2024年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示，水平放置的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就.空间站离地球的距离约为400000米，数据400000用科学记数法可表示为( )
A. 0.4×104B. 0.4×105C. 4×104D. 4×105
3.如图，现将一块含有60∘角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠2=50∘，那么∠1的度数为( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 70∘
D. 80∘
4.2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. (a3)2=a6
C. (a−b)2=a2−b2D. x6÷x3=x2
6.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A. ab>0B. a+b>0C. a+37.点A(a,−3)，B(b,−2)，C(c,1)在反比例函数y=k2+1x的图象上，则a，b，c的大小关系是( )
A. c8.小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为( )
A. 13B. 23C. 19D. 29
9.如图，在▱ABCD中，BC=2AB=8，连接BD，分别以点B，D为圆心，大于12BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为( )
A. 4 3
B. 6
C. 7
D. 4 5
10.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+6x−254(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x−5(a≠0)的最小值为−5，最大值为4，则m的取值范围是( )
A. 1≤m≤3B. 3≤m≤5C. 3≤m≤6D. m≥3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：x2−9y2=______.
12.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，小文购买了“二十四节气”主题邮票中的4张：“立春”“立夏”“秋分”“大寒”.他想把“立夏”送给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张，小乐抽到一张邮票恰好是“立夏”的概率是______.
13.若关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有实数根，则m的取值范围是______.
14.如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2 3，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D，则阴影部分面积为______.
15.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系式；折线B−C−D−表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系，则货车出发______小时与轿车相遇．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E、F分别为AD、CD边上的点，且EF的长为2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为______.
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(2024−π)0+(−12)−1+3tan30∘+|1− 3|.
18.(本小题6分)
解不等式组1−x<2(2x+3)5+x3≥x+13，并写出满足条件的正整数解.
19.(本小题6分)
如图，矩形ABCD中，E、F是BC上的点，∠DAE=∠ADF.求证：BF=CE.
20.(本小题8分)
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35∘，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋橡E点的仰角为63.4∘房屋的顶层横梁EF=12m，EF//CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上).(参考数据：sin35∘≈0.6，cs35∘≈0.8，tan35∘≈0.7，sin63.4∘≈0.89，cs63.4∘≈0.45，tan63.4∘≈2.00)
(1)求屋顶到横梁的距离AG；
(2)求房屋的高AB(结果精确到1m).
21.(本小题8分)
为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试，老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩(满分100)作为样本进行整理和分析(成绩共分成五组：A.50≤x<60，B.60≤x<70，C.70≤x<80，D.80≤x<90，E.90≤x≤100)，并绘制了不完整的统计图表.收集、整理数据：20名男生的体能测试成绩分别为：50，57，65，76，77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99；女生体能测试成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，78，84，88，89.
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)填空：a=______，b=______；
(3)女生体能测试扇形统计图中，表示90≤x≤100这组数据的扇形圆心角的度数是______；
(4)如果我校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数.
22.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC，作OD垂直于AB交AC于
点E，交过点C的切线于点D.
(1)求证：DE=DC；
(2)若OA=4,tan∠BAC=12，求CD的长.
23.(本小题10分)
某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子，每件文化衫的批发价和零售价如下表所示：
(1)若学校恰好用完预计的进货款1240元，则应购进黑白两种文化衫各多少件？
(2)若学校规定黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍，应怎样进货才能使学校在销售完这两种文化衫时获得的利润最多？利润最多为多少元？
24.(本小题10分)
如图，点A，B是反比例函数y=kx(x>0)的图象上的点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，OD=DC，连接AO，BO，AB，线段AO交BO于点E，OA= 5，tan∠AOC=12.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△ABE的面积；
(3)若将AB所在的直线向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象y=kx(x>0)有且只有一个公共点，求m的值.
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)和B(3,0)，点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度；
(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP=45∘，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题12分)
(1)问题呈现：
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.易知BDCE=______.
(2)类比探究
如图2，△ABC和△ADE都是Rt△，∠ABC=∠ADE=90∘，且ABBC=ADDE=34.连接BD，CE，求BDCE的值；
(3)拓展提升：
如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，将△ABC绕点A逆时针旋转60∘得到△ADE，连接BD，EC，延长EC交BD于点F，设AB=6，求EF的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：左视图可得一个正方形，正方形中间有一条横向的虚线．
故选：D.
