09，2024年江苏省泰州市海陵区中考一模数学试题

这是一份09，2024年江苏省泰州市海陵区中考一模数学试题，共31页。

请注意：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分选择题(共18分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上)
1. 等于（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．
利用绝对值的意义求解即可．
【详解】解：，
故选：B．
2. 下列是泰州市单声珍藏文物馆的四件文物，其中主视图与左视图形状相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据三视图的确定方法，进行判断即可．
【详解】解：A选项的主视图和左视图不相同，不符合题意；
B选项的主视图和左视图不相同，不符合题意；
C选项的主视图和左视图不相同，不符合题意；
D选项的主视图和左视图不相同，符合题意；
故选D．
3. 桌面上有A、B、C三个小球按如图所示堆放，每次只可以取走一个小球，且取走A或B之前需先取走C，直到3个小球都被取走，则第二个取走的小球是A的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查概率公式，把所有可能情况找出来，根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意可知，第二个取走小球可能是A或B共两种等可能，故
第二个取走的小球是A的概率为．
故选：A
4. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 三角形的内心是三角形三条角平分线交点B. 对角线相等的四边形是菱形
C. 五边形的内角和是D. 等边三角形是中心对称图形
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形的内心的性质、菱形的判定方法、多边形的内角和及等边三角形的对称性分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
【详解】解：A、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，正确，是真命题，符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、五边形的内角和为，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图象，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
5. 下列图像不能反映y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断．
根据函数的概念解答即可．
【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意；
B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意；
C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意；
D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
6. 已知．若 (n为整数)，则n的值为（ ）
A. 123B. 124C. 125D. 126
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数大小的估算，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【详解】解：∵，而 (n为整数)，
∴，
故选：C．
第二部分非选择题(共132分)
二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
7. 的相反数是_____．
【答案】
【解析】
【详解】只有符号不同的两个数互为相反数，
由此可得的相反数是-，
故答案为：-.
8. 国家统计局2024年1月17日公布数据：2023年全年国内生产总值亿元．将数字1260582用科学记数法表示为，则n为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：1260582用科学记数法表示为，
即n的值为6．
故答案为：6．
9. 一元二次方程的根为 _____．
【答案】，＃＃，
【解析】
【分析】利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：利用公式法解一元二次方程得：，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，关键是掌握公式法求解方程．
10. 甲、乙两组同学身高(单位：cm)的数据如下：
甲组：163，165，165，166，166；
乙组：163，164，165，166，167．
甲、乙两组数据的方差分别为、，则_______(填“>”，“<”或“=”)．
【答案】<
【解析】
【分析】此题考查求数据的方差，根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．
【详解】解：由题意得：
，
∴
故答案为:．
11. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键．先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵扇形的弧长=，
∴圆锥的底面半径=．
故答案是：10．
12. 整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．根据3个小正方形的面积加上3个小矩形的面积和等于大的矩形面积即可求解．
【详解】解： 图中3个小正方形的面积加上3个小矩形的面积和为：
，
大矩形的面积为：，
根据面积相等有：．
故答案为：．
13. 如表是某次校园足球比赛积分榜的部分数据，请探索其中的计分规则，算出A队的积分a为________．
【答案】19
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据B队和D队积分求得胜一场和负一场的得分，再结合C队即可求得平一场的得分，即可求得A队的积分．
【详解】解：设胜一场得x分，平一场的y分，负一场的z分，
由B队和D队可得，，解得，
代入C队即可得，，解得，
则A队的积分．
故答案为：19．
14. 当时，对于x的每一个值，关于x的一次函数的值都小于一次函数的值，则k的所有整数值为_________．
【答案】2或3
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，当时，求得，进而可求解，再根据题意得，进而可求解，求出k的取值范围是解题的关键．
【详解】解：当时，，
把代入得：，
解得：，
当时，对于x的每一个值，关于x的一次函数的值都小于一次函数的值，
