2024年浙江省杭州市拱墅区文澜中学中考数学一模试卷（含详细答案解析）

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这是一份2024年浙江省杭州市拱墅区文澜中学中考数学一模试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数 3，0，−13，1.5中无理数是( )
A. 3B. 0C. −13D. 1.5
2.若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−2−12nD. n−m>0
3.点A(2,1)在反比例函数y=kx的图象上，当1A. 124.一个多边形的内角和是540∘，这个多边形是( )
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
5.如图，在菱形ABCD中，∠C=80∘，则∠ABD的度数为( )
A. 80∘
B. 70∘
C. 60∘
D. 50∘
6.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是( )
A. 8x−3=y7x−4=yB. 8x+3=y7x+4=yC. 8x−3=y7x+4=yD. 8x+3=y7x−4=y
7.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，中线AD⊥中线CE，且相交于F，已知AC=4，则AB的长为( )
A. 2 3
B. 4 3
C. 83 3
D. 83
8.若mA. x3C. x19.如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF=EC，连接AE，AF，若∠ECF=α，∠AFB=β，则( )
A. β−α=15∘
B. α+β=135∘
C. 2β−α=90∘
D. 2α+β=180∘
10.关于二次函数y=ax2−4ax−5(a>0)的三个结论：
①对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等；
②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则1≤a<43；
③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a≥2.
其中正确的结论是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.因式分解：4x2−y2=______.
12.从数−2，−1，3中任取两个，其和为2的概率是______.
13.已知x1、x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x12+x22=______.
14.如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角(∠O)为60∘，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值是______.
15.如图，一次函数y=x+2的图象与双曲线y=kx在第一象限交于点A(2,a)，在第三象限交于点B.点P为y轴上的一点，连接PA、PB，若S△PAB=9，则点P的坐标为______.
16.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD，对角线AC、BD相交于点E，GH是直径，GH⊥AC于点F，AF=AB.若AE=3，则BC⋅CD的值是______.
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)解不等式组：{2x−1⩽x+1①1−2x<3②；
(2)解方程：1x−1=32x−2+1.
18.(本小题8分)
为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
(1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图.
(2)本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间.
19.(本小题8分)
设一次函数y=ax+3a+1(a是常数，a≠0).
(1)无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：
(2)若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值；
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,1)，B(−3,1)，C(−1,4).
(1)△ABC的外接圆的半径为______.
(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90∘后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1；
(3)在(2)的条件下，求出线段AC扫过的区域图形的周长.
21.(本小题8分)
四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，CE.
(1)如图1，若∠A=∠B=∠DEC=50∘，证明：△ADE∽△BEC.
(2)如图2，若四边形ABCD为矩形，AB=5，BC=2，且△ADE与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长.
22.(本小题8分)
某课桌生产厂家研究发现，倾斜12∘∼24∘的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC=30cm.
(1)如图2，当∠BAC=24∘时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；
(2)如图3，当∠BAC=12∘时，求AD的长．(结果保留根号)
(参考数据：sin24∘≈0.40，cs24∘≈0.91，tan24∘≈0.46，sin12∘≈0.20)
23.(本小题8分)
【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=4m，宽AB=1m的长方形水池ABCD进行加长改造(如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1).同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH(如图②，以下简称水池2).
【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x(m)(x>0)，加长后水池1的总面积为y1(m2)，则y1关于x的函数解析式为：y1=x+4(x>0)；设水池2的边EF的长为x(m)(0【问题解决】
(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是______(可省略单位)，水池2面积的最大值是______m2；
(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是______，此时的x(m)值是______；
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，x(m)的取值范围是______；
(4)在1(5)假设水池ABCD的边AD的长度为b(m)，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积y3(m2)关于x(m)(x>0)的函数解析式为：y3=x+b(x>0).若水池3与水池2的面积相等时，x(m)有唯一值，求b的值．
24.(本小题8分)
如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD=BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A.
(1)若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；
(2)在(1)的条件下，当∠CBD=45∘，DF=a时，求线段BD的长度；(答案用含a的代数式表示)
(3)若AB=3AE，且CD=12，求△BCD的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 3是无限不循环小数，它是无理数，
故选：A.
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.由m>n，得m−2>n−2，那么A错误，故A不符合题意．
B.由m>n，得−2m<−2n，推断出1−2m<1−2n，那么B正确，故B符合题意．
C.由m>n，得−12m<−12n，那么C错误，故C不符合题意．
D.由m>n，得n−m<0，那么D错误，故D不符合题意．
故选：B.
根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵y=kx(k>0)，
∴当x>0时，y随x增大而减小，
将A(2,1)代入y=kx，得：k=2，
∴y=2x，
将x=4代入y=2x，得：y=12，
将x=1代入y=2x，得：y=2，
∴112故选：A.