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意中间看不到的线用虚线表示．
2.【答案】D
【解析】解：400000=4×105.
故选：D.
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵直尺的对边平行，
∴∠3=∠2=50∘，
∵∠4=60∘，
∴∠1=180∘−60∘−50∘=70∘.
故选：C.
由平行线的性质推出∠3=∠2=50∘，由平角定义得到∠1=180∘−60∘−50∘=70∘.
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3=∠2=50∘.
4.【答案】C
【解析】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：C.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=a6，符合题意；
C、原式=a2−2ab+b2，不符合题意；
D、原式=x3，不符合题意．
故选：B.
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：从图中得出：a=2，−3A.a和b相乘是负数，所以ab<0，故A选项错误；
B.a和b相加是负数，所以a+b<0，故B选项错误；
C.因为a>b，所以a+3>b+3，故C选项错误；
D.因为a是正数，所以−3a<0，又因为b是负数，所以−3b>0，即−3a<−3b，故选项D正确，
故答案为：D.
从图中判断a和b的值，再根据有理数的运算来计算．
主要考查了实数在数轴上的判断以及有理数的运算．
7.【答案】D
【解析】解：∵(k2+1)>0，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵点A(a,−3)，B(b,−2)，C(c,1)在反比例函数图象上，
∴点A(a,−3)，B(b,−2)在第三象限，点C(c,1)在第一象限，
∴0>a>b，c>0，
∴c>a>b.
故选：D.
根据反比例函数的性质解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
∴小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为19，
故选：C.
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接DH，
根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线，
∴DH=BH，
∵点H为BC的中点，
∴BH=CH，BC=2CH，
∴DH=CH，
在▱ABCD中，AB=DC，
∵AD=BC=2AB=8，
∴DH=CH=CD=4，
∴△DHC是等边三角形，
∴∠C=∠CDH=∠DHC=60∘，
在▱ABCD中，∠BAD=∠C=60∘，AD//BC，
∴∠DAH=∠BHA，
∵AB=BH，
∴∠BAH=∠BHA，
∴∠BAH=∠DAH=30∘，
∴∠AHD=90∘，
∴AH= AD2−DH2= 82−42=4 3.
故选：A.
连接DH，根据作图过程可得EF是线段BD的垂直平分线，证明△DHC是等边三角形，然后证明∠AHD=90∘，根据勾股定理可得AH的长．
本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
10.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=ax2+6x−254(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，
设完美点的坐标为(n,n)，
∴方程n=an2+6n−254即an2+5n−254=0有两个相等的实数根，
∴△=52−4a×(−254)=0，
∴a=−1，
∴二次函数y=ax2+6x−5的解析式为：y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4，
∴当x=3时，函数有最大值为4，
又∵当0≤x≤m时，函数最小值为−5，
令−x2+6x−5=−5，
则x=0或6，
∴要使函数最小值为−5，最大值为4，
则3≤m≤6，
故选：C.
根据二次函数y=ax2+6x−254(a≠0)的图象上有且只有一个完美点可求出a的值，再根据函数的解析式可求m的取值范围．
本题主要考查二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键．
11.【答案】(x−3y)(x+3y)
【解析】解：原式=(x−3y)(x+3y).
故答案为：(x−3y)(x+3y).
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
12.【答案】14
【解析】解：让小乐从中随机抽取一张，小乐抽到一张邮票恰好是“立夏”的概率是14.
故答案为：14.
根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
13.【答案】m≤9
【解析】解：根据题意得Δ=62−4m≥0，
解得m≤9，
即m的取值范围为m≤9.
故答案为：m≤9.
利用根的判别式的意义得到Δ=62−4m≥0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
14.【答案】3π−4 3
【解析】解：连接OD，则OD=OA=2 3，
由折叠得DA=OA，△OAC≌△DAC，∴OD=OA=DA，
∴∠OAD=60∘，
∴∠OAC=∠DAC=30∘，
∵∠AOB=90∘，
∴OCOA=tan30∘= 33，
∴OC= 33OA= 33×2 3=2，
∴S△OAC=S△DAC=12×2×2 3=2 3，
∵S扇形AOB=90π×(2 3)2360=3π，
∴S阴影=S扇形AOB−S△OAC−S△DAC=3π−2 3−2 3=3π−4 3，
故答案为：3π−4 3.
