新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题12函数与方程(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题12函数与方程(原卷版+解析)，共89页。

一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【方法技巧与总结】
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
【题型归纳目录】
题型一：求函数的零点或零点所在区间
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
题型四：嵌套函数的零点问题
题型五：函数的对称问题
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
题型七：唯一零点求值问题
题型八：分段函数的零点问题
题型九：零点嵌套问题
题型十：等高线问题
题型十一：二分法
【典例例题】
题型一：求函数的零点或零点所在区间
例1．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·江西萍乡·二模（文））已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·江西·模拟预测（文））已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·安徽·安庆一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A．0或B．0C．D．0或
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知是函数的零点，则_______．
例8．（2023·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．
例9．（2023·内蒙古呼和浩特·二模（文））若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
例10．（2023·浙江·高三专题练习）设是常数，若函数不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（ ）
A．或B．
C．1D．
例11．（2023·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·浙江省浦江中学高三期末）已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
例14．（2023·新疆·三模（理））函数的零点个数为___________.
例15．（2023·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，给出下列四个结论：
（1）若，则有两个零点；
（2），使得有一个零点；
（3），使得有三个零点；
（4），使得有三个零点．
以上正确结论的序号是 __．
例17．（2023·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·全国·高二）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
例19．（2023·山东枣庄·高二期末）对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例20．（2023·江西省抚州市第一中学高二月考（理））若存在两个正实数，，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
题型四：嵌套函数的零点问题
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．B．或C．或D．或或
例22．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·河南·高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
例24．（2023·安徽·马鞍山二中高二期末（文））已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例25．（2023·云南保山·高二期末（文））定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【方法技巧与总结】
1.涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2.二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
题型五：函数的对称问题
例26．（2023·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例27．（2023·内蒙古·赤峰二中三模（理））若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
例28．（2023·湖南·高三月考）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例29．（2023·浙江·高三专题练习）若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【方法技巧与总结】
转化为零点问题
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
例30．（2023·浙江奉化·高二期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例31．（2023·天津·耀华中学高二期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
例32．（2023·湖南·长沙一中高三月考（文））设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例33．（2023·天津·南开中学高三）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
题型七：唯一零点求值问题
例34．（2023·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
例35．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）
A．B．C．D．
例36．（2023·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或B．1或C．或2D．或1
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．1
例38．（2023·云南师大附中高三月考（理））已知函数有唯一零点，则（ ）
A．1B．C．D．
【方法技巧与总结】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
题型八：分段函数的零点问题
例39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例40．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，函数，若有两个零点，则m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
例41．（2023·全国全国·模拟预测（理））已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例42．（2023·北京·北师大实验中学高三月考）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
题型九：零点嵌套问题
例43．（2023·湖北武汉·高二月考）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
例44．（2023·全国·模拟预测（理））已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为（ ）
A．B．C．D．
例45．（2023·吉林·白城一中高三期末（理））已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为（ ）
A．B．C．D．1
例46．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为（ ）
A．B．C．-1D．1
【方法技巧与总结】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
题型十：等高线问题
例47．（2023·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数，若方程的个不同实根从小到大依次为，，，，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（ ）
A．B．C．D．
例48．（2023·江苏省天一中学高三月考）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例49．（2023·浙江·高一单元测试）已知函数，其中，若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例50．（2023·四川省新津中学高一开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例51．（2023·重庆市第七中学校模拟预测）已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型十一：二分法
例52．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：，，，，）
A．B．C．D．
例53．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
例54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（ ）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
例55．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·海南省直辖县级单位·三模）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（ ）个零点
A．4B．5C．6D．7
2．（2023·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．2C．4D．6
4．（2023·陕西·长安一中模拟预测（文））已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·天津·高三专题练习）设函数有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·海南·嘉积中学模拟预测）已知定义在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意；③当时，；若过点的直线与函数的图象在上恰有4个交点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三阶段练习）函数的零点个数为（ ）．
A．B．C．D．
9．（2023·四川·高三阶段练习（文））已知函数，恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·河南·模拟预测（理））已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·湖南·模拟预测）已知，则的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
二、多选题
12．（2023·辽宁·三模）已知函数为定义在R上的单调函数，且.若函数有3个零点，则a的取值可能为（ ）
A．2B．C．3D．
13．（2023·广东·高三阶段练习）设函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
B．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
C．若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
D．方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6
14．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知为常数，函数，若函数恰有四个零点，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·河北保定·一模）已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
17．（2023·山东枣庄·高三期末）已知函数，若恰有两个零点，则的可能取值为（ ）．
A．B．C．4D．6
三、填空题
18．（2023·新疆·三模（文））函数 的零点个数为_________．
19．（2023·北京昌平·二模）若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.
