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新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题29弦长问题及长度和、差、商、积问题(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题29弦长问题及长度和、差、商、积问题(原卷版+解析)，共69页。
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
【题型归纳目录】
题型一：弦长问题
题型二：长度和问题
题型三：长度差问题
题型四：长度商问题
题型五：长度积问题
题型六：长度的范围与最值问题
题型七：长度的定值问题
【典例例题】
题型一：弦长问题
例1．（2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
例4．（2023·北京·高三开学考试）已知椭圆C：（其中）的离心率为，左右焦点分别为，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A，B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D.若点D恰好是与A的中点，求线段AB的长度.
题型二：长度和问题
例5．（2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及、．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值；
(3)求的最小值．
例8．（2023·全国·高三专题练习（理））已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，则的是小值为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．
题型三：长度差问题
例10．如图，已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．参考答案
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点，，，依次排序），且，求直线的方程．
例11．已知椭圆的一个焦点为，，且，在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，问：是否存在两定点，，使得为定值？若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
例12．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率大于0且过点的直线与椭圆及抛物线自上而下分别交于，，，，如图所示，若，求．
题型四：长度商问题
例13．（2023·北京·人大附中模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.
例15．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
例19．（2023·湖南·高三阶段练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
例20．（2023·浙江·杭师大附中模拟预测）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为，求；
(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E：的离心率为，，为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，B两点），且的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点，，求的取值范围．
题型五：长度积问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆M经过定点，且与圆相内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设点T在上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和．
例23．（2023·河北·高三期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上顶点，左、右焦点分别为、，是周长为的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点，且互相垂直的直线、分别交椭圆于、两点及、两点.
①若直线过左焦点，求四边形的面积；
②求的最大值.
例24．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围．
例25．已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．
例26．（2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知抛物线：，为其焦点，过的直线与交于不同的两点．
(1)若直线斜率为3，求；
(2)如图，在点处的切线与在点处的切线交于点，连接，证明：．
例27．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
例28．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上.
(1)求C的方程；
(2)O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.
例29．（2023·新疆昌吉·二模（文））“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．
(1)以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中垂线为y轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆C（即图1中M点的轨迹）的标准方程．
(2)如图3，若直线m：与椭圆C相切于点P，斜率为的直线n与椭圆C分别交于点A，B（异于点P），与直线m交于点Q．证明：，，成等比数列．
例30．（2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知椭圆 C：，右焦点为 F(，0) ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设 M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且直线 MN 与圆 O：相切，若 T 为弦 MN的中点，求|OT||MN|的取值范围．
例31．（2023·山西·忻州一中高三阶段练习）已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.
题型六：长度的范围与最值问题
例32．（2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆的离心率为，且过点．直线与圆(其中)相切于点A．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，直线与椭圆交于两点，求的最大值；
(3)若直线与椭圆有且只有一个交点，且交点为，求的最大值．
例33．（2023·全国·高三专题练习）如图，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，过抛物线焦点F且斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接交椭圆E于点C，连接交椭圆E于点D，记直线的斜率分别为．
(1)求点P的坐标并确定当为常数时的值；
(2)求取最大值时直线l的方程．
例34．（2023·海南华侨中学模拟预测）已知椭圆，左焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若直线和椭圆交于两点，设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．
例35．（2023·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
例36．（2023·安徽·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
例38．（2023·全国·高三阶段练习（文））已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，在椭圆E上任取一点P，的周长为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点P关于原点的对称点为Q，过右焦点F2作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A、B两点，求的取值范围．
例39．（2023·河南洛阳·模拟预测（理））点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为，求的取值范围．
题型七：长度的定值问题
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知点，直线l：y=4，P为曲线C上的任意一点，且是P到l的距离的.
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为的直线交曲线C于点M､N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值.
例41．（2023·天津二中模拟预测）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线与椭圆E的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．
（i）当时，求直线的斜率；
（i i）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
例42．（2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知平面内两点，动点P满足：.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过原点的直线交椭圆于两点.若，求证：为定值.