连接OD，则OD=OA，由折叠得DA=OA，则△OAD是等边三角形，可求得∠OAD=60∘，则∠OAC=∠DAC=30∘，所以OC= 33OA=2，即可由S阴影=S扇形AOB−S△OAC−S△DAC求出阴影部分的面积．
此题重点考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、扇形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15.【答案】3.9
【解析】解：设OA段对应的函数解析式为y=kx，
将(5,300)代入，得：5k=300，
解得k=60，
即OA段对应的函数解析式为y=60x，
设CD段对应的函数解析式为y=ax+b，
2.5a+b=804.5a+b=300，
解得a=110b=−195，
即CD段对应的函数解析式为y=110x−195，
令110x−195=60x，得x=3.9，
即货车出发3.9小时与轿车相遇，
故答案为：3.9.
根据函数图象中的数据，可以分别求得OA段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】4 2−1
【解析】解：∵EF=2，点G为EF的中点，
∴DG=1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，PA′，
∵PA′+PG+DG≥A′D，
∴当D，G，P，A′共线时，PA+PG=PA′+PG的值最小，
∵AB=2，AD=4，
∴AA′=4，
∴A′D=4 2，
∴PA+PG≥A′D−DG=4 2−1；
∴PA+PG的最小值为4 2−1；
故答案为：4 2−1.
因为EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=1，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，PA′，由PA′+PG+DG≥A′D，推出当D，G，P，A′共线时，PA+PG=PA′+PG的值最小，根据勾股定理求得A′D=5，从而得出PA+PG的最小值．
本题考查了轴对称-最短路线问题，判断出G点的位置是解题的关键．
17.【答案】解：(2024−π)0+(−12)−1+3tan30∘+|1− 3|
=1−2+3× 33+( 3−1)
=1−2+ 3+ 3−1
=2 3−2.
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：解不等式1−x<2(x+3)，得：x>−1，
解不等式5+x3≥x+13，得：x≤2，
∴不等式组的解集为−1则不等式组的正整数解为1，2.
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=∠C=90∘，AB=CD，
∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD，
又∵∠DAE=∠ADF，
∴∠BEA=∠CFD，
在△BEA和△CFD中，
∠BEA=∠CFD∠B=∠CAB=DC，
∴△BEA≌△CFD(AAS)，
∴BE=CF，
∴BF=CE.
【解析】由矩形的性质和∠DAE=∠ADF，得出∠BEA=∠CFD，再证明△ABE≌△DCF，得出对应边相等即可．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF//BC，
∴AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG=∠ACB=35∘，
在Rt△AGE中，∠AGE=90∘，∠AEG=35∘，
∵tan∠AEG=tan35∘=AGEG，EG=6，
∴AG=6×0.7=4.2(米)；
答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；
(2)过E作EH⊥CB于H，
设EH=x，
在Rt△EDH中，∠EHD=90∘，∠EDH=60∘，
∵tan∠EDH=EHDH，
∴DH=xtan60∘，
在Rt△ECH中，∠EHC=90∘，∠ECH=35∘，
∵tan∠ECH=EHCH，
∴CH=xtan35∘，
∵CH−DH=CD=6米，
∴xtan35∘−xtan60∘=6，
解得：x≈9.52(米)，
∴AB=AG+BG=9.52+4.2=13.72≈14(米)，
答：房屋的高AB约为14米．
【解析】(1)根据题意得到AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG=∠ACB=35∘，解直角三角形即可得到结论；
(2)过E作EH⊥CB于H，设EH=x，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21.【答案】(1)20名男生的体能测试成绩80≤x<90分的人数为20−(1+2+4+6)=7(人)，
补全直方图如下：
(2)81， 88 ；
(3)126∘；
(4)∵样本中女生A、B组人数为20×(10%+10%)=4(名)，C组人数为6人，
∴女生体能测试成绩不低于80分的学生人数为10人，
∴480×7+620+460×1020=312+230=542(名).
