06，2024年山东省青岛市高新区中考数学三模试卷

这是一份06，2024年山东省青岛市高新区中考数学三模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）“跟着春晚游西安”成为“西安年”最热门旅游线路．春节期间，大唐不夜城万人同吟《将进酒》与“李白”隔空对诗，接待游客总人数达6170000人次，创历史新高．将数据6170000用科学记数法表示为（ ）
A．617×104B．61.7×105C．6.17×106D．6.17×107
2．（3分）下列实数中，无理数的是（ ）
A．B．C．D．（π+1）0
3．（3分）如图图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）计算（﹣4）×3的结果等于（ ）
A．﹣12B．﹣7C．﹣1D．12
5．（3分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若△ABC和△DEF的周长之比为1：3，则OC：OF＝（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
6．（3分）第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（ ）
试卷源自 全站资源一元不到！
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为50kg，距离跷跷板支点的距离为1.2m，设爸爸的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym．若要使跷跷板保持平衡，则x与y应满足的关系式为（ ）．
A．y＝60xB．C．D．y＝50x
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，AC平分∠EAB，AD与BC的延长线交于点E，AE＝5，BE＝6，则CD的长为（ ）
A．2.5B．2.4C．3D．1.5
9．（3分）用边长为1的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有6个边长为1的小三角形，第②个图形有10个边长为1的小三角形，第③个图形有14个边长为1的小三角形，第④个图形有18个边长为1的小三角形，…，按照这个规律排列下去，第⑩个图形中边长为1的小三角形的个数为（ ）
A．34B．38C．42D．46
10．（3分）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的五个结论：
①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④2c+3b＝0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数），其中正确的结论是（ ）
A．②③④⑤B．①③④⑤C．①②④⑤D．①②③⑤
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写最后结果．
11．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）计算的结果是 ．
13．（4分）写出一个图象只经过第二、四象限的函数表达式 ．
14．（4分）若x1与x2是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则＝ ．
15．（4分）苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，如图是苯的结构简式，由于苯分子的所有碳碳键的键长都相等，因此图中的六边形为正六边形，AB、AC为该正六边形的两条对角线，若该正六边形的边长为4，则△ABC（阴影部分）的面积为 ．（结果保留根号）
16．（4分）如图，点A，D在反比例函数的图象上，CD垂直y轴，垂足为C，AB⊥CD，垂足为B．若四边形OABD的面积为8，BD＝2CD，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）解方程和不等式：
（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
20．（6分）如图，在△ABC，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC交BC于点F，连接BE，且∠DFB＝∠ABE，求证：△ABC≌△DEB．
21．（6分）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ；
（2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人；
（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
22．（6分）阅读理解
材料1：观察数轴可知，当x＞0时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当：x＜0时，随着x的不断增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：
．根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）；
（2）当x＞3时，随着x的不断增大．的值无限接近一个数，请求出这个数．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D．
（1）求证：∠BCD＝∠A；
（2）若，BD＝6，求⊙O的半径．
24．（6分）（科技成就）随着5G技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为i＝1：2.4的小山坡AQ上新建了一座大型的网络信号发射塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌：MN，当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米．求信号塔PQ的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接AP、AC、BP、BC，线段AC与BP交于点Q，设△PAQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2取最大值时，求点P的坐标；
