2024年安徽省宿州市灵璧县部分学校中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年安徽省宿州市灵璧县部分学校中考数学一模试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数−3的相反数是( )
A. 3B. −3C. 13D. −13
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )
A.
B.
C.
D.
3.下列计算正确的是( )
A. (−x)2⋅x3=−x5B. −x2⋅x3=x6C. x2⋅(−x)3=−x6D. (−x2)3=−x6
4.在数轴上表示函数y= x−1x+1的自变量x的取值范围正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列函数，y随x的增大而减小的是( )
A. y=−5x2+1B. y=2xC. y=3x2+4D. y=−x+3
6.如图，在正五边形ABCDE中，AD，CE相交于点F，连接BF，则∠CFD−∠CFB=( )
A. 14∘
B. 16∘
C. 18∘
D. 20∘
7.如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文数”.从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
8.如图，在矩形ABCD中，E，F分别在CD边和AD边上，BE⊥CF于点G，且G为CF的中点.若AB=4，BC=5，则BG的长为( )
A. 4
B. 3 2
C. 2 5
D. 2 6
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax−b+1与y=cx+b的图象不可能是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=30∘，点P为AC边上一动点，PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，连接DE，则以DE为边长的正方形DEGF的面积的最小值为( )
A. 8
B. 8 3
C. 16−2 3
D. 8+4 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.计算：5−3−8=______.
12.据统计，2025年安徽省早稻再获丰收，总产20.3亿斤，其中20.3亿用科学记数法表示为______.
13.古代数学家曾经探究出这样一个结论：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，则BD=AB2−AD2BC−BD，当AB=7，AD=6，BD=2时，CD=______.
14.如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点O的直线与反比例函数y=16x的图象交于A，B两点，点C在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，过点A作AD⊥x轴于点D.连接BD.
(1)△BOD的面积为______；
(2)若AC=BC，ACAB=58，则k的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
先化简，再求值：xx+1−x2−1x2+2x+1，其中x= 3−1.
16.(本小题8分)
某超市第二季度的利润比第一季度下降了20%，第三季度的利润比第二季度增长了10%，第四季度的利润是第一季度的2.2倍，求第四季度的利润相比第三季度增长的百分数.
17.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)将线段AD先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段A′D′，画出线段A′D′；
(2)以D为旋转中心，将线段BC按逆时针方向旋转90∘，得到线段B′C′，画出线段B′C′；
(3)以A′，B′，D′为顶点，画一个四个顶点均为格点的四边形，使得该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
18.(本小题8分)
【观察思考】
如图，第1个图案中正三角形的个数为2，正方形的个数为1，周长为6cm；第2个图案中正三角形的个数为6，正方形的个数为2，周长为8cm；第3个图案中正三角形的个数为10，正方形的个数为3，周长为1cm；第4个图案中正三角形的个数为14，正方形的个数为4，周长为12cm；…
【规律发现】
(1)第5个图案中正三角形的个数为______；
(2)第n个图案中正三角形的个数为______；
【规律应用】
(3)照此规律，当一个图案的周长为2024cm时，这个图案中有多少个正三角形？有多少个正方形？
19.(本小题10分)
如图，无人机在P点测得地面A点的俯角∠APB=18.7∘，测得AP=400米，测得山顶C点的仰角∠CPE=53.1∘，无人机沿着与地面AD平行的方向飞行140米到达Q点，在Q点测得山顶C点的仰角∠CQE=63.4∘.求山高CD(精确到1m).参考数据：sin18.7∘≈0.32，cs18.7∘≈0.95，tan18.7∘≈0.34，sin53.1∘≈0.80，cs53.1∘≈0.60，tan53.1∘≈1.33，sin63.4∘≈0.89，cs63.4∘≈0.45，tan63.4∘≈2.00.
20.(本小题10分)
如图，⊙O中的两条弦AB⊥CD于E，点F在⊙O上，BD=BF.连接AF交CD于G，交BC于H.
