2024年山东省菏泽市牡丹区中考一模数学试题

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注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分、考试用时120分钟．
2．答卷前．考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B特笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。答案不能答在试题卷上．
4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若盈余200元记作元，则元表示（ ）
A. 盈余200元B. 亏损200元
C. 亏损元D. 不盈余也不亏损
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正和负具有相对性，若盈余用“”表示，那么亏损就用“”表示，据此求解即可．
【详解】解：若盈余200元记作元，则元表示亏损200元，
故选：B．
2. 若，则括号内应填的单项式是( )
A. aB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴（ ）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．
3. 实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置可得，据此逐一判断式子符号即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D
【点睛】．
4. 用个大小相同的小正方体黏合成如图所示的几何体，将几何体向右翻滚，与原几何体相比较，三视图没有发生改变的是（ ）

A. 左视图B. 主视图C. 俯视图D. 主视图和左视图
【答案】A
【解析】
【分析】分别画出翻滚之前几何体的三视图与翻滚之后的几何体的三视图，对比即可求解．
【详解】解：翻滚之前几何体的三视图为：

翻滚之后几何体的三视图为：

因此，三视图没有发生改变的是左视图．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，理解三视图的定义是解答本题的关键．
5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，

，.
，
，.
.
故选：C.
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.
6. 小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．测量时，使直角边保持水平状态，其延长线交于点；使斜边与点在同一条直线上．测得边离地面的高度为，点到的距离为（如图所示）．已知，，那么树的高度等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意从实际问题中抽象出相似三角形后，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是从实际问题中抽象出纯数学问题，然后利用相似三角形求解．
【详解】解：根据题意得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴（米）．
故选：B．
7. 如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【详解】解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD,
∴∠ODC=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°,
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形.
∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．
∴∠C=∠BDC=30°.
∴BD=BC，②成立.
∴AB=2BC，③成立.
∴∠A=∠C.
∴DA=DC,①成立.
综上所述，①②③均成立.
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质；直角三角形两锐角的关系；等边三角形的判定和性质；等腰三角形的判定．
8. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是非负数，
∴，且，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
9. 下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（ ）
A. 甲平均分高，成绩稳定B. 甲平均分高，成绩不稳定
C. 乙平均分高，成绩稳定D. 乙平均分高，成绩不稳定
【答案】D
【解析】
【详解】解：
∴乙的平均数较高;乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定;
故选: D.
10. 如图，点C在线段上，，，P为线段上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D． 设， 的面积为y． 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角形面积等知识，过点D作于点H，取特殊值，此时P为中点，设，在和，利用勾股定理构建关于m的方程，求出m的值，可求出此时的面积，然后利用排除法即可得出答案．
【详解】解：如图，过点D作于点H，
∵，，
∴，
当时，，，
设，则，
根据勾股定理，得，
解得，
∴
∴．
∴当时，．
观察各选项图象，只有选项B符合题意，
故选：B．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案）
11. 掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
【答案】1000
【解析】
【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．
【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，
当震级为8级的地震所释放的能量为：，
当震级为6级的地震所释放的能量为：，
，
震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．
故答案为：1000．
【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．
12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，3x-2≥0，
解得x≥．
故答案为x≥．
13. 分解因式： ________．
【答案】##
【解析】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】解：原式
，
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键．
14. 将一张半径为4的圆形纸片（如图①）连续对折两次后展开得折痕、，且，垂足为M（如图②），之后将纸片如图③翻折，使点B与点M重合，折痕与相交于点N，连接、（如图④），则的面积是__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠性质，垂径定理，勾股定理，先根据折叠得出，，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据三角形的面积求出结果即可．
【详解】解：如图，连接，由折叠的性质知：
，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理，得：
，
∴，
∴．

故答案为：．
15. 如图，菱形ABCD中，，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连接FC，则∠ACF的度数为_____度.
【答案】15．
【解析】
【分析】利用菱形的性质得出∠DCB的度数，再利用等腰三角形的性质得出∠DCF的度数，进而得出答案：
【详解】解：∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF=DC，
∴∠BCD=60°，，∠DFC=∠DCF.
∵DF⊥AB于点E，∴∠FDC=90°.
∴∠DFC=∠DCF=45°.
∵菱形ABCD中，∠DCA=∠ACB，
∴∠DCA=∠ACB=30°.
∴∠ACF的度数为：45°-30°=15°．
故答案为：
16. 在平面直角坐标系中，矩形如图放置，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为________；当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为__________．

【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】此题考查了对点的坐标的规律变化的认识，解题的关键是根据条件画出图形并得到点的坐标．作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，当点P第5次碰到矩形的边时，可参照图像得出点的坐标；当点P第2024次碰到矩形的边时，用2024除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知：