（3）当﹣1≤x＜m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．
26．（8分）【问题提出】
如图1，在△ABC中，AC＝AB，BC＝4，作BD⊥AB，垂足为B，且BD＝AB，连接CD，求△BCD的面积．
【问题解决】
某市着力打造宜居宜业现代化生态城市，为了呈现出园在城中秀，湖在园中美的迷人画卷，如图2所示，现在一处空地上规划一个五边形湖景公园ABCDE．按设计要求，要在五边形湖景公园ABCDE内挖个四边形人工湖EFGH，使点F，G分别在边CD，BC上，且ED＝EF＝FG＝100m，∠EFG＝90°，∠EHG＝60°．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，BC＝600m，DC＝500m．为满足人工湖的造景需要，想让人工湖面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形人工湖EFGH？若存在，求四边形EFGH面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分.共30分
1．（3分）“跟着春晚游西安”成为“西安年”最热门旅游线路．春节期间，大唐不夜城万人同吟《将进酒》与“李白”隔空对诗，接待游客总人数达6170000人次，创历史新高．将数据6170000用科学记数法表示为（ ）
A．617×104B．61.7×105C．6.17×106D．6.17×107
【解答】解：6170000＝6.17×106．
故选：C．
2．（3分）下列实数中，无理数的是（ ）
A．B．C．D．（π+1）0
【解答】解：＝2，＝2，（π+1）0＝1，
，，（π+1）0是有理数；
是无理数．
故选：A．
3．（3分）如图图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项合题意；
C．该图不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）计算（﹣4）×3的结果等于（ ）
A．﹣12B．﹣7C．﹣1D．12
【解答】解：原式＝﹣12．
故选：A．
5．（3分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若△ABC和△DEF的周长之比为1：3，则OC：OF＝（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△BOC∽△EOF，
∴OC：OF＝BC：EF，
∵△ABC和△DEF的周长之比为1：3，
∴BC：EF＝1：3，
∴OC：OF＝1：3，
故选：B．
6．（3分）第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：由表可知从平均时间看，丁的成绩最好，其次是甲与丙，乙的成绩最低，
从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定，
∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定，
故选：A．
7．（3分）如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为50kg，距离跷跷板支点的距离为1.2m，设爸爸的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym．若要使跷跷板保持平衡，则x与y应满足的关系式为（ ）．
A．y＝60xB．C．D．y＝50x
【解答】解：由题意，得：
xy＝50×1.2
∴
故选：C．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，AC平分∠EAB，AD与BC的延长线交于点E，AE＝5，BE＝6，则CD的长为（ ）
A．2.5B．2.4C．3D．1.5
【解答】解：连接CO，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE，
∵AC平分∠EAB，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（ASA），
∴BC＝EC，
∵BC+EC＝BE＝6，
∴BC＝EC＝3，
∴在Rt△AEC中，，
，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，即∠PCO＝90°，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠ACO，
∵∠BAC＝∠EAC，
∴∠ACO＝∠EAC，
∴CO∥AE，
∴∠PDA＝∠PCO＝90°，
∴，即，
∴CD＝2.4．
故选：B．
9．（3分）用边长为1的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有6个边长为1的小三角形，第②个图形有10个边长为1的小三角形，第③个图形有14个边长为1的小三角形，第④个图形有18个边长为1的小三角形，…，按照这个规律排列下去，第⑩个图形中边长为1的小三角形的个数为（ ）
A．34B．38C．42D．46
【解答】解：第①个图形有2+4×1＝6个边长为1的小三角形，
第②个图形有2+4×2＝10个边长为1的小三角形，
第③个图形有2+4×3＝14个边长为1的小三角形，
第④个图形有2+4×4＝18个边长为1的小三角形，
…，
按照这个规律排列下去，
第n个图形有（2+4n）个边长为1的小三角形，
第⑩个图形中边长为2+4×10＝42的小三角形，
故选：C．
10．（3分）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的五个结论：
①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④2c+3b＝0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数），其中正确的结论是（ ）
A．②③④⑤B．①③④⑤C．①②④⑤D．①②③⑤
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵对称轴为x＝1，
∴x＝2与x＝0的函数值相等，即：4a+2b+c＝c＞0，故②正确；