(1)若AE=2，BE=4.BC=BA，求BH的长；
(2)分别连接DF，EH，求证：DF//EH.
21.(本小题12分)
某工厂开展青年工人操作技能评比，从1200名青年工人中随机抽取部分工人成绩(记为x)作为样本进行整理后分成A∼E五组.A组：50≤x<60，B组：60≤x<70，C组：70≤x<80，D组：80≤x<90，E组：90≤x≤100.并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)抽取的样本人数为______，m=______；
(2)已知D组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89.D组成绩的众数是______分，抽取的样本成绩的中位数是______分；
(3)若成绩达到80分以上(含80分)为优秀，根据样本数据，请你估计全厂青年工人操作技能为优秀的人数.
22.(本小题12分)
在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=BD.
(1)如图1，若AD=BC，求证：AB//CD；
(2)已知∠AOB=120∘.
①如图2，若BC=CD，求证：OA=2OD；
②如图3，分别取AD，BC的中点M，N，连接MN，求MNAC的值.
23.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为顶点的抛物线与直线AB相交于A(−3,94)，B(1,14)两点.
(1)求该抛物线和直线AB的函数表达式；
(2)点M位于直线OA下方的抛物线上，MN⊥x轴，交直线AB于点N，求线段MN的最大值；
(3)若点P，Q分别是该抛物线和线段AB上的动点，设线段AB与y轴交于点C，以O，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的横坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：A.
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数；掌握其定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥组成．
故选：B.
根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形体特征进行判断即可．
本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
3.【答案】D
【解析】解：A、(−x)2⋅x3=x5，故此选项错误，不符合题意；
B、−x2⋅x3=−x5，故此选项错误，不符合题意；
C、x2(−x3)=−x5，此选项错误，不符合题意；
D、(−x2)3=−x6，此选项正确，符合题意；
故选：D.
直接利用同底数的乘法运算法则以及合并同类项法则分别化简求出答案．
此题主要考查了同底数的乘法运算以及合并同类项法则，正确化简各数是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题知，
x−1≥0且x+1≠0，
解得x≥1.
故选：A.
根据二次根式的被开方数非负及分式的分母不等于0，即可解决问题．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5.【答案】D
【解析】解：A选项，y=−5x2+1，当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大，故A选项错误；
B选项，y=2x，y随x的增大而增大，故B选项错误；
C选项，y=3x2+4，当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；
D选项，y=−x+3，y随x的增大而减小，故D选项正确；
故选：D.
根据二次函数的性质、一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次函数、一次函数的性质，先根据题意判断出各函数的增减性是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=∠AED=∠CDE=(5−2)×180∘÷5=108∘，AE=DE=CD=BC，
∴∠EAD=∠EDA=(180∘−∠AED)÷2=36∘，∠DCE=∠DEC=(180∘−∠CDE)÷2=36∘，
∴∠CFD=∠CED+∠EAD=72∘，∠BCF=∠BCD−∠DCE=72∘，∠CDF=∠CDE−∠EDF=72∘，
∴CD=CF=CB，
∴∠CFB=12(180∘−∠BCF)=54∘，
∴∠CFD−∠CFB=18∘.
故选：C.
根据五边形ABCDE是正五边形，得出∠BCD=∠AED=∠CDE=108∘，AE=DE=CD=BC，再求出∠EAD=∠EDA=36∘，∠DCE=∠DEC=36∘，从而得出∠CFD=∠BCF=∠CDF=72∘，进一步得出CD=CF=CB，进一步得出∠CFB的度数，最后求出答案．
本题考查了正多边形的定义，等腰三角形的判定与性质，判断出CD=CF=CB是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：画树状图如图所示，
用从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数出现的等可能结果有：
112，112，121，122，121，122，112，112，121，122，121，122，211，212，211，212，221，221，211，212，211，212，221，221，
其中恰好是“回文数”的有121，121，121，121，212，212，212，212，
所以恰好是“回文数”的概率为824=13
故选：B.