将(2,1)代入反比例函数解析式求出k，再将x=4，x=2代入解析式求解．
本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数与方程及不等式的关系．
4.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180∘=540∘，
解得n=5，
∴这个多边形是五边形，
故选：A.
根据多边形的内角和公式求出边数即可．
本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵菱形ABCD，
∴AB//CD，∠ABD=∠CBD，
∴∠C+∠ABD+∠CBD=180∘，
∵∠C=80∘，
∴∠ABD=180∘−80∘2=50∘，
故选：D.
根据菱形的性质，平行线的性质计算判断即可．
本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：依题意得：8x−3=y7x+4=y.
故选：C.
根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AD、CE是△ABC的中线，
∴F是△ABC的重心，
∴EF：CF=1：2，
令EF=x，则CF=2x，
∴CE=EF+CF=3x，
∵∠ACB=90∘，
∴CE=12AB，
∵E是AB的中点，
∴AE=CE=3x，
∴AF2=AE2−EF2=8x2，
∵AC2=CF2+AF2，
∴(2x)2+8x2=42，
∴x=2 33，
∴AB=2CE=6x=4 3.
故选：B.
由三角形重心的性质推出EF：CF=1：2，令EF=x，则CF=2x，由直角三角形斜边中线的性质得到AE=CE=3x，由勾股定理得到(2x)2+8x2=42，求出x=2 33，即可得到AB=2CE=6x=4 3.
本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的重心，勾股定理，关键是由三角形重心的性质得到EF：CF=1：2，由勾股定理得到(2x)2+8x2=42.
8.【答案】B
【解析】解：∵关于x的方程ax2−2ax+3−m=0(a<0)的解为x1，x2(x1∴抛物线y=ax2−2ax+3与直线y=m的两交点的横坐标分别为x1，x2(x1∵关于x的方程ax2−2ax+3−n=0(a<0)的解为x3，x4(x3∴抛物线y=ax2−2ax+3与直线y=n的两交点的横坐标分别为x3，x4(x3∴x1故选：B.
关于x的方程ax2−2ax+3−m=0(a<0)的解为x1，x2(x1本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBE=45∘，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，∠BCE=∠BAE=α，
∵EF=CE，
∴∠EFC=∠ECF=α，
∵∠AFB=β，
∴∠AFE=180∘−α−β，
∵∠ABF=90∘，
∴∠BAF=90∘−β，
∵AE=CE，EF=CE，
∴AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE，
∴α−(90∘−β)=180∘−α−β，
∴α+β=135∘，
故选：B.
根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABE=∠CBE=45∘，根据全等三角形的性质得到AE=CE，∠BCE=∠BAE=α，根据等腰三角形的性质得到∠EFC=∠ECF=α，求得∠AFE=180∘−α−β，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：抛物线的对称轴为：x=−−4a2a=2，
∵x1+x22=2+m+2−m2=2.
∴2+m与2−m关于对称轴对称．
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等．
∴①正确．
当a>0时，若3≤x≤4，则y随x的增大而增大，
当x=3时，y=9a−12a−5=−3a−5，
当x=4时，y=16a−16a−5=−5.
∴−3a−5≤y≤−5.
∵y的整数值有4个，
∴−9<−3a−5≤−8.
∴1≤a<43.
∴②正确．
设A(x1,0)，B(x2,0)，且x1x1，x2是方程数ax2−4ax−5=0的根．
∴x1+x2=4，x1⋅x2=−5a.
∴AB=x2−x1= (x1+x2)2−4x1x2= 16+20a.
∵AB≤6.
∴16+20a≤36.
∴a≥1或a<0(舍去).
又∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=16a2+20a>0.
∴a>0或a<−54(舍去).
综上：a≥1，
∴③不正确．
故答案为：A.
根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键．
11.【答案】(2x+y)(2x−y)
【解析】解：原式=(2x+y)(2x−y)，
故答案为：(2x+y)(2x−y)
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中其和为2的结果有2种，
∴其和为2的概率是26=13，
故答案为：13.
画树状图，共有6种等可能的结果，其中其和为2的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】6
【解析】解：∵x1、x2是方程x2−2x−1=0的两根，
∴x1+x2=2，x1⋅x2=−1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=4+2=6.
故答案为：6.
根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=−1，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.
14.【答案】 217
【解析】解：如图，连接EA，EC，
设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30∘，∠BEF=60∘，AE= 3a，EB=2a，
则AB= 7a，
∴∠AEC=90∘，
∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60∘，
∴∠ECB=180∘，
∴E、C、B共线，
在Rt△AEB中，sin∠ABC=AEAB= 3a 7a= 217.
故答案为： 217.