∵点（﹣1，0）关于x＝1的对称点为（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；故③正确；
∵图象过点（﹣1，0），b＝﹣2a，
∴，
∴2c﹣3b＝0；故④错误；
∵抛物线的开口向下，
∴当x＝1时，函数值最大，
即：a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m（am+b）；故⑤正确；
综上，正确的结论是①②③⑤；
故选：D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写最后结果．
11．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是 x＞﹣3且x≠2 ．
【解答】解：由题意得，x+3＞0且x﹣2≠0，
∴x＞﹣3且x≠2，
故答案为：x＞﹣3且x≠2．
12．（4分）计算的结果是 ．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
13．（4分）写出一个图象只经过第二、四象限的函数表达式 （答案不唯一） ．
【解答】解：∵反比例函数位于二、四象限，
∴k＜0，
解析式为：．
故答案为：（答案不唯一）．
14．（4分）若x1与x2是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则＝ 4 ．
【解答】解：∵x1与x2是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：4．
15．（4分）苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，如图是苯的结构简式，由于苯分子的所有碳碳键的键长都相等，因此图中的六边形为正六边形，AB、AC为该正六边形的两条对角线，若该正六边形的边长为4，则△ABC（阴影部分）的面积为 ．（结果保留根号）
【解答】解：∵该图形是正六边形，
∴．
∵正六边形具有对称性，
∴∠ABC＝∠BAD＝60°．
∵AD＝CD，
∴，
∴∠ACB＝90°．
∵BC＝4，
∴AB＝2BC＝8．
根据勾股定理得，
∴．
故答案为：．
16．（4分）如图，点A，D在反比例函数的图象上，CD垂直y轴，垂足为C，AB⊥CD，垂足为B．若四边形OABD的面积为8，BD＝2CD，则k的值为 ﹣4 ．
【解答】解：设点D坐标为（m，）（m＜0，k＜0），
∵BD＝2CD，
∴B（3m，），C（0，），A（3m，），
∴AB＝＝，OC＝，BC＝﹣3m．
∵四边形OABC的面积﹣S△OCD＝8，
∴（AB+OC）•BC﹣丨k丨＝8，
，
解得：k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：
＝
＝
＝1﹣4
＝﹣3．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当时，．
19．（6分）解方程和不等式：
（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1），
1﹣2＝x﹣3，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣3≠0，
∴x＝2是原方程的根；
（2），
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3．
20．（6分）如图，在△ABC，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC交BC于点F，连接BE，且∠DFB＝∠ABE，求证：△ABC≌△DEB．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，∠C＝∠BFD，
∵∠DFB＝∠ABE，
∴∠C＝∠DBE，
在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB（ASA）．
21．（6分）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 200 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 72° ；
（2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 60 人；
（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
【解答】解：（1）本次被调查的学生有：70÷35%＝200（人），
扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：＝72°，
故答案为：200，72°；
（2）条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：200﹣40﹣70﹣30＝60（人），
故答案为：60；
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为＝．
22．（6分）阅读理解
材料1：观察数轴可知，当x＞0时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当：x＜0时，随着x的不断增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：
．根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的不断增大，的值 减小 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的不断增大，的值 减小 （增大或减小）；
（2）当x＞3时，随着x的不断增大．的值无限接近一个数，请求出这个数．
【解答】解：（1）∵当x＞0时，随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，的值减小；
∵当x＜0时，随着x的增大而减小，
∵，
∴随着x的增大，的值减小，
故答案为：减小，减小；
（2）∵，
∵当x＞3时，随着x的不断增大，的值无限接近0，
∴的值无限接近5．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D．
（1）求证：∠BCD＝∠A；