例44．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．
专题29 弦长问题及长度和、差、商、积问题
【考点预测】
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
【题型归纳目录】
题型一：弦长问题
题型二：长度和问题
题型三：长度差问题
题型四：长度商问题
题型五：长度积问题
题型六：长度的范围与最值问题
题型七：长度的定值问题
【典例例题】
题型一：弦长问题
例1．（2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
【解析】（1）由题意知，为中点，O为的中点，故,
又 ，故，即，
所以 ，
又因为，故，所以 ，
故椭圆的标准方程为 ；
（2）由直线经过且斜率为可知直线方程为，即，
联立，消去y可得 ，解得 ，
则两点不妨取为，
故.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
答案：
【解析】∵椭圆方程为，∴焦点分别为，，
∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，，
∴，因此，．
故答案为:．
例4．（2023·北京·高三开学考试）已知椭圆C：（其中）的离心率为，左右焦点分别为，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A，B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D.若点D恰好是与A的中点，求线段AB的长度.
【解析】（1）由题设，得.
又，所以.
所以 ，
所以椭圆的方程为，
（2）设，.
由题意可知直线有斜率且不为0，故设直线的方程为，
所以直线的方程为 ，
所以 得
所以
因为点恰好是与的中点，
所以，
因为点在椭圆上，所以
解得，
当时，由，得
所以，所以
同理时，
题型二：长度和问题
例5．（2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，
所以，又，则，
故椭圆的方程为：；
（2）设､､､，
设直线的方程为，与椭圆的方程联立，
得，
∴，，
∴，
设直线的方程，与抛物线G的方程联立，
得，
∴，，
∴，
∴，
要使为常数，则，解得，
故存在，使得为定值．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值.
【解析】（1）由题意可得解得p=2.
故抛物线E的方程为.
（2）由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，，
设，，，
由消去x得.
所以，.
由AC垂直于l，直线AC的方程为
由消去x得.
所以，.
∴
.
同理可得，
所以，
令，，则，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当x=2时，取得最小值，即当时，最小值为.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及、．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值；
(3)求的最小值．
【解析】（1）由，得，
，．①，
由椭圆过点知，②．
联立①②式解得，．
故椭圆的方程是．
（2）为定值．
证明：椭圆的右焦点为，分两种情况．
不妨设当的斜率不存在时，，
则．此时，，；
当直线的斜率存在时，
设，则．
又设点，，，．
联立方程组，
消去并化简得，
，，
，
由题知，直线的斜率为，
同理可得
所以为定值．
（3）由（2）知，
，
当且仅当，即，即，时取等号，
的最小值为．
例8．（2023·全国·高三专题练习（理））已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，则的是小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】方法一：如图，，直线与交于、两点，
直线与交于、两点，由图象知要使最小，
则与，与关于轴对称，即直线的斜率为1，
又直线过点，
则直线的方程为，
联立方程组，则，
，，
，
的最小值为，
方法二：不妨设直线的倾斜角为，，则的倾斜角为，
根据焦点弦长公式可得
，
，
则，
，，
即，，
当时，或时，
或，
当或时，的最小，最小为16.
故选：A．
例9．（2023·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．
【解析】(1)圆O：与x轴的交点为，
即椭圆C的左顶点及右焦点分别为，
故 ，故 ，
所以椭圆C的方程为：；
(2)当直线，中，有一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0时，
弦长分别为 ，此时；
当直线，斜率都存在时，设,
联立，可得，，
，
，
同理，
，
令 ，则 ，
，
因为，所以，
所以的取值范围为.