答：估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为542人．
【解析】解：(1)见答案；
(2)男生成绩的众数b=88，女生成绩的中位数a=78+842=81，
故答案为：81，88；
(3)表示90≤x≤100这组数据的扇形圆心角的度数是360∘×(1−920−10%−10%)=126∘，
故答案为：126∘；
(4)见答案．
(1)根据频数分布直方图及各组人数之和等于被调查总人数即可补全图形；
(2)根据众数和中位数的概念求解即可；
(3)用360∘乘以90≤x≤100的百分比即可；
(4)先求出女生体能测试成绩不低于80分的学生人数，再用总人数乘以样本中体能测试成绩不低于80分的学生人数所占比例即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵DC切圆于C，
∴∠OCD=90∘，
∴∠DCE+∠OCA=90∘，
∵DO⊥AB，
∴∠A+∠AEO=90∘，
∵∠DEC=∠AEO，
∴∠A+∠DEC=90∘，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC；
(2)解：∵∠AOE=90∘，OA=4，
∴tan∠BAC=OEOA=12，
∴OE=2，
∵∠OCD=90∘，
∴OD2=DC2+OC2，
∵OC=OA=4，DE=DC，
∴(2+DC)2=DC2+42，
∴DC=3.
【解析】本题考查切线的性质，余角的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由勾股定理列出关于DC的方程．
(1)连接OC，由切线的性质得到∠DCE+∠OCA=90∘，由直角三角形的性质，对顶角的性质，得到∠A+∠DEC=90∘，由等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA，由余角的性质推出∠DEC=∠DCE，即可得到DE=DC；
(2)由锐角的正切定义求出OE的长，由勾股定理得到(2+DC)2=DC2+42，即可求出DC的长．
23.【答案】解：(1)设学校购进黑文化衫x件，白文化衫(140−x)件，
依题意，得：10x+8(140−x)=1240，
解得：x=60(件)
140−x=140−60=80(件)，
答：学校购进黑文化衫60件，白文化衫80件．
(2)设学校购进黑文化衫a件，白文化衫(140−a)件，获得利润y元．
由题意得：a≤3(140−a)，
解得：a≤105，
则y=a(25−10)+(140−a)(20−8)=3a+1680，
∵y是关于a的一次函数，3>0，
∴y随a的增大而增大，
当a取最大值105时，y有最大值，
此时，140−a=140−105=35(件)，
即购买黑文化衫105件，白文化衫35件获得利润最大，
ymax=3×105+1680=1995(元).
答：购买黑文化衫105件，白文化衫35件获得利润最大；利润最多为1995元．
【解析】(1)设学校购进黑色文化衫x件，白色文化衫(140−x)件，根据该校购进黑、白两种颜色的文化衫140件且共花费1240元，即可得出关于x的元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设学校购进黑色文化衫a件，白色文化衫(140−a)件，由黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍，求出a≤105，再根据利润=售价-进价，得出利润y关于a的一次函数，由函数的增减性求出利润的最大值．
本题考查了一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一次函数关系式是解题的关键．
24.【答案】解：(1)在Rt△AOC中，
∵tan∠AC=ACOC=12，
∴可设AC=k，OC=2k，
∴k2+(2k)2=( 5)2，
∴k=1，
∴A(2,1)，
∴1=k2，
∴k=2，
∴y=2x；
(2)∵OC=CD，OC=2，
∴OD=1，
∴y=2x=21=2，
即：B(1,2)，
∵AC⊥OC，BD⊥OC，
∴BD//AC，
∴△ODE∽△OCA，
∴DEAC=ODOC=12，
∴DE=12AC=12，
∴BE=BD−DE=2−12=32，
∴S△ABE=12BE⋅DC
=12×32×1
=34；
(3)设AB的解析式是：y=mx+n，
∴m+n=22m+n=1，
∴m=−1n=3，
∴y=−x+3，
∴平移后的函数解析式是：y=−x+(3−m)，
由−x+(3−m)=2x得，
x2−(3−m)x+2=0，
∵Δ=(3−m)2−4×1×2=0
∴m1=3−2 2，m2=3+2 2(舍去)，
∴m=3−2 2.
【解析】(1)先求求出AC，OC长，确定A点的坐标，代入反比例函数解析式即可；
(2)求出DE的长，确定BE的长，根据三角形面积公式求得；
(3)求出AB的函数解析式，再确定平移后的函数解析式，和反比例函数联立，转化为一元二次方程，根据Δ=0求得．
本题考查了反比例函数、一次函数图象和性质，相似三角形性质以及一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练掌握基础知识．本题属于基础题．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)和B(3,0)，
∴−1+b+c=0−9+3b+c=0，
解得：b=4c=−3.