20．（2023·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）函数有三个不同的零点，则实数t的范围是__________.
21．（2023·云南·高三阶段练习（理））函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数m的取值范围是_________．
22．（2023·北京·模拟预测）已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
23．（2023·福建南平·三模）已知函数有零点，则实数___________.
24．（2023·四川·石室中学三模（文））若函数的图象关于直线对称，且直线与函数的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
专题12 函数与方程
【考点预测】
一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【方法技巧与总结】
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
【题型归纳目录】
题型一：求函数的零点或零点所在区间
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
题型四：嵌套函数的零点问题
题型五：函数的对称问题
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
题型七：唯一零点求值问题
题型八：分段函数的零点问题
题型九：零点嵌套问题
题型十：等高线问题
题型十一：二分法
【典例例题】
题型一：求函数的零点或零点所在区间
例1．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
首先判断函数是奇函数，由零点定义可知，，再经过变形，结合选项判断是否是函数的零点.
【详解】
因为，所以，所以函数是奇函数．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零点，故A正确，B错误；
又由，得，所以，故C错误；由，故D错误.
故选：A．
例2．（2023·江西萍乡·二模（文））已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据零点定义求出零点后可得．
【详解】
时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
例3．（2023·江西·模拟预测（文））已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.
【详解】
由已知条件得
的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示,
可知，
故选：.
例4．（2023·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】
函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
例5．（2023·安徽·安庆一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
依据函数零点存在定理去判断的零点所在的区间即可.
【详解】
为上的递增函数，
，
，
，
则函数的零点所在的区间为
故选：B
例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A．0或B．0C．D．0或
答案：A
【解析】
分析：
根据函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，得到b＝－2a，再令g(x)＝0求解.
【详解】
因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
所以b＝－2a，
所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．
令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．
故选：A
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知是函数的零点，则_______．
答案：2
【解析】
分析：
根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解.
【详解】
根据题意可得，
整理可得，
可得当，即成立，
又，
代入可得.
故答案为：.
例8．（2023·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．
答案：9
【解析】
分析：
根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.
【详解】
由，令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零点之和为9.
故答案为：9
例9．（2023·内蒙古呼和浩特·二模（文））若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
答案：
【解析】
分析：
把给定的三个等式作等价变形，比较函数的图象与曲线交点的横坐标大小作答.
【详解】
依题意，，，，，
因此，成立的x值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的y值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的z值是函数与的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象得：，即，所以x、y、z由小到大的顺序是.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的
指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性质解决.
【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
例10．（2023·浙江·高三专题练习）设是常数，若函数不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（ ）
A．或B．
C．1D．
答案：D
【解析】
分析：
令，易知是的一个零点.
只需讨论的情况：分为b=0和b≠0分类讨论.
在b≠0时，根据判别式讨论根的情况即可.
【详解】
令，即或.
显然是的一个零点.
下面讨论的根的情况：
（1）b=0时，.不符合题意.
（2）b≠0时，
①若时，有或，此时没有实数根，符合题意；
②若时，有或，
若，的根为，所以有一个零点，符合题意；
若，的根为，所以有两个零点，不符合题意；
③若时，有或，此时有实数根，要使函数不可能有两个零点，只需不是的根，所以，即， 符合题意；
故选：D
【点睛】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
例11．（2023·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据题意得，令，，则函数在上存在零点等价于与的图像有交点，再根据的单调性求解即可.
【详解】
根据题意，令，所以，
令，，
则函数在上存在零点等价于与的图像有交点．
，
令，，
则，故在上单调递增，
因为，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
又时，，故，，所以.
故选：D．
【点睛】
利用导数研究函数零点的核心是根据题意构造合适的函数，通过研究函数的单调性，进而确定函数大致图形，数形结合，有助于简化题目.
例12．（2023·浙江省浦江中学高三期末）已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：D
【解析】
分析：
求出函数，再根据给定图象与x轴交点横坐标即可计算判断作答.
【详解】
依题意，，求导得，
观察的图像得：，即，的另一个零点为，即，
所以有，.
故选：D
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.
【详解】
∵和在上是增函数，
∴在上是增函数，
∴只需即可，即，解得.
故选：D.
【方法技巧与总结】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
例14．（2023·新疆·三模（理））函数的零点个数为___________.
答案：2
【解析】
分析：
当时，令，直接解出零点即可；当时，先判断单调性，再结合零点存在定理即可判断.
【详解】
当时，令，解得，，此时有1个零点；当时， ，显然单调递增，
又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.
故答案为：2.