题型三：长度差问题
例10．如图，已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．参考答案
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点，，，依次排序），且，求直线的方程．
【解析】抛物线，
，
点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且，
，解得，即，
故，
椭圆的焦点为，且过点，
，解得，
故椭圆方程为．
过点的直线的斜率不存在时，则，不符合题意，
故设直线的斜率为，则直线方程为，
联立抛物线方程，化简整理可得，，
设，，，，
则，
故，
联立，化简整理可得，，
设，，，，
则，，
则，
又，
故，即，化简整理可得，，解得，
由题图可得，，即，
故直线的方程为．
例11．已知椭圆的一个焦点为，，且，在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，问：是否存在两定点，，使得为定值？若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得，
椭圆的两个焦点为，，，，
因为点，在椭圆上，
所以根据椭圆的定义可得，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，，，，，，，则，，
所以，，
由得：，
消去，，得，
所以点在双曲线上，
因为的两个焦点为，，实轴长为，
所以存在两定点，，使得为定值．
例12．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率大于0且过点的直线与椭圆及抛物线自上而下分别交于，，，，如图所示，若，求．
【解析】（1）易知的坐标为，所以，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，代入，得，
设，，，，则，
因为，，所以．
将代入，得．
设，，，，则，
所以，
故．
题型四：长度商问题
例13．（2023·北京·人大附中模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围．
【解析】(1)由题，
由椭圆定义，的周长为，所以
所以椭圆的方程为.
(2)当轴时，MN与x轴重合，不符合题意，
当直线与轴重合时，，所以；
当直线斜率存在且不为0时，设
，
由韦达定理
所以
同理
所以
综上所述，的取值范围是.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.
【解析】（1）将，代入椭圆方程，
解得，所以椭圆的方程为，
又，所以
（2）设直线方程为，，，
联立可得；
则，且，，
设的中点，则，，
∴坐标为，，
因此直线的方程为，从而点为，又，，
所以，令，
则，
因此当，即时，最大值为3.
所以的最大值为，此时，直线l的方程为.
例15．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
【解析】（1）由题意可得，则．
因为的渐近线方程为，即，
椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，
故椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为，
所以，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立得，则，
设、，则，，
所以,
联立可得，，
设点、，则，，
所以，，故．
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
【解析】（1）因为圆C与圆A、圆B外切，
设C点坐标，圆C半径为，
则，，
所以<4，
所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又，，，
所以其轨迹方程为；
（2）设直线为，
联立，消去y得：，
所以，
设MN中点坐标为G，则，
所以，
，
直线GP的方程为:，
，
所以，
所以=1.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
【解析】（1）由题意可得，渐近线的方程为，
设，则有，即，
因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
所以，
又离心率，即，所以，所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知，，设直线的方程为，
联立，得，
所以，
若，，则，，
所以|，
所以，
所以的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得，所以，
则，所以．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意得，
解得
故C的方程为.
（2）显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故，
解得，
此时有.
，
，
由，解得，同理可得，
所以.
因为，故.
因为，故，
故实数的取值范围是.
例19．（2023·湖南·高三阶段练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以
所以，代入直线方程，求得，
因为Q为三条中垂线的交点，所以，
有，直线方程为.
令，所以.
由椭圆可得右焦点，故．
（2）设，中点M坐标为．
相减得，.
又Q为的外心，故，
所以，直线方程为，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以当t变化时，为定值．
例20．（2023·浙江·杭师大附中模拟预测）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为，求；
(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
【解析】（1）根据题意得：，
∴抛物线方程：，椭圆方程：
联立抛物线与椭圆：，整理得：（舍）
∴
∴
（2）设
联立与椭圆：，整理得：
所以
弦长公式：
联立与抛物线：，整理得：
所以
弦长公式：
联立与，∴
P在抛物线上：，
整理得：，即
∴
∴的最大值为，当时取到最大值．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E：的离心率为，，为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，B两点），且的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点，，求的取值范围．
【解析】（1）依题意知，即，
又的周长为8，即，
因此椭圆的方程为．
（2）当时，点为点，不符合题意，舍去；
设直线l的方程为，且，，
联立，消去y可得，
则，，
所以．
设直线OP的方程为，
联立 解得或
不妨设，
所以．
故，令，，
则，
令，，
开口向上，对称轴
在上单调递增，
．
题型五：长度积问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆M经过定点，且与圆相内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设点T在上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和．
【解析】（1）设动圆圆心，半径为r，
由题意得：
得．
所以圆心M的轨迹是以，为焦点的椭圆，且
故轨迹C方程为．
（2）设，，，AB直线方程为，
，，PQ直线方程为，
联立相消得，
同理，又，
，又，．
例23．（2023·河北·高三期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上顶点，左、右焦点分别为、，是周长为的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点，且互相垂直的直线、分别交椭圆于、两点及、两点.