∴抛物线的解析式为y=−x2+4x−3.
(2)令x=0，则y=−3，
∴C(0,−3).
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∴3k+n=0n=−3，
解得：k=1n=−3.
∴直线BC的解析式为y=x−3.
∵点D为线段BC上一点，
∴设D(m,m−3)，则点E(m,−m2+4m−3)，
∴DE=(−m2+4m−3)−(m−3)=−m2+3m.
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴OB=OC=3.
∴∠OBC=∠OCB=45∘.
∵DE//y轴，
∴∠EDB=∠OCB=45∘，
∴点D不可能是直角的顶点．
①当点B为直角的顶点时，设DE交x轴于点F，
∵∠BDE=45∘，∠EBD=90∘，
∴∠DEB=45∘.
∴△BED为等腰直角三角形．
∴EF=FD=12DE.
∵DF=3−m.
∴3−m=12(−m2+3m).
解得：m=2或3(m=3不合题意，舍去).
∴m=2.
∴DE=−22+3×2=−4+6=2.
②当点E为直角顶点时，此时边EB在x轴上，点E与点A重合，
∴m=1.
∴DE=−12+3×1=−1+3=2.
综上，当△BDE为直角三角形时，线段DE的长度为2.
(3)在抛物线上存在点P，使得∠ACP=45∘，理由：
∵A(1,0)，
∴OA=1.
∴ABOB−OA=2.
∴AC= OA2+OC2= 10.
延长CP交x轴于点F，如图，
由(2)知：∠OBC=∠OCB=45∘，
∴∠AFC+∠FCB=45∘.
∵∠ACP=45∘，
∴∠ACB+∠FCB=∠ACP=45∘.
∴∠AFC=∠ACB.
∵∠FAC=∠CAB，
∴△AFC∽△ACB.
∴AFAC=ACAB.
∴AF 10= 102.
∴AF=5.
∴OF=OA+AF=6，
∴F(6,0).
设直线CF的解析式为y=dx+e，
∴6d+e=0e=−3，
解得：d=12e=−3.
∴直线FC的解析式为y=12x−3.
∴y=12x−3y=−x2+4x−3，
解得：x1=0y1=−3，x2=72y2=−54.
∴点P的坐标为(72,−54).
【解析】(1)利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
(2)利用分类讨论的方法分两种情况①点B为直角顶点，②点E为直角顶点讨论解答，设D(m,m−3)，则点E(m,−m2+4m−3)，用m的代数式表示出DE的长度，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论；
(3)在抛物线上存在点P，使得∠ACP=45∘，延长CP交x轴于点F，利用△AFC∽△ACB求得线段AF的长，利用待定系数法求得直线CP的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求得结论．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
26.【答案】1
【解析】解：(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60∘，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，
∴BDCE=1，
故答案为：1；
(2)∵ABBC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90∘，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=35；
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35；
(3)如图，过点D作DH//BC，交EF的延长线于H，过点D作DN⊥EF于N，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，AB=6，
∴AC=BC=3 2，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60∘得到△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60∘，BC=DE，∠ACB=∠AED=90∘，
∴△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=BD=6，∠ACE=∠AEC=60∘，
∴∠BCF=∠DEF=30∘，
∵DH//BC，
∴∠BCF=∠H=30∘=∠DEF，
∴DH=DE=BC=3 2，
又∵∠BCF=∠DEF，∠BFC=∠DFH，
∴△BCF≌△DHF(AAS)，
∴BF=DF=12BD=3，
∵DN⊥EF，∠DEF=30∘，
∴DN=12DE=3 22，NE= 3DN=3 62，
∵FN= FD2−ND2= 9−184=3 22，
∴EF=FN+EN=3 62+3 22=3 6+3 22.
(1)证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
(2)先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
(3)由“AAS”可证△BCF≌△DHF，可得BF=DF=12BD=3，由直角三角形的性质可求解．
本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．测试成绩
平均数
中位数
众数
男生
83.6
88
b
女生
81.8
a
74
批发价(元)
零售价(元)
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20