例15．（2023·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
答案：10
【解析】
分析：
根据函数满足，得到函数图象关于对称，再结合奇偶性得到函数的周期性，作出函数和函数在区间，上的图象，把方程解的个数问题转化成两函数图象的交点个数问题解决．
【详解】
函数是偶函数，①，
②，的图象关于对称，
由①②得，，即，
∴函数f(x)的一个周期为4，
画出函数和函数在区间，上的图象，
方程在区间，上的解的个数就是这两个图象的交点个数，
由图象可知方程解的个数为10，
故答案为：10．
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，给出下列四个结论：
（1）若，则有两个零点；
（2），使得有一个零点；
（3），使得有三个零点；
（4），使得有三个零点．
以上正确结论的序号是 __．
答案：（1）（2）（4）
【解析】
分析：
将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作图可解.
【详解】
函数的零点的个数可转化为函数与直线的交点的个数；
作函数与直线的图象如图，
若，则函数与直线的图象在与上各有一个交点，则有两个零点，故（1）正确；
若，则当函数与直线的图象相切时，有一个零点，故（2）正确；
当时，函数与直线的图象至多有两个交点，故（3）不正确；
当且足够小时，函数与直线的图象在与上分别有1个、2个交点，故（4）正确；
故答案为：（1）（2）（4）．
例17．（2023·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据参数分离，将有且只有一个实数x满足转化为方程只要一个实数根，利用求导，得函数单调性，结合图像即可求解.
【详解】
显然不是的根.所以
因此只有一个实数x满足等价于方程只有一个实数根.
令，令，故可知：
当 时， ，此时单调递减
当 时， ，此时单调递增，当 时， ，此时单调递增，且当时，，时，，当时，，当时，，故图像如图：
故 .
故选：D
例18．（2023·全国·高二）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
答案：B
分析：
方程有解，原方程两边同除以，然后令，问题变为有解，即有解，引入函数，由导数求出它的最小值，解关于参数的不等式可得的范围．
【详解】
由得，设，，
则，则有解，设，
为增函数，，
当时，递增，当时，递减，
所以当时函数取极小值，，即，
若有解，则，即，
所以或，
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查方程有解问题，对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数值的范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围．
例19．（2023·山东枣庄·高二期末）对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
答案：A
分析：
原式可化为令,研究函数的单调性和值域，问题转化为f(x)的值域是g(x)值域的子集.
【详解】
原式可化为令
，故函数f(x)在上是单调递增的，[-a,e-a].
，故函数g(x)在
函数的大致图像为：
对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，即方程f(x)=g(x)有解，满足
故.
故答案为A.
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．
例20．（2023·江西省抚州市第一中学高二月考（理））若存在两个正实数，，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
由2x+m（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得2x+m（y﹣2ex）ln=0，
即2+m（﹣2e）ln=0，
即设t=，则t＞0，
则条件等价为2+m（t﹣2e）lnt=0，
即（t﹣2e）lnt=﹣有解，
设g（t）=（t﹣2e）lnt，
g′（t）=lnt+1﹣为增函数，
∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，
即g（t）≥g（e）=﹣e，
若（t﹣2e）lnt=﹣有解，
则﹣≥﹣e，即≤e，
则a＜0或a≥，
故答案选：C
点睛; 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。
【方法技巧与总结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
题型四：嵌套函数的零点问题
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A．B．或C．或D．或或
答案：A
【详解】
在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：
令，则方程必有两个根，且，不仿设 ，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
例22．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
设，根据的解析式，可得的单调性、奇偶性，即可作出的图象，即可求得t的最小值，利用导数判断的单调性，结合t的范围，作出的图象，数形结合，可得 时，的图象与图象有2个交点，此时与分别与有2个交点，即即有四个不同的解，满足题意，即可得答案.
【详解】
设，则有四个不同的解，
因为，
所以为偶函数，且当时，为增函数，
所以当时，为减函数，
所以，即，
当时，，
则，
令，解得，
所以当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
又，
作出时的图象，如图所示：

所以当时，的图象与图象有2个交点，且设为，
作出图象，如下图所示：
此时与分别与有2个交点，即有四个不同的解，满足题意.
综上实数m的取值范围为.
故选：A
【点睛】
解题的关键是根据解析式，利用函数的性质，作出图象，将方程求根问题，转化为图象求交点个数问题，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
例23．（2023·河南·高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：C
分析：
首先利用导函数求的单调性，根据其单调性作出的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.
【详解】
因为，所以，
当，；当，，
所以在和单调递减，在单调递增，
且当时，，，
故的大致图象如图所示：
关于的方程等价于，
即或，
由图知，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，
故选:C.