当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为；
每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点，
∵，
∴当点P第2024次碰到矩形的边时为第338个循环组的第2次反弹，点P的坐标为．
故答案为：；．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分、解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：．
（2）先简化，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，求特殊角三角函数值，实数的运算：
（1）先计算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式．
18. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
（2）水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【解析】
【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；
（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【小问1详解】
解：设乙种水果的进价是x元/千克，
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
则，
答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
【小问2详解】
解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，
由题意得：，
∵－1＜0，
∴y随a的增大而减小，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴，
解得：，
∴当时，y取最大值，此时，，
答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．
19. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为.
（1）求坐垫到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）99.5（2）3.9
【解析】
【分析】（1）作于点，由可得答案；
（2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案
【详解】（1）如图1，过点E作于点，
由题意知、，
∴，
则单车车座到地面的高度为；
（2）如图2所示，过点作于点，
由题意知，
则，
∴.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，，且的长分别是一元二次方程的两根．
（1）求直线的函数表达式；
（2）点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，解一元二次方程，勾股定理，菱形的性质：
（1）先利用因式分解法解方程得到，则，据此利用待定系数法求解即可；
（2）先利用勾股定理求出，再分如当四边形为菱形时， 当四边形是菱形时，两种情况根据菱形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：解方程得或，
∵，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
如图所示，当四边形为菱形时，则，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，则，
∴
综上所述，点Q的坐标为或．
21. 2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．
样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：
表中___________；___________．
请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．
【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数直方图，如图所示．
A组：；B组：；C组：．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）．
【监测反思】
①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？
【答案】学科测试：小亮、小莹作答相同试卷概率为；，；评判见解析；问卷调查：甲校样本学生阅读课外书的平均数为32本，乙校样本学生阅读课外书的平均数量为30本；监测反思：①答案见解析；②不可行，原因见解析
【解析】
【分析】学科测试：用列表法求解小亮、小莹作答相同试卷的概率即可；根据中位数和众数的定义求a和b的值；根据平均数、方差、中位数、众数分别分析即可；
问卷调查：根据平均数的定义求解即可；
监测反思：①根据表格中的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小．
【详解】学科测试：设3套不用的试卷分别为1、2、3，列表如下：
一共有9种情况，而满足题意的有三种情况，
∴小亮、小莹作答相同试卷的概率为，
由表可得甲校的中位数，
乙校的众数；
从平均数看两校的成绩一样；从方差看乙校的成绩比较均衡；从中位数看甲校的成绩好于乙校；从众数看乙校的成绩好于甲校；
问卷调查：根据频数分布直方图可得，
甲校样本学生阅读课外书平均数量为（本），
乙校样本学生阅读课外书的平均数量为（本）；
监测反思：①从语文测试成绩来看：甲乙平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；
从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有乙校的平稳；
综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外阅读量；
②甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为W市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000 多人的成绩．
【点睛】本题考查了频数分布直方图和数据统计表，统计调查，以及列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于能结合频数分布直方图和数据统计表分析学生的成绩．
22. 如图，在以线段为直径的上取一点C，连接，将沿翻折后得到．
（1）试说明点D在上；
（2）在线段的延长线上取一点E，使，求证：为的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段相交于点F，若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，折叠的性质，直角三角形斜边中线性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等：
（1）先求出，由折叠的性质得到，再证明即可；
（2）由折叠的性质可得，证明，得到．即可证明为的切线；
（3）先求出由（2）得，则，．证明，得到，设，，则，，则解之即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵是的直径，
∴
∵沿翻折后得到，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴点D在上；
【小问2详解】
证明：，
．
又，
，即，
在和中，，，
，
．
又是的半径，
为的切线；
【小问3详解】
解：在中，，，，
由（2）得，
，
，
．
在和中，，，
，
，
设，，则，，
∴解得
．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线于点C，作于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段的长，并求出线段长的最大值；
②连接，线段把分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为．若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）①；；②0或3．
【解析】
【分析】（1）在中，当时，；当时，，依此可得与的坐标；将与坐标代入抛物线解析式求出与的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）①设直线与轴交于点，由与轴平行，得到，求出与的长，得出的值，即为的值，由的横坐标为，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为的长，由表示出，利用二次函数的性质求出的最大值即可；
②存在，过作，过作，交延长线于点，表示出与，进而表示出三角形面积与三角形面积，根据面积之比为列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可．
【小问1详解】
解：（1）在中，当时，；当时，．
则、，
将、分别代入中，得
解得，．
所求解析式为．
【小问2详解】
解：①设直线交轴于点，求得，
，，
，
．
设，则，
．
．
的最大值为．
②过作，过作，交延长线于点，
，
，
在中，
，
又，
，
当时，解得：；
当时，解得：．
故当或时，把分成两个三角形的面积比为．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．
24. 【猜想】 如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是 ；
【探究】 如图2，正方形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）．试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论；
【应用】 在图2中，BC＝DE＝4.当AE取最大值时，AF的值为多少？

【答案】【猜想】 BG＝AE；【探究】成立，证明详见解析；【应用】 2.
【解析】
【猜想】：由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
【探究】如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
【应用】可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
【详解】解：【猜想】 如图1，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=AD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△BDG和△ADE中，
,
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE．
故答案为：BG=AE；
【探究】成立，BG＝AE.理由如下：
如图2，连接AD.

∵在Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC.
∴∠ADG＋∠GDB＝90°.
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°.
∴∠ADG＋∠ADE＝90°.
∴∠BDG＝∠ADE.
在△BDG和△ADE中，
∴△BDG≌△ADE（SAS）．
∴BG＝AE.
【应用】∵BG＝AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．

如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE.
∵BC＝DE＝4，
∴BG＝2＋4＝6.
∴AE＝6.
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF＝＝＝2.
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
1
2
3
1
（1,2）
（2,1）
（31）
2
（1,2）
（2,2）
（3,2）
3
（1,3）
（2,3）
（3,3）