，
k的所有整数值为2或3，
故答案为：2或3．
15. 如图，，，以为直径作半圆O，P为弧上一点，且最大，延长、，交于点D．则的值为_________．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理，根据切线的性质和判定得到，利用切线长定理得到，证明，设，，则，利用相似的性质得到，进而得到，再根据正弦的定义求解，即可解题．
【详解】解：连接，
P为弧上一点，且最大，
，，
，
与圆相切于点，与圆相切于点，
，，
，
，
，
，
设，，则，
，
，，
，
，
，
，
．
16. 如图，将沿翻折得四边形，，M、N分别是的中点，则长的范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，分平行四边形是矩形时，的值最大，过点M作于点，得四边形是矩形，求得由勾股定理可得；若平行四边形的顶点在同一条直线上时，的值最小，根据可求的值，从而可求出本题的结论．
【详解】解：若平行四边形是矩形时，的值最大，如图1，
则
过点M作于点，则四边形是矩形，
∴
∵是的中点，
∴
∴
由折叠得，
又为的中点，
∴
∴
在中，；
若平行四边形的顶点在同一条直线上时，的值最小，如图2，
此时，
∴
∵M、N分别是的中点，
∴，
∴
∴长的范围是,
故答案为：
三、解答题(本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算和分式的化简．
（1）结合二次根式、负整数指数幂、三角函数进行实数的运算即可；
（2）根据分式的运算法则计算即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
18. 近年来，各地以“大阅读”行动为抓手，创新搭建丰富多彩的阅读平台，积极策应全民阅读、书香城市建设．开展“大阅读”行动之后，某学校随机调查了本校七（1）班6名学生的前一周课外阅读情况，具体调查结果如下图：
（1）调查的这6名学生前一周课外阅读次数的中位数是 次，调查的这6名学生前一周平均每次课外阅读时长的众数是 小时；
（2）开展“大阅读”活动之后，学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到3小时．请计算这6名学生前一周人均课外阅读总时长．并估计七（1）班前一周人均课外阅读总时长能否达到学校目标？
【答案】（1）4.5，0.5
（2）4小时，能达到学校目标
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、加权平均数，掌握频数统计方法是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
（1）根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（2）根据样本中这6名学生前一周课外阅读次数，每次课外阅读时长可求出答案．
【小问1详解】
解：调查的这6名学生前一周课外阅读次数排列为3，4，4，5，6，7，
∴中位数是（次，
调查的这6名学生前一周平均每次课外阅读时长的众数是0.5小时；
故答案为：4.5，0.5；
【小问2详解】
解：这6名学生前一周人均课外阅读总时长为（小时），
校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到3小时，
估计七（1）班前一周人均课外阅读总时长能达到学校目标．
19. 中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》，《周髀算经》．而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》，《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖、小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读．
（1）小颖恰好选取《周髀算经》概率为 ；
（2）将2本《九章算术》，1本《周髀算经》，1本《几何原本》分别用、、B、C表示，请用列表或树状图的方法，求小颖、小华都选取到中国数学著作的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，以及概率公式的应用，
根据题意共有4中可能得结果，满足题意得只有1种，利用概率公式求解即可；
利用列表法将所有可能得结果列出，找到满足题意得9中结果，结合概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小颖恰好选取《周髀算经》的结果有1种，则．小颖恰好选取《周髀算经》的概率为，
故答案为∶；
【小问2详解】
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小颖、小华都选取到中国数学著作的结果有6种，则小颖、小华都选取到中国数学著作的概率为．
20. 已知：如图，在中，点E为边的中点，连接、，过点B作交的延长线于点F．且．
（1）求的度数；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）40
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质，平行线的性质，结合已知，等量代换，计算的度数即可．
（2）根据平行四边形的面积计算公式，计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的面积，熟练掌握性质和面积计算公式是解题的关键．
【小问1详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，；
又∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
过点B 作于点G，
∵， 点E为边的中点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
．
21. 学校数学社团开展“测量两地间的距离”的数学活动，为了测量湖中A、B两点之间的距离，设计了如下方案：如图，在湖边选取C、D两点，使得A、B、C、D在同一平面上，测得米，，，．(参考数据，)
（1）求点B到的距离；(结果精确到1米)
（2）求的长．(结果保留根号)
【答案】（1）点B到的距离25米
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形和矩形是解题的关键．
（1）过点B 作 于点E，设，求出则，根据得到，求出x的值，即可得到答案；
（2）过点 A作于点F，证明四边形是矩形，则，求出，得到，由（1）知，，得到，由勾股定理即可得到答案．
【小问1详解】
解：过点B 作 于点E，
设，
在中，，
在中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
过点 A作于点F，
∵，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
由（1）知，，
∴，；

