江西省抚州市南城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份江西省抚州市南城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

（本试题满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合
2. 已知三角形平移后得到三角形，且，，，已知，则，的原坐标分别为
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化．根据点坐标变化得出横纵坐标关系得出，的原坐标即可．
【详解】解：的对应点，
又，，
，该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。 即，．
故选：D．
3. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ）
A B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分类讨论：当底边为时，则腰长为，当底边为时，则腰长为，根据三角形三边关系及三角形的周长公式即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：当底边为时，则腰长为，
，且，
、、能构成三角形，
周长为：，
当底边为时，则腰长为，
，
、、不能构成三角形，
综上所述，周长为，
故选C．
4. 在下列数学式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了不等式，根据不等式的定义进行判断即可．
【详解】解：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有①②⑤⑥，共4个，
故选：C．
5. 如果不等式组的解集是，那么a取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解集同大取大即可得到答案．
【详解】解：∵不等式组的解集是，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查解不等式，正确计算是解题关键．
6. 如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质等知识点，根据平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，，
，故①正确；
平分，
，
，
，
，故②正确；
，
和互余，和互余，
，
，故③正确；
和不一定全等，故和不一定相等，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若，那么__________（填“>””<”或“=”）
【答案】
【解析】
【分析】直接利用不等式的基本性质分别分析得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
8. 若某三角形的三边长分别为，则该三角形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的面积，由勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形，进而由三角形的面积公式计算即可求解，由勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴该三角形为直角三角形，
∴该三角形面积，
故答案为：．
9. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，若的周长为27，则的长为___________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质，可以得到，根据三角形周长可以得到，结合题意即可得到结果．
【详解】解：为的垂直平分线，
，
，
，
，
故答案为：12．
10. 若Q为等边三角形内一点，绕点B旋转，使与边重合，则_____
【答案】##60度
【解析】
【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质可得，解题即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴
由旋转可得：，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
11. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为_____．

【答案】x≥1
【解析】
【分析】将P(a，2)代入直线l1：y＝x+1中求出a＝1，然后再根据图像越在上方，其对应的函数值越大即可求解．
【详解】解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方，
即当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系，图像越在上方，其对应的函数值就越大．
12. 如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝___s时，△POQ是等腰三角形．
【答案】2或6##6或2
【解析】
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点P在线段OC上时；当点P在CO的延长线上时，分别列式计算即可；
【详解】根据题意分两种情况：
当点P在线段OC上时，
设t秒后是等腰三角形，
有，即，解得：；
当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s，
当是等腰三角形时，，
∴是等边三角形，
∴，
即，解得：；
故答案是：2或6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，解决本题的关键要注意分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧分别求解．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（2）如图，是的平分线，于点D，，则点P到的距离是多少？
【答案】（1），见解析；（2）2
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，角平分线的性质，要熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
（1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴上表示出来即可；
（2）过点P作，由角平分线的性质可得．
【详解】（1）
移项，合并同类项得，
数轴表示如下：
（2）解：如图，过点P作，
∵是的平分线，点P在上，且，，
∴．
∴点P到的距离是5．
14. 已知是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不等式．
【答案】或，当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为．
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的定义得到且，求得a的值，然后把a的值代入原不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得或，
当时，不等式为，解集为．
当时，不等式为，解得．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义和解一元一次不等式．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
15. 如图，将绕点B顺时针旋转到处，连接，已知，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；
根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得的度数，再根据角的和差即可解答
【详解】证明：将绕点B顺时针旋转到，
，，
，
，
．
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形（顶点是网格线的交点）．
（1）先将竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到，点A、B、C对应点分别是、、，请画出；
（2）将绕点顺时针旋转，得，点、对应点分别是、，请画出；
（3）连接，直接写出的长 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图旋转变换、平移变换，勾股定理：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点、、，从而得到；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到；
（3）利用勾股定理计算的长．
【小问1详解】
如图，为所作；
【小问2详解】
如图，为所求，
【小问3详解】
根据勾股定理可得．
17. 如图，，E是上的一点，且，，问：与全等吗？请说明理由．
【答案】全等，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定，
首先由得到，然后证明出即可．
【详解】解：全等，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：填空：
（）以上运算步骤中，第步去括号依据的运算律是 ；
（）第步移项的依据是 ；
（）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请写出正确的解答过程．
【答案】任务一：（）乘法分配律；（）不等式的性质；（）；去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第步中没有乘以最小公倍数；任务二：见解析．
【解析】
【分析】任务一：（）根据乘法分配律即可求解；
（）根据不等式的性质即可求解；
（）根据去分母时漏乘最小公倍数即可求解；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤解答即可求解；
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：任务一：
（）第步去括号依据的运算律是乘法分配律，
故答案：乘法分配律；
（）第步移项的依据是不等式的性质，
故答案为：不等式的性质；
（）第步开始出现错误，这一步错误的原因是，去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第步中没有乘以最小公倍数，
故答案为：；去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第步中没有乘以最小公倍数；
任务二：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
19. 等腰三角形一条腰上的中线将三角形的周长分成15和21两部分,求该三角形的腰长和底边的长.
