解决问题；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．△A1C1C2的面积=4×8−12×3×2−12×2×8−12×4×5=11.

【解析】本题考查作图-旋转变换，作图-平移变换，三角形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
(1)根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(2)根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可，再根据三角形的面积公式求出△A1C1C2的面积．
20.【答案】解：(1)过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，如图：
∵∠ABC=143∘，
∴∠CBQ=53∘，
在Rt△BCQ中，CQ=BC⋅sin53∘≈70×0.8=56cm，
∵CD//l，
∴DE=CP=CQ+PQ=56+50=106cm.
即手臂端点D离操作台l的高度DE的长为106cm.
(2)当B，C，D共线时，如图：
BD=60+70=130cm，AB=50cm，
在Rt△ABD中，AB²+AD²=BD²，
∴AD=120cm>110cm.
∴手臂端点D能碰到点M.
【解析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
(1)过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，在Rt△BCQ中，CQ=BC⋅sin53∘，再根据DE=CP=CQ+PQ可得答案；
(2)当B，C，D共线时，根据勾股定理可得AD的长，进而可进行判断．
21.【答案】(1)证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD//OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
(2)∵E是BC的中点，且OA=OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，
∵OE=3，
∴AC=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘=∠ADC，
又∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ADAC=ACAB，即AD6=610，
∴AD=185.
【解析】(1)连接OC，由AC平分∠BAD，OA=OC，可得∠DAC=∠OCA，AD//OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
(2)由OE是△ABC的中位线，得AC=6，再证明△DAC∽△CAB，得ADAC=ACAB，即AD6=610，从而可得AD=185.
本题考查圆的切线及圆中的计算，涉及圆周角定理、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
22.【答案】解：(1)设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，
根据题意得：100x+200y=8000200x+300y=13000，
解得：x=20y=30.
答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；
(2)设超市应将B型水杯降价m元，根据题意，得：
每天售出B型水杯利润=(44−m−30)(20+5m)
=−5m2+50m+280
=−5(m−5)2+405，
∴当m=5时，利润取得最大值，最大值为405元，
答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；
(3)∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，
依题意，得：w=(10−b)a+9×10000−20a30=(10−6−b)a+3000，
∵捐款后所得的利润始终不变，
∴w值与a值无关，
∴10−6−b=0，解得：b=4，
∴w=(10−6−4)a+3000=3000，
答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元．
【解析】分析：(1)设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据：利润=(每台实际售价-每台进价)×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
(3)设总利润为w元，购进A种水杯a个，根据总利润=单个利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，由w值与a值无关可得出b的值，再代入b值即可求出w的值．
本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
解：(1)设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，
根据题意得：100x+200y=8000200x+300y=13000，
详解得：x=20y=30.
答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；
(2)设超市应将B型水杯降价m，根据题意，得：
每天售出B型水杯利润=(44−m−30)(20+5m)
=−5m2+50m+280
=−5(m−5)2+405，
∴当m=5时，利润取得最大值，最大值为405元，
答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；
(3)∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，
依题意，得：w=(10−b)a+9×10000−20a30=(10−6−b)a+3000，
∵捐款后所得的利润始终不变，
∴w值与a值无关，
∴10−6−b=0，解得：b=4，
∴w=(10−6−4)a+3000=3000，
答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元．
23.【答案】解：(1)∵点D、点P关于直线EF对称，EF⊥BD，
∴点P在BD上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90∘，
∵AB=4，∠ADB=30∘.
∴AD=4 3，
∵点E是边AD的中点，
∴DE=2 3，
∵EF⊥BD，
∴DF=3；
(2)①如图2，
∵PE⊥BD，∠ADB=30∘.
∴∠PED=60∘，
由对称可得，EF平分∠PED，
∴∠DEF=∠PEF=30∘，
∴△DEF是等腰三角形，
∴DF=EF，
∵PE⊥BD，∠ADB=30∘，DE=2 3，
∴QE= 3，
∵∠PEF=30∘，
∴EF=2，
∴DF=EF=2；
②如图3，
∵PE⊥BD，∠ADB=30∘.
∴∠PED=120∘，
由对称可得，PF=DF，EP=ED，EF平分∠PED，
∴∠DEF=∠PEF=120∘，
∴∠EFD=30∘，
∴△DEF是等腰三角形，
∵PE⊥BD，
∴QD=QF=12DF，
∵PE⊥BD，∠ADB=30∘，DE=2 3，
∴QE= 3，QD=3
∴DF=2QD=6；
∴DF的长为2或6；
(3)由(2)得，当∠DQE=90∘时，DF=2(如图2)或6(如图3)，
当∠DEQ=90∘时，
第一种情况，如图4，
∵EF平分∠PED，
∴∠DEF=45∘，
过点F作FM⊥AD于点M，设EM=a，则FM=a，DM= 3a，
∴ 3a+a=2 3，
∴a=3− 3，DF=6−2 3，
∴2第二种情况，如图5，
∵EF平分∠PED，
∴∠1=∠2=45∘，
过点F作FM⊥AD于点M，设EM=a，则FM=a，DM=2 3+a，
∴2 3+a= 3a，
∴a=3+ 3，DF=6+2 3，
∴6∵点F是对角线BD上一动点，
∴6综上，2【解析】本题考查了矩形的性质、对称的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
(1)由题意得点P在BD上，根据含30∘角的直角三角形的性质即可求解；
(2)由对称可得△DEF是等腰三角形，分两种情况画出图形，根据含30∘角的直角三角形的性质即可求解；
(3)分两种情况画出图形，根据中点的定义以及直角三角形的性质分别求出EM、FM、DM的值，即可得出DF的值，结合(2)中求得的DF的值即可得出答案.
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A(3,0)，B(−1,0)，
则0=−9+3b+c0=−1−b+c，
解得b=2c=3；
(2)由(1)得抛物线表达式为y=−x2+2x+3，C(0,3)，A(3,0)，
∴△OAC是等腰直角三角形，
由点P的运动可知AP= 2t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
∴AH=PH= 2t 2=t，
则H点坐标为(3−t,0)，
又Q点坐标为(−1+t,0)，
∵A(3,0)，B(−1,0)，C(0,3)，
∴CO=3，AB=4，AQ=4−t，
∴S四边形BCPQ=S△ABC−S△APQ=12CO⋅AB−12PH⋅AQ
=12×4×3−12×4−tt
=12t2−2t+6
=12(t−2)2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
∵AC= 32+32=3 2，AB=4，
∴0≤t≤3，
∴当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
(3)存在点M使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90∘，
∴∠MPF+∠QPE=90∘，又∠MPF+∠PMF=90∘，
∴∠PMF=∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
∠F=∠QEP∠PMF=∠QPEPM=QP，
∴△PFM≌△QEP(AAS)，
∴MF=PE=t，PF=QE=4−2t，
∴EF=4−2t+t=4−t，
又OE=3−t，
∴点M的坐标为(3−2t,4−t)，
∵点M在抛物线y=−x2+2x+3上，
∴4−t=−(3−2t)2+2(3−2t)+3，
解得t=9− 178或9+ 178(舍)，
∴M点的坐标为(3+ 174,23+ 178).
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)过点P作PH⊥x轴，垂足为H，利用S四边形BCPQ=S△ABC−S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
(3)画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4−2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．
本题考查二次函数综合，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，以及三角形面积．进货批次
A型水杯(个)
B型水杯(个)
总费用(元)
一
100
200
8000
二
200
300
13000