例24．（2023·安徽·马鞍山二中高二期末（文））已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
答案：C
分析：
先画出函数的图象，令，由题意中的恰有个不同的实数解，确定方程的根的取值情况，继而求出的范围
【详解】
，则
当时，，单调递增
当时，，单调递减
如图所示：
令，则有
即
解得
故
即
故选
【点睛】
本题考查了复合函数根的情况，在解答此类题目时需要运用换元法，根据原函数图像，结合实数点的个数，确定方程根的取值范围，从而进行转化为方程根的情况，然后求解，本题需要进行转化，有一定难度．
例25．（2023·云南保山·高二期末（文））定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（ ）
A．12B．16C．20D．24
答案：C
分析：
设，作出函数的图象，根据关于的方程恰有5个不同的实数解，得到的取值情况，结合图象利用对称性，即可求出结论．
【详解】
设，则关于的方程等价为，
作出的图象如图：由图象可知当时，方程有三个根，
当时方程有两个不同的实根，
∴若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，
则等价为有两个根，一个根，另外一个根，
不妨设，对应的两个根与，与分别关于对称，
则，则，且，
则，
故选：C．
【方法技巧与总结】
1.涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2.二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
题型五：函数的对称问题
例26．（2023·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
答案：A
分析：
将问题转化为直线与在和上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出与的两段图像相切的斜率即可求出的取值范围.
【详解】
直线关于直线的对称直线为，
则直线与的函数图像有个交点，
当时，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
作出与直线的函数图像，如图所示：
设直线与相切，切点为，
则 ，解得，
设直线与相切，切点为，
则，解得，
与的函数图像有个交点，
直线与在和上各有个交点，

故选：A
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.
例27．（2023·内蒙古·赤峰二中三模（理））若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案：C
分析：
根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称，作出函数的图像关于原点对称的图像，再作出函数，由图像可得结论
【详解】
解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称.
可作出函数的图像关于原点对称的图像，看它与函数交点个数即可.如图所示：
当x=1时，
观察图象可得：它们有2个交点.
故选：C.
例28．（2023·湖南·高三月考）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
根据题意转化为函数与函数的图象恰好有两个交点，即方程在上有两个不同的解，构造函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
由题意知函数恰有两个“姊妹点对”，
等价于函数，与函数，的图象恰好有两个交点，
所以方程，即在上有两个不同的解，
构造函数，则，
当时，，函数区间上单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，所以函数在区间上单调递增，
令，解得，所以函数在区间上单调递减，
所以，解得，
又由，所以函数在上有且仅有一个零点，
令，则，
令，解得，所以函数在区间上单调递增，
令，解得，所以函数在区间上单调递减，
所以，
所以，即，
又由，
所以函数在上有且仅有一个零点．
综上可得：，即实数的取值范围是．
故选：A.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
例29．（2023·浙江·高三专题练习）若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：B
分析：
问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论.
【详解】
设是关于原点对称函数图象上的点，
则点P关于原点的对称点为在上，
，设，
“和谐点对”的个数即为与在交点的个数，
于是，化为，
令，下面证明方程有两解，
由于，所以，解得，
∴只要考虑即可，
，在区间上单调递增，
而，，
∴存在使得，
当单调递减，
单调递增，
而，，，
∴函数在区间，分别各有一个零点，
即的“和谐点对”有2个.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
【方法技巧与总结】
转化为零点问题
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
例30．（2023·浙江奉化·高二期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
将条件转化为有解，然后利用导数求出右边函数的值域即可.
【详解】
因为函数至少存在一个零点
所以有解
即有解
令，
则
因为，且由图象可知，所以
所以在上单调递减，令得
当时，单调递增
当时，单调递减
所以
且当时
所以的取值范围为函数的值域，即
故选：A
【点睛】
1.本题主要考查函数与方程、导数与函数的单调性及简单复合函数的导数，属于中档题.
2. 若方程有根，则的范围即为函数的值域
例31．（2023·天津·耀华中学高二期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】
函数定义域是， ，，设，则，设，则，，
易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，，函数至少有一个零点，则，．故选A．
考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．
【名师点睛】
本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数的最小值不大于0，因此要确定的正负与零点，又要对求导，得，此时再研究其分子，于是又一次求导，最终确定出函数的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大．
例32．（2023·湖南·长沙一中高三月考（文））设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
由题意得，构造新函数，通过利用函数的单调性，可知在处取最小值，函数至少存在一个零点，只需即可，即可求出实数的取值范围.
【详解】
依题意得，函数至少存在一个零点，且，
可构造函数和，
因为，开口向上，对称轴为，所以为单调递减，为单调递增；
而，则，由于，所以为单调递减，为单调递增；
可知函数及均在处取最小值，所以在处取最小值，
又因为函数至少存在一个零点，只需即可，即：
解得：.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的图象与性质的应用问题，通过构造新函数以及利用二次函数性质和导数求出函数的单调性进而求出函数最小值，结合零点求出参数范围．
例33．（2023·天津·南开中学高三）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】
令,则，设，令， ，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D．
点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数， 的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解．
题型七：唯一零点求值问题
例34．（2023·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
分析可知函数存在极小值且满足，由此可得出，构造函数，其中，利用导数分析得出函数在区间上为减函数，可求得的值，进而可求得的值.