先列出所有等可能结果，从中找到“平稳数”的结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
8.【答案】C
【解析】解：连接BF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=∠BCD=90∘，AB=CD=4，AD=BC=5，
∵BE⊥CF于点G，且G为CF的中点，
∴BE是CF的中线，即BF=BC=5，
∴AF= BF2−AB2= 52−42=3，DF=2，
CF= FD2+CD2= 22+42=2 5，CG= 5，
∵∠GBC+∠GCB=∠DCF+∠GCB=90∘，
∴∠DCF=∠EBC，
∴tan∠1=tan∠2，即CGBG=FDCD，
∴BG=2 5.
故选：C.
连接BF，根据四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠D=∠BCD=90∘，AB=CD=4，AD=BC=5，又因为BE⊥CF于点G，且G为CF的中点，则BE是CF的中线，即BF=BC=5，根据勾股定理求出AF，AF，DF，CF，CG，又因为∠GBC+∠GCB=∠DCF+∠GCB=90∘，得出∠DCF=∠EBC，利用正切值tan∠1=tan∠2，即CGBG=FDCD，得出BG.
本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9.【答案】B
【解析】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，a>0，b>0，c<0，函数y=cx+b的图象过第一、二、四象限．
A、函数y=cx+b的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意；
B、函数y=cx+b的图象走第一、二、四象限，不存在这种可能，符合题意；
C、函数y=cx+b的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意；
D、函数y=cx+b的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意；
故选：B.
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，a>0，b>0，c<0，函数y=cx+b的图象过第一、二、四象限，据此解答即可．
本题考查了二次函数与一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数的关系式解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过D作DM⊥BC，过A作AN⊥BC，∠DBR=15∘，交DM于R.
设AP=x，则PC=8−x，
∵∠DAP=30∘，
∴DP=12AP=12x，
∴AD= 3DP=12 3x，
∴BD=8−12 3x，
∵AB=AC，AN⊥BC，
∴∠BAN=12∠BAC=15∘，
∵AN⊥BC，DM⊥BC，
∴DM//AN，
∴∠BDM=∠BAN=15∘，
∴∠BRM=30∘，
∴设BM=m，则BR=2m，
∴DR=BR=2m，
∴RM= 3BM= 3m，
∵BM2+MD2=BD2，
∴m2+( 3m+2m)2=(8−12 3x)2，
∴8m2+4 3m2=(8−12 3x)2，
∴2m2(4+2 3)=(8−12 3x)2，
∴2m2(3+2 3+1)=(8−12 3x)2，
∴2m2( 3+1)2=(8−12 3x)2，
∴ 2m( 3+1)=8−12 3x，
∴m=8−12 3x 2( 3+1)，
∴m=8−12 3x 6+ 2，
∴BM=8−12 3x 6+ 2，
同理：CE=8−x 6+ 2，
∵AN//DM，
∴ADBD=BMMN，
∴12 3x8−12 3x=MN÷8−12 3x 6+ 2，
∴MN=12 3x 6+ 2，
同理：EN=x 6+ 2，
ME=MN+NE=12 3x 6+ 2+x 6+ 2=12 3x+x 6+ 2，
∵DM=2m+ 3m=(2+ 3)×8−12 3x 2( 3+1)=(2+ 3)(8−12 3x) 6+ 2，
∴DE2=DM2+ME2，
=(2+ 3)2(8−12 3x)2( 6+ 2)2+(12 3x+x)2( 6+ 2)2
=(2+ 3)2(8−12 3x)2( 6+ 2)2+14x2(2+ 3)2( 6+ 2)2
=(2+ 3)2( 6+ 2)2(x2−8 3x+64)
=2+ 34(x2−8 3x+64)
∵x2−8 3x+64=x2−8 3x+(4 3)2−(4 3)2=(x−4 3)2+16，
∴原式=2+ 34(x−4 3)2+8+4 3，
即正方形DEGF的面积=2+ 34(x−4 3)2+8+4 3，
故当x=4 3时，
正方形DEGF的面积有最小值=8+4 3，
故选：D.