（2）若，BD＝6，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∴∠ACO＝∠DCB，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠BCD＝∠A；
（2）解：∵，
∴，
设BC＝3x，AC＝4x，
∴AB＝＝5x，
∵∠BCD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴设CD＝3x，AD＝4x，
∴AB＝4x﹣6，
∴OC＝OA＝AB＝2x﹣3，
∵∠OCD＝90°，
∴OC2+CD2＝OD2，
∴（2x﹣3）2+（3x）2＝（2x﹣3+6）2，
解得x＝，x＝0（不合题意舍去），
∴⊙O的半径为．
24．（6分）（科技成就）随着5G技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为i＝1：2.4的小山坡AQ上新建了一座大型的网络信号发射塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌：MN，当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米．求信号塔PQ的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【解答】解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，可得QG⊥BA，
∵QA＝3.9米，QG：AG＝1：2.4，
∴设QG＝x米，则AG＝2.4x，
∴x2+（2.4x）2＝3.92，
解得：x＝1.5，
则AG＝2.4x＝3.6，
∴EF＝NG＝4.4+3.6＝8（米），
在Rt△PEF中，
故tan53°＝＝≈1.33，
解得：PF＝10.64（m），
∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣1.5＝1.5（m），
∴PQ＝10.64+1.5≈12.1（m）．
答：信号塔PQ的高约为12.1m．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接AP、AC、BP、BC，线段AC与BP交于点Q，设△PAQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2取最大值时，求点P的坐标；
（3）当﹣1≤x＜m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣4（a≠0），
得：，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）由（1）知y＝x2﹣3x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵A（4，0），B（﹣1，0），
∴AB＝4﹣（﹣1）＝5；
∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
，
当点P与二次函数图象的顶点重合时，|yP|取最大值，S1﹣S2取最大值，
此时点P的坐标为；
（3）由（2）得，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
①当时，x＝﹣1，y有最大值0，
x＝m，y有最小值m2﹣3m﹣4，
最大值与最小值的差为：0﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+3m+4，不是定值，不合题意；
②当时，，y有最小值，
x＝﹣1，y有最大值0，
最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意；
③当m＞4时，，y有最小值，
x＝m，y有最大值m2﹣3m﹣4，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
26．（8分）【问题提出】
如图1，在△ABC中，AC＝AB，BC＝4，作BD⊥AB，垂足为B，且BD＝AB，连接CD，求△BCD的面积．
【问题解决】
某市着力打造宜居宜业现代化生态城市，为了呈现出园在城中秀，湖在园中美的迷人画卷，如图2所示，现在一处空地上规划一个五边形湖景公园ABCDE．按设计要求，要在五边形湖景公园ABCDE内挖个四边形人工湖EFGH，使点F，G分别在边CD，BC上，且ED＝EF＝FG＝100m，∠EFG＝90°，∠EHG＝60°．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，BC＝600m，DC＝500m．为满足人工湖的造景需要，想让人工湖面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形人工湖EFGH？若存在，求四边形EFGH面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，如图：
∵AB＝AC，
∴CE＝BE＝2，∠EAB+∠ABE＝90°，
∵∠ABE+∠ABD+∠DBF＝180°，∠ABD＝90°，
∴∠DBF＝BAE，
∵∠DFB＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠BDF，
又∵AB＝BD，
∴△ABE≌△BDF（ASA），
∴DF＝BE＝2，
∴S△BCD＝BC•DF＝×4×2＝4；
（2）存在，
作△EHG的外接圆，取EG中点N，连接HN，如图：
∵EF＝FG＝100，∠EFG＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴S△EFG＝EF2＝50000（m2），EG＝200m，
∵∠EHG＝60°，为定值，
∴△EHG外接圆唯一，
∴当EH＝GH时，△EHG面积最大，
此时，△EHG为等边三角形，
∴EN＝NG＝100m，
∴HN＝100m，
∴S△EHG＝EG•HN＝×200×100＝50000（m2），
∴S四边形EFGH＝50000+50000（m2），
∴四边形EFGH面积的最大值为（50000+50000）平方米．甲
乙
丙
丁
平均时间（s）
50.1
51.3
50.1
50.0
方差
0.9
0.9
1.3
57.8
甲
乙
丙
丁
平均时间（s）
50.1
51.3
50.1
50.0
方差
0.9
0.9
1.3
57.8