05，山西省运城市2023-2024学年八年级第下学期期中数学试题

这是一份05，山西省运城市2023-2024学年八年级第下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 近年来，信息技术发展迅速，学生可以从各个平台获取相应的学习资源，下列为学习强国几个常用的图标，以下图标（不考虑文字，颜色）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 学习积分B. 同学会
C. 设置D. 我要答题
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
2. 某水果店老板在批发市场批发了苹果，市场人员说：“给您称高高的”，若“高高的”用不等式表示，可设苹果的实际质量为，则表达的不等式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词，选准不等号．根据题意可得苹果的重量大于．
【详解】解：设苹果的实际质量为，由题意得：
，
故选：B
3. 已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（ ）
A. 50°B. 60°C. 30°D. 40°
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形内角和是180°和等腰三角形两底角相等，可以求得其顶角的度数．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为70°，
∴顶角为180°-70°×2=40°．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的运用，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题关键．
4. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、，，，故本选项符合题意；
B、，，故本选项不符合题意；
C、，，故本选项不符合题意；
D、，，故本选项不符合题意．
故选：A．
5. 如图，将沿方向平移得到．连接，若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到， 再根据线段的和差关系求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，
∴，
故选：B．
6. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：．
【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、，能用平方差公式分解因式，符合题意；
D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
7. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，根据作图方法可得垂直平分，，据此可得的周长．
【详解】解：由作图方法可知垂直平分，
∴，
∴周长，
故选：B．
8. 关于的不等式组恰好有3个整数解，则满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到结合不等式组的整数解，得出关于的不等式解之即可．
【详解】解：由题意可得的解集为，
不等式组恰好有3个整数解，
不等式组的3个整数解为3、4、5，
，
故选：B
9. 如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到直线的函数图象在直线的图象下方，且都在x轴下方时，自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方，且都在x轴下方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集为，
故选：D．
10. 为帮助同学们新学期以新形态树新目标，以新姿态显新气象，王老师准备在开学第一天举行“奋斗，让青春热辣滚烫”的主题班会，计划让名同学进行总计不超过分钟的演讲或朗诵活动，要求每个活动只能有一名同学参加，每名同学只能选演讲或朗诵中的一种形式，演讲时间为3分钟，朗诵时间为2分钟，那么最多能安排多少名同学进行演讲？设参加演讲的同学有人，则列出的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
设安排名同学进行演讲，由计划让名同学进行总计不超过分钟的演讲或朗诵活动，列出不等式即可．
【详解】解：安排名同学进行演讲，
演讲时间为3分钟，则演讲时间一共用了分钟；
朗诵时间为2分钟，则朗诵时间一共用了分钟；
总计不超过分钟：；
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了求一元一次不等式的解集，系数化为1即可得到答案．
详解】解：
系数化为1得，
故答案为：．
12. 用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，应该先假设____________________．
【答案】在一个三角形中，三个内角都大
【解析】
【分析】根据命题：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”的否定为“三个内角都大于”，即可得到答案．
【详解】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”的否定为“在一个三角形中，三个内角都大”，
∴应该先假设在一个三角形中，三个内角都大．
故答案为：在一个三角形中，三个内角都大．
【点睛】本题考查反证法．其步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，则的度数______．

【答案】40
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质及等三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由旋转性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可解决问题．
【详解】解：将绕点顺时针旋转角，得到，
，
，
故答案为：40
14. 如图，中，为的角平分线，作垂直于，的面积为8，则的面积为______．

【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．如图所示，延长交于，利用证明，得到，进而推出，，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交于，

为的角平分线，，
，，
又，
，
，
，，
，
，
即，
故答案为：16
15. 如图，在等边三角形中，为延长线上一点，，垂足为且，连接，若的面积为9，则点到的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，过A作于H，过E作于F，则由三线合一定理得到，证明，得到，即可得到，解得：，进而可得，利用勾股定理得到，即点到的距离为．
【详解】解：过A作于H，过E作于F，如图所示：