【详解】
函数的定义域为，则，，
则，
所以，函数在上为增函数，
当时，，当时，，
则存在，使得，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
，
由于函数有唯一零点，
则，
由，解得，
所以，，
令，其中，
，
，则，，，则，
所以，函数在上单调递减，且，，
从而可得，解得.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
例35．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
首先利用方程组的方法分别求函数和的解析式，令，利用导数分析函数的单调性，以及极值点，利用函数有唯一的零点，可知极小值，利用平移可知，求正实数的值.
【详解】
由已知条件可知
由函数奇偶性易知
令，为偶函数.
当时，，
单调递增，当时，单调递减，仅有一个极小值点
图象右移一个单位，所以仅在处有极小值，
则函数只有一个零点，即，
解得，
故选：A
【点睛】
本题考查函数解析式，导数分析函数的单调性，极值的综合问题，本题的关键是利用函数的性质，求函数的解析式.
例36．（2023·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或B．1或C．或2D．或1
答案：A
分析：
根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出和都关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.
【详解】
解：已知，①
且，分别是上的偶函数和奇函数，
则，
得：，②
①+②得：，
由于关于对称，
则关于对称，
为偶函数，关于轴对称，
则关于对称，
由于有唯一零点，
则必有，，
即：，
解得：或.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数基本性质的应用，涉及函数的奇偶函数，对称性和零点，考查函数思想和分析能力.
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则
A．B．C．D．1
答案：C
【详解】
因为，设，则
，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
例38．（2023·云南师大附中高三月考（理））已知函数有唯一零点，则（ ）
A．1B．C．D．
答案：D
分析：
把函数等价转化为偶函数，利用偶函数性质，有唯一零点，由得解.
【详解】
因为，
令 则，
因为函数有唯一零点，
所以也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函数对称性得，所以，解得，
故选：D.
【点睛】
本题考查函数零点的情况求参数的值，属于中档题.
【方法技巧与总结】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
题型八：分段函数的零点问题
例39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
作出的图象，函数有两个零点，即与有两个交点，根据图象，利用数形结合即可求解结果.
【详解】
作出的图象，如图所示，
当与相切时，设切点为，
则有，解得，
所以相切时的斜率；
将函数的图象顺时针旋转，
当时，与有2个交点，满足题意；
当时，与有3个交点，不满足题意；
当时，与有1个交点，不满足题意；
当时，与有0个或1个交点，不满足题意.
故选：D.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
例40．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，函数，若有两个零点，则m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
答案：A
分析：
存在两个零点，等价于与的图像有两个交点，数形结合求解.
【详解】
存在两个零点，等价于与的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图像：
由图可知，当直线在处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，
故：，解得：
故选：A.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
例41．（2023·全国全国·模拟预测（理））已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
将函数的零点问题转化为方程的根的问题，变换方程的形式，从而转化为两个曲线的交点问题，作出函数的大致图象，数形结合求解即可．
【详解】
解法一：函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，等价于函数与函数的图象有两个不同的交点．
，，
作出函数与的大致图象如图所示，
数形结合可知：当时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数有两个不同的零点．
解法二：函数有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，等价于函数与函数的图象有两个不同的交点．
，，
作出函数与函数的大致图象如图所示．
数形结合可知：当时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数有两个不同的零点．
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
例42．（2023·北京·北师大实验中学高三月考）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
先把原命题转化为由两个零点，再数形结合分析得到的取值范围.
【详解】
令，所以.
当时，在上单调递增，则
当时，，此时
函数的图象如图:
函数有两个零点,即方程有两个实数根.
所以
故选:C.
【方法技巧与总结】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
题型九：零点嵌套问题
例43．（2023·湖北武汉·高二月考）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
答案：A
分析：
令，求得导数和单调性，画出图象，从而考虑有两个不同的根，从而可得或，结合图象可得，，，结合韦达定理即可得到所求值．
【详解】
解：令，则，
故当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
可得处取得最小值，
，，画出的图象，
由可化为，
故结合题意可知，有两个不同的根，
故，故或，
不妨设方程的两个根分别为，，
①若，，
与相矛盾，故不成立；
②若，则方程的两个根，一正一负；
不妨设，结合的性质可得，，，，
故
又，，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，同时考查了分类讨论思想的应用，属于难题．
例44．（2023·全国·模拟预测（理））已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为
A．B．C．D．
答案：A
分析：
令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.
【详解】
令，构造，求导得，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，
若，即，则，则，且，
故，
若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.
故选A.