【答案】10,16或14,8
【解析】
【分析】分腰长与腰长的一半是21和15两种情况，求出腰长，再求出底边，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断即可．
【详解】如图,设AD=CD=x,则AB=2x,
∴AB+AD=3x,BC+CD=BC+x.
若AB+AD=15,则BC+CD=21,可得x=5,
∴腰长AB=10,底边BC=16;
若AB+AD=21,则BC+CD=15,可得x=7,
∴腰长AB=14,底边BC=8.
∴该三角形的腰长和底边的长分别为10,16或14,8.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
20. 某校九年级（21）班对半学期考试成绩优秀的学生进行奖励，颁发奖品，班主任安排生活委员到某文具店购买甲、乙两种奖品，若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
（2）因奖品数量的需要和班费的限制，现要求本次购买甲种奖品的数量是乙种奖品的数量的2倍还少10个，而且购买这两种奖品的总金额不超过320元，请问最多购进乙种奖品多少个？
【答案】（1）3元，5元
（2）31个
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系和不等关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键．
（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为个，根据购买这两种奖品的总金额不超过320元，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
根据题意得：
解得：
答：甲种奖品的单价为3元，乙种奖品的单价为5元．
【小问2详解】
设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为个．
根据题意得：
解得：
又∵为正整数，
∴最多购进乙种奖品31个．
五、（本大题共2小题，共18分）
21. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）若AO=12，求OE的长．
【答案】（1）△CDE是等边三角形，理由见解析；（2）6．
【解析】
【详解】试题分析：（1）△CDE是等边三角形，根据已知条件易证∠C=60°，CD=CE，即可判定△CDE是等边三角形；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，所以OA=OB=12，再根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可得OE的长．
试题解析：（1）△CDE是等边三角形，理由如下，
（2）
考点：等边三角形的判定及性质；直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
22. 课本再现
（1）如图1，是的外角，平分，，则________．（填“>”“=”或“<”）
类比迁移
（2）如图2，在中，是的一条角平分线，过点作交于点，求证：．
拓展运用
（3）如图3，在中，，是角平分线上一点，延长至点，使，过点作交于点，猜想与的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）=；（2）见解析；（3），见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，等量代换得，进而可证；
（2）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，等量代换得，进而可证；
（3）由角平分线的定义得，根据证明得，，然后证明即可得出．
【详解】（1）∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：=；
（2）∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）连接．
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
六、（本大题共12分）
23. 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是．
（1）问题：请利用图1说明与的位置关系；
感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
（3）学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？
【答案】（1），
（2），，证明见解析
（3）13
【解析】
【分析】（1）先判断出，进而得出，得出，即可得出结论；
（2）延长到点Q，使，连接，延长交于P，同（1）的方法可证得，进而可证得，可知，由等腰直角三角形可知，进而可知，得，由，，得，可证的，得，，由，得，可证得，由，得，即可证得结论；
（3）延长到点G，使，连接，，同（1）的方法可证得，得，，结合，可得，由题意可知垂直平分，可得，在中，由勾股定理得．
【小问1详解】
由题知：∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
，，理由如下：
如图2，延长到点Q，使，连接，延长交于P，
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，；
【小问3详解】
延长到点G，使，连接，，
∵为斜边得中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
在中，，则
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，勾股定理，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．解：去分母得，第步
去括号得，第步
移项得，第步
合并同类项得，第步
两边都除以，得第步