，
，
∵是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴的面积为：，
解得：或（负值舍去），
∴，
∴，
∴点到的距离为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）解不等式组，并写出其整数解的个数．
（2）因式分解：
【答案】（1），4个；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，因式分解：
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出求整数解个数即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式；组的解集为：，
∴不等式组的整数解有0，1，2，3，共4个．
（2）
17. 如图，平面直角坐标系中，各顶点的坐标依次为，，．

（1）将先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．
①请在图中画出；
②点，，的坐标可以看成是点，，的横坐标分别______、纵坐标分别______得到的；
③也可以看成是沿的方向一次平移______个单位长度得到；
（2）将点，，的横、纵坐标分别乘，依次得到点，，，
①请在图中画出；
②请写出与的位置关系：______．
【答案】（1）①见解析；②减1，加3；③
（2）①；②关于原点成中心对称
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换，中心对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称变换的性质属于中考常考题型．
（1）①利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
②利用平移变换的性质判断即可；
③利用勾股定理求出即可；
（2）①根据点的坐标，画出图形即可；
②根据中心对称变换的性质判断即可．
【小问1详解】
①如图，即为所求；

②点，，的坐标可以看成是点，，的横坐标分别减1、纵坐标分别加3得到的．
故答案为：减1，加3；
③，
也可以看成是沿的方向一次平移个单位长度得到．
故答案为：；
【小问2详解】
①如图，即为所求；
②与关于原点成中心对称．
故答案为：关于原点成中心对称．
18. 小明解不等式的过程如下，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得，第一步
去括号，得，第二步
移项，得，第三步
合并同类项，得，第四步
系数化为1，得．第五步
（1）①以上求解过程中，去分母是依据______进行变形的．（从下面选项选一个）
A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．不等式的性质
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
（2）该不等式的正确解集是______．
（3）请你根据平时学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提两条建议．
【答案】（1）①C；②一；去分母时，1漏乘6
（2）
（3）移项时注意变号；去分母时不要漏乘；系数化为1时注意不等号的方向等（答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式：
（1）①观察解题过程可知，去分母是依据不等式的性质进行变形的；②观察求解过程可知，第一步开始出现错误，错误的原因是1漏乘6；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；
（3）根据解不等式时的易错点写出建议即可．
【小问1详解】
解：①以上求解过程中，去分母是依据不等式的性质进行变形的．
故答案为：C．
②观察求解过程可知，第一步开始出现错误，错误的原因是1漏乘6．
故答案为：一；去分母时，1漏乘6；
【小问2详解】
解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
故答案为：，
【小问3详解】
解：在解不等式时，移项时注意变号；去分母时不要漏乘；系数化为1时注意不等号的方向等（答案不唯一）．
19. 已知：如图，中，，点是中点，于点．
（1）求作：射线，使于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法并下结论；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；
（2）在（1）得到的图中，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由垂线的定义得到，再由等边对等角得到，据此证明，即可证明．
【小问1详解】
解：如图所示，射线即为所求；
【小问2详解】
证明：，
，
点是的中点，
，
，
∴，
．
20. 为进一步落实“德智体美劳”五育并举，山西省在2025年实行中考体育改革，把足球，篮球，排球（任选其一）加入到中考体育测试范围，某中学为此准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需240元，购买3个足球和2个篮球共需410元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）若该学校准备购买足球和篮球共100个（每种至少买一个）；要求总费用不超过8000元，若商店的足球可打八折销售，篮球按原价销售，则至少要买多少个足球？
【答案】（1）足球的单价70元，篮球的单价为100元
（2）46个
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设足球的单价为元、篮球的单价为元，根据购买2个足球和1个篮球共需240元，购买3个足球和2个篮球共需410元列出方程组求解即可；
（2）设学校可以购买个足球，则买个篮球，根据足球可打八折销售，篮球按原价销售且总费用不超过8000元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设足球的单价为元、篮球的单价为元，
根据题意可得：，
解得：，
答：足球的单价70元，篮球的单价为100元，
【小问2详解】
解；设学校可以购买个足球，则买个篮球，
由题意得，，
解得：，
为正整数，
的最小值为46，
答：至少要买46个足球．
21. 阅读下列材料：
解一些复杂的因式分解问题常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小张同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小张同学的解法中，第二步运用了因式分解的______．
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小张同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______．
（3）请你用换元法对多项式进行因式分解．
【答案】（1）C （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解—换元法、公式法等知识点，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式的特点即可判定；
（2）再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式即可．
【小问1详解】
解：根据第二步的因式分解过程可知是运用了完全公式法．
故选C．
【小问2详解】
解：原式．
故答案为：．
【小问3详解】
解：设，