过D作DM⊥BC，过A作AN⊥BC，∠DBR=15∘，交DM于R.设AP=x，则PC=8−x，利用30得DP=12x，AD=12 3x，故BD=8−12 3x，利用两个15∘得∠BRM=30∘，设BM=m，再利用勾股定理计算出m=8−12 3x 2( 3+1)，接着利用平行成比例得ADBD=BMMN，得MN=12 3x 6+ 2，同理：EN=x 6+ 2，再利用勾股定理得DE2=DM2+ME2=2+ 34(x2−8 3x+64)，再利用配发求最值即可．
本题考查了含30∘的三角形的知识，做出高，利用30∘的性质是解题关键．
11.【答案】7
【解析】解：5−3−8
=5−(−2)
=5+2
=7，
故答案为：7.
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】2.03×109
【解析】解：20.3亿=2.03×101×108=2.03×109.
故答案为：2.03×109.
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
13.【答案】132
【解析】解：∵AB=7，AD=6，BD=2，BC−BD=CD，
∴2=72−62CD，
∴CD=132，
故答案为：132.
因为BC−BD=CD，所以根据BD=AB2−AD2BC−BD代入已知计算即可．
本题考查了数学常识，解题的关键是灵活运用已知的结论并进行正确的运算．
14.【答案】8−9
【解析】解：(1)∵经过坐标原点O的直线与反比例函数y=16x的图象交于A，B两点，
∴点AB关于原点成中心对称图形，
∴OA=OB，
∴S△BOD=S△AOD，
∵k=16，
∴2S△BOD=16，
∴S△BOD=8，
故答案为：8.
(2)连接CO，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∵ACAB=58，
∴ACAO=54，
∴AOCO=43，
∴812丨k丨=169，
∴丨k丨=9，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=−9.
故答案为：−9.
(1)根据反比例函数k值的几何意义以及中心对称图形图形的性质即可求得三角形面积；
(2)连接OC，三线合一可知三角形AOC是直角三角形，利用比例关系的平方等于面积之比，可求得k值．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握比例关系的转化是解答本题的关键．
15.【答案】解：原式=xx+1−(x+1)(x−1)(x+1)2
=xx+1−x−1x+1
=x−x+1x+1
=1x+1，
当x= 3−1时，原式=1 3−1+1= 33.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x= 3−1代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
16.【答案】解：设第一季度的利润为a，
则第二季度的利润为(1−20%)a，
第三季度的利润为(1−20%)(1+10%)a=88%a，
第四季度的利润为2.2a，
[2.2a−a(1−20%)(1+10%)]÷a(1−20%)(1+10%)=150%，
答：第四季度的利润相比第三季度增长的百分数为150%.