如图，连接EA、EC，先证明∠AEC=90∘，E、C、B共线，再根据sin∠ABC=AEAB，求出AE、AB即可解决问题．
本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】(0,−1)或(0,5)
【解析】解：(1)一次函数y=x+2的图象与双曲线y=kx在第一象限交于点A(2,a)，
∴a=2+2=4，
∴k=2a=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x；
由y=x+2y=8x，解得x=2y=4或x=−4y=−2，
∴B(−4,−2)，
令x=0，则y=2，
∴C(0,2)，
∵S△PAB=9，
∴S△PAC+S△PBC=12PC⋅(4+2)=9，
∴PC=3，
∴点P的坐标是(0,−1)或(0,5).
故答案为：(0,−1)或(0,5).
将点A(2,a)坐标代入y=x+2求出a值，再得到反比例函数解析式，联立方程组求出点B坐标，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
16.【答案】108
【解析】解：∵AB=AD，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠ACD，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△AED∽△ADC，
∴AEAD=ADAC，
∵GH为⊙O的直径，GH⊥AC，
∴AF=FC=12AC，
∵AB=AD，AF=AB，
∴AB=AD=AF，
∴AC=2AD，
∴AEAD=ADAC=12，
∵AE=3，
∴AD=6，
∴AB=6，AC=12，
∴EC=AC−AE=9，
∵AB=AD，
∴AB=AD，
∴∠ACB=∠ACD，
∵∠BDC=∠BAC，
∴△DEC∽△ABC，
∴CDAC=ECBC，
∴BC⋅CD=AC⋅EC=12×9=108.
故答案为：108.
利用等腰三角形的性质与圆周角定理可得△AED∽△ADC，利用垂径定理求得AC、CE的长，通过证明△DEC∽△ABC，利用相似三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>−1，
∴原不等式组的解集为−1(2)1x−1=32x−2+1，
去分母得：2=3+2(x−1)，
解得：x=12，
当x=12时，2(x−1)≠0，
∴原分式方程的解为x=12.
【解析】(1)分别求出不等式组中两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集及不等式组的最小整数解；
(2)方程两边同时乘以2(x−1)，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的一般步骤，解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)18÷36%=50(人)，
选择“采艾叶”的学生人数为：50−8−18−10=14(人)，
补全条形统计图如图所示：
(2)1000×850=160(人)，160÷30≈6(间)，
答：开设“折纸龙“课程的教室至少需要6间．
【解析】(1)从两个统计图可知，样本中选择“包粽子”的学生有18人，占被调查人数的36%，根据频率=频数总数进行计算即可，求出选择“采艾叶”的学生人数即可补全条形统计图；
(2)求出样本中，选择“折纸龙”的学生所占的百分比，进而估计总体中选择“折纸龙”所占的百分比，再根据频率=频数总数即可求出总体中选择“折纸龙”的学生人数，进而求出所需要的教室的数量．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
19.【答案】解：(1)∵一次函数y=ax+3a+1=(x+3)a+1，
当x=−3时，y=1，
∴无论a取何值，该一次函数图象始终过定点(−3,1)；
(2)当a>0时，此函数是增函数，当x=4时，最大值为6，
当x=4时，一次函数y1=4a+3a+1=6，
解得a=57，
当a<0时，此函数是，减函数，当x=2时，最大值为6
当x=2时，一次函数y1=2a+3a+1=6，
解得a=1(不合题意，舍去)，
综上所述，a=57.
【解析】(1)把原式化为y=ax+3a+1=(x+3)a+1的形式，令x+3=0，求出y的对应值即可；
(2)分a>0和a<0两种情况进行讨论即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
20.【答案】 132
【解析】解：(1)∵A(−1,1)，B(−3,1)，C(−1,4)，
∴AB=2，AC=3，AB⊥AC，
在Rt△BAC中，BC= AB2+AC2= 22+32= 13，
∴△ABC的外接圆半径为 132，
故答案为： 132；
(2)如图，△A1BC1为所作图形；
(3)∵BC= 22+32= 13，
∴CC1弧长L=90π× 13180= 132π.AA1弧长L=90π×2180=π.
∴线段AC扫过的区域图形的周长= 132π+π+6.
(1)根据A(−1,1)，B(−3,1)，C(−1,4)，得到AB=2，AC=3，AB⊥AC，根据勾股定理得到结论；
(2)根据旋转的性质即可得到结论；
(3)根据勾股定理得到BC= 22+32= 13，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，弧长的计算，正确地作出图形是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵点E在边AB上，且∠A=∠DEC=50∘，
∴∠ADE=180∘−50∘−∠AED=130∘−∠AED，∠BEC=180∘−50∘−∠AED=130∘−∠AED，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC；
(2)如图2、如图3，
分两种情况：
设AE=x，
∵AB=5，AD=BC=2，
当△ADE∽△BEC时，
∴ADBE=AEBC，
∴25−x=x2，
解得x1=1，x2=4；
△ADE∽△BCE时，
∴ADBC=AEBE，
∴22=x5−x，
解得：x=2.5，
综上，AE的长为1或4或2.5.