．
22. 综合与实践——探索图形平移中的数学问题：
问题情境：如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形．
操作探究：将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，．

（1）如图2，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离；
（2）如图3，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立！请你证明这一结论；
拓展延伸：
（3）在平移的过程中，直接写出当是以为顶角的等腰三角形顶点时，平移的距离．
【答案】（1）平移的距离为；
（2）证明见解析；
（3）平移的距离为
【解析】
【分析】本题考查了平移与几何综合，涉及了等边三角形、全等的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，根据题意理解图形变换是解题关键．
（1）利用等边三角形的性质与等腰三角形三线合一即可解决；
（2）证明即可；
（3）确定当是以为顶角的等腰三角形顶点时点的位置即可解决．
【详解】解：（1）如图，连接，

∵是等边三角形，，点是边的中点，
∴，
∵将从图1的位置开始，沿射线方向平移，
∴，
∵，，
∴，
∴平移的距离为；
（2）∵是等边三角形，，
∴，，
∵将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，，
∴，，
∵是等边三角形，，点是边的中点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）当是以为顶角的等腰三角形顶点时，
∵，
∴，
以点为圆心，为半径画圆，交射线于两点，
情况①：如图，
∵，，
∴为等边三角形，
此时，
∴，
则平移的距离为；

情况②，如图，

此时，点、、共线，
不能构成，
综上所述，平移的距离为．
23. 探索与发现
【操作发现】甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下：
（1）上述过程中的依据1是______，依据2是______．（填“”“”或“”）
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图4，在中，点是边的中点，点在边上，过点作，交边于点，连接．
（2）求证：．
（3）若，则线段、、之间的等量关系为______．
【拓展应用】
（4）如图5，在中，，，以为顶点作，使，，，连接，为线段的中点．将绕点在平面内旋转，当时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）；（4）或
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质等等：
（1）解读证明过程，即可知道依据1是；依据2是，进行作答即可．
（2）延长到E使得，连接，证明，得到；再证明垂直平分，得到，在中，，则；
（3）由全等三角形的性质得到，进而证明，在中，由勾股定理得，即可得到；
（4）先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图6所示，当点D在线段上时， ②如图7所示，当点D在的延长线上时，延长、交于点G，通过证明转换线段之间的关系进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）由证明过程可知依据1是，依据2是，
故答案：；；
（2）如图所示，延长到E使得，连接，
∵是的中点，
．
又∵，，
∴，
∴；
∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：；
（4）如图5所示，在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
①如图6所示，当点D在线段上时，延长交于点G，连接，
∵，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点G在上，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴点G为的中点，
∴，
∴；

②如图7所示，当点D在的延长线上时，延长、交于点G，
同理可证明，
∴，，
∴，
又∵
．
．
综上所述，当时，线段的长为或．
如图1，在中，点是的中点，点是边上一点，连接．
甲同学：延长至点，使，连接，如图2所示．
是的中点，．
又，，．（依据1：______）
乙同学：过点作的平行线交的延长线于点，如图3所示．
，．
又，，．（依据2：______）