①若直线过左焦点，求四边形的面积；
②求的最大值.
【解析】(1)因为是等腰直角三角形，且，，
由勾股定理可得，即，则，
因为的周长为，可得，，，
因此，椭圆的标准方程为.
(2)①当直线、的斜率都存在时，设直线的方程为，其中，
设点、，
联立，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，.
当直线过左焦点，则，则，
，则直线的斜率为，同理可得，
因此，四边形的面积为；
②当直线、的斜率都存在时，，
同理可得，
此时；
当直线轴时，联立，解得，
此时，
此时直线的方程为，联立，解得，
则，此时；
当轴时，同理可得.
综上所述，，即的最大值为.
例24．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围．
【解析】解：椭圆的右焦点为，
设直线的方程为，，，，．
由，
得，
直线过焦点，△，
且，，
，
同理，
故．
由，
，
解得．
所以直线的斜率的取值范围是，，．
例25．已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．
【解析】解：（1）因为椭圆的标准方程为，记的最大值为．
由题意知解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为，当直线的斜率不存在时，，
则，不符合题意；
当直线的斜率存在时，直线的方程可设为．
由，消得．
设，，，，则、是方程的两个根，
所以，，
（法一），，
，
当时，取最大值为3，所以的取值范围．
又当不存在，即轴时，取值为．
所以的取值范围，
（法二）
，
当时，取最大值为3，所以的取值范围．
又当不存在，即轴时，取值为．
所以的取值范围．
例26．（2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知抛物线：，为其焦点，过的直线与交于不同的两点．
(1)若直线斜率为3，求；
(2)如图，在点处的切线与在点处的切线交于点，连接，证明：．
【解析】(1)由抛物线：，得，
若直线的斜率为3，则直线的方程为．
设，，
由消去得，所以，，
所以．
(2)证明：由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
抛物线方程为，即，
所以以为切点的切线方程分别为，．
由消去得，所以，，．
这两条切线的斜率分别为，．
由，故．
设，则由可得，，
当时，则，可得；
当时，则，，，所以，
可得．
因为，，所以，所以，
即．
例27．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ）由题可知，，
所以，
故直线斜率的取值范围是：；
（Ⅱ）由知，，
所以，，
设直线的斜率为，则，即，
则，，
联立直线、方程可知，，
故，，
又因为，
故，
所以，
令，，
则，
由于当时，当时，
故，即的最大值为．
例28．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上.
(1)求C的方程；
(2)O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.
【解析】(1)由已知可得，
解得，∴椭圆C的标准方程为.
(2)若直线的斜率不存在时，，
∴；
当斜率存在时，设直线l的方程为.
联立直线l与椭圆方程，消去y，得，
∴.
∵，设直线的方程为，
联立直线与椭圆方程，消去y，得，
解得.
∴，
∴，
同理，∴，
∵，
∴，故，存在满足条件，
综上可得，存在满足条件.
例29．（2023·新疆昌吉·二模（文））“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．
(1)以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中垂线为y轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆C（即图1中M点的轨迹）的标准方程．
(2)如图3，若直线m：与椭圆C相切于点P，斜率为的直线n与椭圆C分别交于点A，B（异于点P），与直线m交于点Q．证明：，，成等比数列．
【解析】(1)如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系.