【解析】(1)由点E在边AB上，且∠A=∠DEC=50∘，得∠ADE=130∘−∠AED，∠BEC=130∘−∠AED，所以∠ADE=∠BEC，又因为∠A=∠B，所以根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明△AED∽△BCE；
(2)分两种情况：△ADE∽△BEC或△ADE∽△BCE，设AE=x，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出x的值即可．
此题考查相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、矩形的性质等知识，找出图形中的相似三角形并根据已知条件证明三角形相似是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵∠BAC=24∘，CD⊥AB，
∴sin24∘=CDAC，
∴CD=ACsin24∘=30×0.40=12cm；
∴支撑臂CD的长为12cm；
(2)过点C作CE⊥AB于点E，
当∠BAC=12∘时，
∴sin12∘=ECAC=EC30，
∴CE=30×0.20=6cm，
∵CD=12cm，
∴DE=6 3cm，
∴AE= 302−62=12 6cm，
∴AD的长为(12 6+6 3)cm或(12 6−6 3)cm.
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数关系是解题关键．
(1)利用锐角三角函数关系得出sin24∘=CDAC，进而求出即可；
(2)利用锐角三角函数关系得出sin12∘=CEAC，进而求出DE，AE的长，即可得出AD的长．
23.【答案】解：(1)3≤x<6；9；
(2)C，E ；1或4
(3)0(4)在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG//y轴交线段CE于点G，
则线段FG表示两个水池面积差，
设F(m,−m2+6m)，则G(m,m+4)，
∴FG=(−m2+6m)−(m+4)=−m2+5m−4=−(m−52)2+94，
∵−1<0，
∴当m=52时，FG有最大值为94.
∴在1(5)∵水池3与水池2的面积相等，
∴y3=y2，
即：x+b=−x2+6x，
∴x2−5x+b=0.
∵若水池3与水池2的面积相等时，x(m)有唯一值，
∴Δ=(−5)2−4×1×b=0，
解得：b=254.
∴若水池3与水池2的面积相等时，x(m)有唯一值，b的值为254.
【解析】【分析】
本题考查一次函数与二次函数综合，涉及一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征.
(1)依据函数图象和函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；
(2)利用图象交点的数学意义解答即可；
(3)依据图象，利用数形结合法解答即可；
(4)在1(5)令y3=y2，得到关于x的一元二次方程，解Δ=0的方程即可求得b值．
【解答】
解：(1)∵y2=−x2+6x=−(x−3)2+9，
又∵−1<0，
∴抛物线的开口方向向下，当x≥3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，
∵0∴当3≤x<6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2.
(2)由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：
x+4=−x2+6x，
解得：x=1或4，
∴表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x(m)值是：1或4.
(3)由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
即当0(4)见答案；
(5)见答案.
24.【答案】解：(1)如图，过O作OH⊥CD于H，
∵点D为弧EC的中点，
∴弧ED=弧CD，
∴∠OCH=45∘，
∴OH=CH，
∵圆O的半径为2，即OC=2，
∴OH=CH= 2，
∴CD=2CH=2 2；
(2)∵∠FCD=45∘，∠DBC=45∘，
∴∠FCD=∠DBC，
又∵∠D=∠D，
∴△CDF∽△BDC，
∴FDCD=CDBD，
由(1)可知CD=2 2，
∴BD=2 2×2 2a=8a；
(3)如图，连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，
∵BD=BC，OD=OC，
∴BH垂直平分CD，
又∵AB//CD，
∴∠ABO=90∘=∠EBC，
∴∠ABE=∠OBC=∠OCB，
又∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴AEAB=ABAC，即AB2=AE×AC，
∴AC=AB2AE，
设AE=x，则AB=3x，
∴AC=9x，EC=8x，
∴OE=OB=OC=4x，
∵CD=12，
∴CH=6，
∵AB//CH，
∴△AOB∽△COH，
∴AOCO=BOHO=ABCH，即5x4x=3x6，
解得x=52，OH=8，OB=10，
∴BH=BO+OH=18，
∴△BCD的面积=12×18×12=108.
【解析】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例得到方程得出结论．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
(1)过O作OH⊥CD于H，根据点D为弧EC的中点，可得∠OCH=45∘，进而得出OH=CH，再根据圆O的半径为2，即可得到OH= 2；
(2)判定△CDF∽△BDC，即可得出结论；
(3)连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，依据∠ABE=∠OBC=∠OCB，∠A=∠A，判定△ABE∽△ACB，即可得到AC=AB2AE，设AE=x，再根据△AOB∽△COH，可得AOCO=BOHO=ABCH，由此构建方程求出x，再利用勾股定理求出OH，可得结论．

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