例45．（2023·吉林·白城一中高三期末（理））已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为
A．B．C．D．1
答案：D
分析：
令y=，从而求导y′=以确定函数的单调性及取值范围，再令=t，从而化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，从而可得a＜﹣3或a＞1，讨论求解即可．
【详解】
令y=，则y′=，
故当x∈（0，e）时，y′＞0，y=是增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＞0，y=是减函数；且=﹣∞，=，=0；
令=t，则可化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故结合题意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，
故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨设方程的两个根分别为t1，t2，
①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，
与t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；
②若a＞1，则方程的两个根t1，t2一正一负；
不妨设t1＜0＜t2，结合y=的性质可得，=t1，=t2，=t2，
故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）
=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）
=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2
又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，
∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；
故选D．
【点睛】
本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，考查了函数的零点个数问题，考查了分类讨论思想的应用．
例46．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为
A．B．C．-1D．1
答案：D
【详解】
令f（x）=0，分离参数得a=令h（x）=由h′（x）= 得x=1或x=e．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．
∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=则a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，
μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，
对于μ=， 则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．不妨设μ1＜μ2，则μ1=， =（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）
=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．
故选D．
点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强．
【方法技巧与总结】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
题型十：等高线问题
例47．（2023·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数，若方程的个不同实根从小到大依次为，，，，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
绘制出函数与有四个交点的图像，然后依次判断三个结论的对错即可.
【详解】
由题绘制函数如图所示，
可知函数的图象关于直线对称，
又，可得且，
故结论①正确，
当时，由解得，
即或，解得，，，，
此时和均成立，
故结论②正确，
由图可知，
则由得，
解得，即，
同理可得，
由①有，，
则，
解得，
则结论③正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数图像的绘制，方程根与函数图像交点横坐标之间的关系，属于中档题.
例48．（2023·江苏省天一中学高三月考）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
求导函数，由导函数确定函数的单调性，极值，函数的变化趋势，得出有3个不等实根时的范围，同时可得出中间根的范围，然后化简，引入新函数，再用导数求得函数的值域．
【详解】
，当或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
极大值，极小值，
当时，，时，，
所以当时，有三个不同的实根，
设3个不同的实根为，则，．
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，又，，
所以的取值范围是，即为的取值范围．
故选：A．
【点睛】
本题考查用导数研究方程根的问题，用导数求函数的值域．解题关键是用导数确定出函数的极值后，要得出方程有3个根的范围时还需确定函数的变化趋势，本题中不是说在极大值和极小值之间方程就有3个根的，需确定函数的变化趋势才能得出正确结论，这也是易错的地方．
例49．（2023·浙江·高一单元测试）已知函数，其中，若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
作出函数的图象，求出的取值范围，利用韦达定理求得的值，求出、关于的表达式，可得出，再利用函数的单调性结合不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
由，可得，，可得，即，
所以，，作出函数的图象如下图所示：
因为方程有四个不同的实根，则，解得，
由已知可得、是方程的两根，则，
满足，可得，
满足，可得，
因此，，
当时，随着的增大而增大，则，
因此，.
故选：B.
例50．（2023·四川省新津中学高一开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.
【详解】
作出函数的图象，如图所示：

方程有四个不同的实根，，，，满足，
则，
即：，所以，
，所以，根据二次函数的对称性可得：，
，
考虑函数单调递增，
，
所以时的取值范围为.
故选：A
【点睛】
此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.
例51．（2023·重庆市第七中学校模拟预测）已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为
A．B．C．D．
答案：C
分析：
画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．
【详解】
函数f（x）的图象如下图所示：
当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，
|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x22，
|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，
且x1+x2+x3+x4＝8，
若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，
则k恒成立，
由[（x1+x2）﹣48]≤2
故k≥2，
故实数k的最小值为2，
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．
题型十一：二分法
例52．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：，，，，）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
根据函数特点及所给数据计算相关函数值，再结合零点存在定理即可获得解答.
【详解】
由题意可知：
，
，
又因为函数在上连续，所以函数在区间上有零点，
约为
故选：C.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
例53．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案：B
【解析】
分析：
由题可得经过n次操作后，区间的长度为，令即可求解.
【详解】
根据题意，原来区间的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过n次操作后，区间的长度为，若，即.
故选：B．
例54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（ ）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
答案：C
【解析】
分析：
按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．
【详解】
在上单调递增.
设近似值为，
由表格有，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查了二分法求近似根的解法步骤，在解题时要注意先判断该解区间是否单调，然后再进行计算，此类题计算量较大，要避免计算错误．属于基础题.