【解析】设第一季度的利润为a，根据题意列出算式，即可得到结论．
本题考查了百分数的应用，正确地理解题意列出算式是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，线段A′D′即为所求．
(2)如图，线段B′C′即为所求．
(3)如图，四边形A′D′B′M即为所求．

【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可．
(3)由图可知，A′D′=B′D′，取格点M，使A′M=B′M，则四边形A′D′B′M为菱形，结合轴对称图形和中心对称图形的性质可知，四边形A′D′B′M即为所求．
本题考查作图-平移变换、旋转变换、轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、轴对称图形和中心对称图形的性质是解答本题的关键．
18.【答案】184n−2
【解析】解：(1)第5个图案中正三角形的个数为18，
故答案为：18；
(2)∵第1个图案中正三角形的个数为2；第2个图案中正三角形的个数为6；第3个图案中正三角形的个数为10；第4个图案中正三角形的个数为14；…
∴第n个图案中正三角形的个数为2+4(n−1)=4n−2，
故答案为：4n−2；
(3)∵第1个图案的周长为6cm；第2个图案的周长为8cm；第3个图案的周长为10cm；第4个图案的周长为12cm；…
∴第n个图案的周长为(2n+4)cm，
∴当一个图案的周长为2024cm时，即2n+4=2024，
解得n=1010，
∴这个图案中有4×2024−2=8494个正三角形，1010个正方形．
根据图形的变化发现第n个图案中有(3n+1)个正三角形和n个正方形，共(4n+1)个，进而可得n的值．
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
19.【答案】解：过点A作AG⊥BP，垂足为G，延长PE交CD于点F，
由题意得：PF⊥CD，DF=AG，
在Rt△AGP中，∠APG=18.7∘，AP=400米，
∴AG=AP⋅sin18.7∘≈400×0.32=128(米)，
∴AG=DF=128米，
设QF=x米，
∵PQ=140米，
∴PF=PQ+QF=(x+140)米，
在Rt△CPF中，∠CPF=53.1∘，
∴CF=PF⋅tan53.1∘≈1.33(x+140)米，
在Rt△CQF中，∠CQF=63.4∘，
∴CF=QF⋅tan63.4∘≈2x(米)，
∴1.33(x+140)=2x，
解得：x≈277.9，
∴CF=2x=555.8(米)，
∴CD=CF+DF=555.8+128≈684(米)，
∴山高CD约为684米．
【解析】过点A作AG⊥BP，垂足为G，延长PE交CD于点F，根据题意可得：PF⊥CD，DF=AG，然后在Rt△AGP中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，再设QF=x米，则PF=(x+140)米，最后分别在Rt△CPF和Rt△CQF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】(1)解：∵BD=BF，
∴∠DCB=∠A.
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90∘，
∴∠A+∠AGD=90∘.
∵∠CGF=∠AGD，
∴∠DCB+∠CGH=90∘，
∴∠CHG=90∘，
∴∠AHB=∠CEB=90∘.
在△AHB和△CEB中，
∠AHB=∠CEB=90∘∠B=∠BAB=CB，
∴△AHB≌△CEB(AAS)，
∴BH=BE=4；
(2)证明：连接CF，BF，如图，
∵BD=BF，
∴∠A=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABH∽△CBE，
∴AHAB=CECB.
∵∠AHB=∠CHF，∠A=∠FCB，
∴△AHB∽△CHF，
∴AHAB=CHCF，
∴CECB=CHCF.
∵BD=BF，
∴∠ECB=∠FCB，
∴△CEH∽△CBF，
∴∠CEH=∠CBF.
∵∠CBF=∠D，
∴∠CEH=∠D，
∴DF//EH.