22. 学习下面方框内的内容，并解答下列问题：
小明在反思学习时，发现解决下列3个问题时都用到了同一种数学思想方法：
问题1：若，求的值．
解决思路：．
问题2：如图1，分别以的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和．
解决思路：将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆，则阴影面积为．
问题3：已知（），求的值．
解题思路：对已知条件进行恒等变形，，因为，所以，类似可以得到

问题：
（1）方框内3个问题的解决都用到了 的数学思想方法(从下列选项中选一个)；
A．分类讨论；B．数形结合；C．整体；D．从特殊到一般
（2）方框内问题3中的值为 ；
（3）如图2，已知的半径为5，、是的弦，且，，求与的长度之和．
【答案】（1）C （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据整体的数学思想即可解答；
（2）运用完全平方公式变形进行求解；
（3）作直径，连接，由是直径，得到，根据勾股定理求得，则，从而．
【小问1详解】
解：3个问题的解决都用到了整体的数学思想方法．
故选：C
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
即，，
∵，
∴，，
∴；
故答案为：5
【小问3详解】
解：如图，作直径，连接

∵是直径，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整体的数学思想，完全平方公式，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，同弧或等弧所对的弦相等，弧长公式，掌握整体思想，综合运用相关知识是解题的关键．
23. 学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本(m为整数)，且A种图书的数量不超过B种图书的．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：购买A种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过64本，则所购全部图书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过100本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同．
（1）若购买B种图书100本，则单价为 元/本；
（2）求m的取值范围；
（3）设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最低费用为多少？
【答案】（1）10 （2） (m为整数)
（3）m为50时，支出费用w最低，w最低费用为1937.5元
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、一次函数的实际应用、不等式的实际应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
（1）将代入中求解，即可解题；
（2）根据问题是实际意义，以及“A种图书的数量不超过B种图书的”建立不等式求解，即可解题；
（3）根据题意列出支出费用w关于的表达式，再根据二次函数的图象与性质求解，即可解题．
【小问1详解】
解：，
当时，，
购买B种图书100本，则单价为元/本；
故答案为：．
【小问2详解】
解：由题知，A种图书m本(m为整数)，则B种图书本，
A种图书的数量不超过B种图书的．
，
解得，
m的取值范围是 (m为整数)；
【小问3详解】
解：由题知，，
，
，
，
，，
当m为50时，支出费用w最低，w最低费用为元．
24. 背景知识
我们在八年级用折叠和数学推理的方法得到结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”．进一步研究“在斜边上是否只有中点到直角顶点的距离等于斜边的一半？”

问题：
（1）如图，在中，是斜边上的中线，则，请利用尺规作图的方法在斜边上另找一点E，使(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在（1）的条件下，求的长．
操作并探究
（3）中，斜边上存在两点到点C的距离等于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）以点C圆心、长为半径画弧交于点E，点E即为所求；
（2）连接，作于点H，在中，由勾股定理求得，再利用三角函数求得，勾股定理可求，点D为中点，，则，故，由“三线合一”得；
（3）分析临界状态，求出临界状态的值即可．
【详解】解：（1）以点C为圆心、长为半径画弧交于点E，点E即为所求：

（2）连接，作于点H，

∵在中，，
∴，
∵，
则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵点D为中点，，
∴，
∴，
由作图得，而，
∴；
（3）连接，作于点H，
可知点C在以D为圆心，为半径的圆上，
当点H与点D重合时，点E也与点D重合，如图：

此时，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当点C向下时，，此时斜边上存在两点D、E，
如图示：

∴，
当点C继续向下运动，点E与点B重合时，也符合条件，如图示：

此时，则为等边三角形，
∴，
∴，
∴满足斜边上存在两点到点C的距离等于，；
当当点H与点D重合时，点E也与点D重合，然后点C向上运动也符合条件，如图：

此时，则，
当点C继续向上运动，点E与点A重合时，也符合条件，如图示：

同上可求，则，
∴，
∴满足斜边上存在两点到点C的距离等于，，
综上的取值范围是：．
【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，点是y轴正半轴上一点，点B是反比例函数图像上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点D在第一象限．设点B的横坐标为m()．

（1）若，求点B和点D的坐标；
（2）若，点D落在反比例函数图像上，求m的值；
（3）若点D落在反比例函数图像上，设点D横坐标为n()，试判断是否为定值？并说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）是定值，见解析
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．
（1）将代入反比例函数为，求出点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，即可求解；
（2）将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再根据点D 落在反比例函数图像上，代入反比例解析式即可求解；
（3）将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再点D落在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，利用坐标相等即可求解；
【小问1详解】
当时，反比例函数为，
若，则将代入中，得，
点B的坐标是，
作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，

四边形是正方形，
，，
，，
，
又，，
，
，，
，
点 D 的坐标是 ．
【小问2详解】
当时，反比例函数为，
将代入中，得，
点B的坐标是，
作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，

四边形是正方形，
，，
，，
，
又，，
，
，，
，
点D的坐标是 ，
点D 落在反比例函数图像上，
，化简得，即
解得：
，
．
【小问3详解】
是定值，理由如下：
将代入中，得,
点B的坐标是，
作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，

四边形是正方形，
，，
，，
，
又，，
，
，，
，
点D的坐标是 ，
点D落在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，
点D的坐标是，
，，
，，
，
，
为定值.
26. 已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、．

知识回顾
（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长；
初步探索
（2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ；
操作并思考
（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由；
（4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长．
【答案】（1）见解析，；（2）；（3），见解析；（4）
【解析】
【分析】（1）证明，，可得，再利用相似三角形的性质可得答案；
（2）证明在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的交点为，，再进一步可得答案；
（3）过作于，证明，由，可得，再证明，从而进一步可得结论；
（4）连接， 证明，而，可得，，可得；同理可得：，，，从而可得答案；
【详解】解：（1）∵矩形中，，，点G是边的中点，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，∵，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
记与的交点为，，

∴，
∴，，
∴的最小值为，的最大值为；
（3）如图，过作于，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）如图，连接，∵，，，
∴，而，

∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
如图，同理可得：，

∴，，
∴；
综上：当时，．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
球队
胜
平
负
积分
A
6
1
1
a
B
5
0
3
15
C
2
3
3
9
D
1
0
7
3
…
…
…
…
…
B
C
B
C