例55．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
答案：
【解析】
分析：
由题意构造函数，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．
【详解】
解：令，其在定义域上单调递增，
且，，
，
由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．
故答案为：．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·海南省直辖县级单位·三模）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（ ）个零点
A．4B．5C．6D．7
答案：C
【解析】
分析：
根据题意可得的对称性，再画出的图象，再数形结合判断的图象交点个数即可
【详解】
的零点个数即的图象交点个数.因为为奇函数，故关于原点对称，故关于对称，又为偶函数，故关于对称，又当时，，画出图象，易得函数的图象有6个交点
故选：C
2．（2023·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解.
【详解】
解：令，得，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：若有4个零点，
则实数a的取值范围是，
故选：A
3．（2023·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．2C．4D．6
答案：B
【解析】
分析：
结合函数的对称性求得正确答案.
【详解】
令，得，
图象关于对称，在上递减.
，令，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，
，在上递增，
所以与有两个交点，
两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.
故选：B
4．（2023·陕西·长安一中模拟预测（文））已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
计算出的值，利用零点存在定理求出、所在区间，由此可得出、、的大小关系.
【详解】
因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为，，所以，，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，因此，.
故选：A.
5．（2023·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
作出图象，由图可得有个交点．
【详解】
零点个数就是图象交点个数，
作出图象，如图：
由图可得有个交点，
故有个零点．
故选：B ．
6．（2023·天津·高三专题练习）设函数有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
分段函数分段处理，显然有1个零点，所以有4个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证之间有4个零点即可.
【详解】
易知函数、在上为增函数，
所以当时，函数单调递增，
当无限接近0时，，当时，，
所以函数在上存在一点，使得，
即在上有且只有一个零点；
所以当时，函数有4个零点，
令，即Z，解得Z，
由题可得区间内的4个零点分别是，
所以即在之间，
即，解得
故选：A
7．（2023·海南·嘉积中学模拟预测）已知定义在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意；③当时，；若过点的直线与函数的图象在上恰有4个交点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据条件可知是周期为2的函数，作出函数图像，数形结合即可得解.
【详解】
因为函数的图象关于轴对称，所以为偶函数，即，又因为对于任意，所以，
从而，即是周期为2的函数，
结合当时，，可作出在的图像以及直线的图像，如下图所示：
当时，易知，则直线的斜率，
过点的直线与函数的图象在上恰有4个交点，则只需直线斜率的取值范围是.
故选：D.
8．（2023·全国·高三阶段练习）函数的零点个数为（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
将的零点问题转化为函数，与函数的焦点个数.
【详解】
令，得；
在同一直角坐标系中分别作出，的大致图象如图所示；
观察可知，两个函数的图象有个交点（其中个交点的横坐标介于到之间，另外两个交点分别为，，故函数的零点个数为，
故选：D．
9．（2023·四川·高三阶段练习（文））已知函数，恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
数形结合，做出图像即可根据零点个数求参数.
【详解】
解：由题意得：
作出函数的图象，如图所示，由，得，则直线与的图象恰有两个交点，数形结合得的取值范围是.
故选：B
10．（2023·河南·模拟预测（理））已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
设，则求出值，可得，由分离参数，结合图象即可求解．
【详解】
因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则，，即，
因为函数为增函数，且，所以，.
当时，由，得；当时，由，得.
结合函数的图象可知，若有3个零点，则．
故选：A
11．（2023·湖南·模拟预测）已知，则的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
答案：B
【解析】
分析：
首先谈论，利用导数研究的单调性，进而确定出所在的区间，再根据偶函数的性质，求出的解集.
【详解】
当时，，在恒成立，
∴在单调递增，且，
∴当时，，
，
是偶函数，
∴的解集是或，
故选：B.
二、多选题
12．（2023·辽宁·三模）已知函数为定义在R上的单调函数，且.若函数有3个零点，则a的取值可能为（ ）
A．2B．C．3D．
答案：BC
【解析】
分析：
设，则求出值，可得，由分离参数，结合图象即可求解．
【详解】
因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则，，即，
因为函数为增函数，且，所以，.
当时，由，得；当时，由，得.
结合函数的图象可知，若有3个零点，则．
故选：BC
13．（2023·广东·高三阶段练习）设函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
B．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
C．若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
D．方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6
答案：AD
【解析】
分析：
作出的图像，利用函数与方程之间的关系，分析问题，即可得出答案．
【详解】
解：对于A：作出的图像如下：
若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设，
则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根，
所以，，所以，所以，
所以，故A正确；
对于B：由上可知，，，且，
所以，
所以，，
所以，
所以，故B错误；
对于C：方程的实数根的个数，即可函数与的交点个数，因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，
当与相切时，设切点为，
即，所以，解得，所以，所以，
所以当与相切时， 即时，此时有4个交点，
若有4个实数根，即有4个交点，
当时由图可知只有3个交点，当时，令，，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，所以当时，函数取得极大值即最大值，，又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故C错误；
对于D：，
所以，
所以或，
由图可知，当时，的交点个数为2，
当，0时，的交点个数为3，
当时，的交点个数为4，
当时，的交点个数为1，
所以若时，则，交点的个数为个，
若时，则，交点的个数为3个，
若，则，交点有个，
若且时，则且，交点有个，
若，交点有1个，
综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D正确；
故选：AD．
14．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知为常数，函数，若函数恰有四个零点，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
当时，得到是函数的一个零点，当时，令，转化为和的图象由三个不同的交点，作出函数的图象，结合图象和选项，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
当时，可得，此时是函数的一个零点；
当时，令转化为，
其中，要是使得有三个零点，
只需和的图象有三个不同的交点，
作出函数的图象，如图所示，
结合图象，可得当或.