【解析】(1)利用圆周角定理，垂直的定义，三角形的内角和定理∠AHB=∠CEB=90∘，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；
(2)连接CF，BF，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到CECB=CHCF，再利用相似三角形的判定与性质得到∠CEH=∠CBF，利用圆周角定理和等量代换的性质得到∠CEH=∠D，最后利用同位角相等两直线平行的性质解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
21.【答案】50208684.5
【解析】解：(1)抽取的样本人数为8÷16%=50(人)，m%=1050=20%，
故答案为：50，20；
(2)D组成绩的众数是86分，抽取的样本成绩的中位数是84+852=84.5(分)，
故答案为：86，84.5；
(3)1200×50−4−8−1050=672(人)，
答：全厂青年工人操作技能为优秀的人数为672人．
(1)根据B组的数据，用人数除以百分数得出结论即可得样本容量，用样本容量除以C组的人数即可得到结论；
(2)根据众数和中位数的定义即可得到结论；
(3)用样本估计总体即可得出结论．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】(1)证明：∵AD=BC，BD=AC，AB=BA，
∴△ABD≌△BAC(SSS)，
∴∠ABD=∠CAB，
同理可得：△ADC≌△BCD(SSS)，
∴∠ACD=∠BDC，
∵∠COD=∠AOB，
∴∠ABD=∠BAC=∠ACD=∠BDC，
∴AB//CD；
(2)①如图1，
作BE//AC，并截取BE=AC，连接AE，DE，连接CE，设AC，DE交于点F，
∴∠DBE=180∘−∠AOB=180∘−120∘=60∘，四边形AEBC是平行四边形，
∴AE=BC，
∵AC=BD，
∴BD=BE，
∴△BED是等边三角形，
∴DE=BE，∠BDE=∠DEB=60∘，
∴∠DFO=∠BED=60∘，
∵CD=BC，
∴AE=CD，
由(1)得，
∠DAF=∠ADF，
∵∠DFO=∠DAF+∠ADF，
∴60∘=∠DAF+∠DAF=∠ADF+∠ADF，
∴∠DAF=∠ADF=30∘，
∴∠ADO=∠BDE+∠ADF=60∘+30∘=90∘，
∴OA=2OD；
②如图2，
取AB的中点X，连接MX，NX，设MX交AC于G，NX交BD于H，
∵M，N分别是AD和BC的中点，
∴MX=12BD，NX=12AC，MX//BD，NX//AC，
∴∠OGX=180∘−∠AOB=60∘，∠OHX=180∘−∠AOB=60∘，
∴∠MXN=360∘−∠OGX−∠OHX−∠AOB=120∘，
∵AC=BD，
∴MX=NX，
∴MN= 3NX，
∴MN= 32AC，
∴MNAC= 32.
【解析】(1)可证明△ABD≌△BAC，△ADC≌△BCD，进而得出∠ABD=∠BAC=∠ACD=∠BDC，进而得出结论；
(2)①BE//AC，并截取BE=AC，连接AE，DE，连接CE，设AC，DE交于点F，可证得△BED是等边三角形，从而DE=BE，∠BDE=∠DEB=60∘，进而得出∠DFO=∠BED=60∘，由(1)结论得出∠DAF=∠ADF，进而求得∠DAF=∠ADF=30∘，进一步得出结论；
②取AB的中点X，连接MX，NX，设MX交AC于G，NX交BD于H，根据三角形中位线性质得出MX=12BD，NX=12AC，MX//BD，NX//AC，从而得出∠OGX=180∘−∠AOB=60∘，∠OHX=180∘−∠AOB=60∘，从而得出∠MXN=360∘−∠OGX−∠OHX−∠AOB=120∘，可得出MX=NX，进一步得出结果．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等边三角形．
23.【答案】解：(1)设一次函数的表达式为y=kx+b，
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
94=−3k+b14=k+b，解得：k=−12b=34，
则一次函数的表达式为：y=−12x+34；
二次函数表达式为：y=ax2，
将点B的坐标代入上式得：14=a，
则二次函数表达式为：y=14x2；
(2)设点N(x,−12x+34)，则点M(x,14x2)，
则MN=(−12x+34)−(14x2)=−14(x+1)2+1≤1，
线段MN的最大值为1；
(3)设点P(m,14m2)，点Q(x,−12x+34)(−3≤x≤1)；
当CO是对角线时，
由中点坐标公式得：
0=m+x34=14m2−12x+34，解得：x=−m=0或2(均舍去)；
当CQ或CP为对角线时，
同理可得：
m=x−12x+34+34=14m2或x=m14m2+34=−12x+34，
解得：x=m=−2或1− 7或1+ 7(舍去)，
综上，点Q的横坐标x=−2或1− 7.
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由MN=(−12x+34)−(14x2)=−14(x+1)2+1≤1，即可求解；
(3)当CO为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当CQ或CP为对角线时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法和最值的确定，分类求解是解题的关键．