结合选项，实数的值可以是和.
故选：AC.
15．（2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
答案：BCD
【解析】
分析：
换元，将原方程根的个数问题转化二次函数零点的分布问题，结合图象可解.
【详解】
令，记的两个零点为，则由的图象可知：方程有5个不同的实根与的图象共有5个交点，且（不妨设）.
则解得.
故选：BCD
16．（2023·河北保定·一模）已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
答案：BD
【解析】
分析：
在同一直角坐标系中画出的图象，可判断AB，然后结合不等式的性质可判断CD.
【详解】
函数在同一坐标系中的图象如下：
所以，
所以
所以
所以，
故选：BD
17．（2023·山东枣庄·高三期末）已知函数，若恰有两个零点，则的可能取值为（ ）．
A．B．C．4D．6
答案：BD
【解析】
分析：
根据函数的解析式，结合题意和函数的图象，分类讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】
因为函数与函数交于点,
由函数图象的性质得函数与在上至多一个交点，
由题意，函数，函数有两个交点，
若时，恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足，解得；
若时，恰有一个零点，在时，恰有一个零点，
则或
解得，
结合选项，可得的可能取值为和.
故选：BD.
三、填空题
18．（2023·新疆·三模（文））函数 的零点个数为_________．
答案：1
【解析】
分析：
分和时，求函数的零点个数，可得答案.
【详解】
当 时， 有一个零点 ；
当 时，，无零点，
故函数 的零点个数为1个
故答案为：1
19．（2023·北京昌平·二模）若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.
答案：（答案不唯一）
【解析】
分析：
由零点的概念求解
【详解】
令，当时，由得，即为函数的一个零点，
故当时，有一解，得
故答案为：（答案不唯一）
20．（2023·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）函数有三个不同的零点，则实数t的范围是__________.
答案：
【解析】
分析：
作出函数的图象和直线，由它们有三个交点可得结论．
【详解】
作出函数的图象和直线，如图，
由图象可得时，直线与函数图象有三个交点，即函数有三个零点．
．
故答案为：．
21．（2023·云南·高三阶段练习（理））函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数m的取值范围是_________．
答案：
【解析】
分析：
根据题意，转化为直线与函数的图象有四个不同的交点，化简函数，画出函数的图象，结合函数的图象，即可求解.
【详解】
由题意，函数恰有4个零点，
即，即有4个不同的实数根，
即直线与函数的图象有四个不同的交点，
又由，
作出该函数的图象，如图所示，
当时，函数，其中时，；
当时，函数，其中时，，
结合图象可得，
当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，
即函数恰有4个零点时，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
22．（2023·北京·模拟预测）已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】
分析：
画出的图象，由与的图象有两个交点来求得的取值范围.
【详解】
画出的图象如下图所示，
，
即与的图象有两个交点，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
23．（2023·福建南平·三模）已知函数有零点，则实数___________.
答案：
【解析】
分析：
先由基本不等式求得，再由二次函数求得，要使函数有零点，必须同时取等，即，，解方程即可.
【详解】
由可得，当且仅当时取等，
又，当且仅当时取等，
故，当且仅当，时取等.
要使函数有零点，则且，化简得，解得.
故答案为：.
24．（2023·四川·石室中学三模（文））若函数的图象关于直线对称，且直线与函数的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．
答案：
【解析】
分析：
依题意是的两个零点，根据对称性可得和也是的零点，即可得到的解析式，整理得，令，依题意关于的方程有两个不同的实数解，，且关于的方程与中一个方程有两个相同的实数解，另一个方程有两个不同的实数解，即可求出（或）的值，代入计算可得；
【详解】
解：由已知可得，是的两个零点，因为函数图象关于直线，因此和也是的零点，
所以
．
由题意可知，关于的方程有三个不同的实数解．
令，则关于的方程有两个不同的实数解，，
且关于的方程与中一个方程有两个相同的实数解，另一个方程有两个不同的实数解，
则或，因此与中有一个等于，另一个大于．
不妨设，则，解得，此时，解得、满足条件，
因此．
故答案为：
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099