设为椭圆上一点，由题意可知，
所以点轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，
因为，，所以，，则，
所以椭圆的标准方程为；
(2)由得，
依题意，又，解得．
故直线m的方程为，且．
设直线n的方程为，则，且，则，
由，得，所以，
所以．
即，且各项均不为零，故，，成等比数列．
例30．（2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知椭圆 C：，右焦点为 F(，0) ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设 M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且直线 MN 与圆 O：相切，若 T 为弦 MN的中点，求|OT||MN|的取值范围．
【解析】(1)由题可得，
∴? = 2 ，? =
∴椭圆 C 的方程为：；
(2)当直线 MN 斜率为 0 时，不妨取直线 MN 为? = ，则，
此时，则；
当直线 MN 斜率不存在，不妨取直线 MN 为x=，则，
此时，则；
当直线 MN 斜率存在且不为 0 时，设直线 MN 的方程为：，，
因为直线MN 与圆相切，
所以，即，
又因为直线 MN 与椭圆 C 交于 M，N 两点：
由，得，
则，
所以 MN 中点 T 坐标为，
则，
，
所以
又，当且仅当，即 取等号，
∴|OT||MN|；
综上所述：|OT|∙|MN|的取值范围为[，3].
例31．（2023·山西·忻州一中高三阶段练习）已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.
【解析】（1）根据双曲线的对称性，不妨设，其渐近线方程为，
因为焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
所以，
因为双曲线的离心率是，
所以，，解得
所以，双曲线的标准方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设，
直线.
联立整理得，
所以，.
故.
设直线的斜率为，同理可得.
因为直线与直线的倾斜角互补，
所以，所以，
则，即，
所以.
题型六：长度的范围与最值问题
例32．（2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆的离心率为，且过点．直线与圆(其中)相切于点A．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，直线与椭圆交于两点，求的最大值；
(3)若直线与椭圆有且只有一个交点，且交点为，求的最大值．
【解析】（1）设椭圆方程为，
由得，则，
椭圆过点，则，解得，所以，
所以椭圆方程为；
（2），圆方程为，
①当直线斜率不存在时，直线方程为或，
直线椭圆交点为，，同理直线与椭圆交点为为，三角形面积也为，
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
由得，
由，得，
，，
设，，则，，
，
，
令，，则，
令，，
所以，从而，
由①②得的最大值为；
（3）由题意直线的斜率显然存在，与（2）相同设方程为，
由直线与圆相切得，即，（*）
由（2）得直线与椭圆相切时，，即（**）,且，
，
，，
由（*）（**）两式可得，，
所以，当且仅当，即时等号成立．
综上，的最大值为2．
例33．（2023·全国·高三专题练习）如图，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，过抛物线焦点F且斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接交椭圆E于点C，连接交椭圆E于点D，记直线的斜率分别为．
(1)求点P的坐标并确定当为常数时的值；
(2)求取最大值时直线l的方程．
【解析】（1）由得．
设直线l的方程为．
由得，由韦达定理得．
又，同理可得，则
，所以当时，为常数．
（2）由（1）知，．
设直线的方程分别为．
由得，
由韦达定理得，解得，
代入直线的方程得，同理可得．
又由（1）知，，得．
所以
．
所以，令，
则，当且仅当时，等号成立，
此时直线l的方程为．
例34．（2023·海南华侨中学模拟预测）已知椭圆，左焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若直线和椭圆交于两点，设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．
【解析】（1）左焦点为， ①又点在椭圆上， ②椭圆中 ③由①②③可得： 故椭圆的标准方程为：
（2）设的坐标分别为，则有①，②，，由①-②可得：，即，将条件及，带入上式可得点的轨迹方程为，所以，所以 所以线段长度的取值范围为
例35．（2023·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
【解析】（1）由椭圆可得，所以，解得，
因为椭圆经过点，故得到，解得，
所以椭圆的方程为
（2）当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，
代入椭圆得解得，所以；
当切线不垂直轴时，设切线方程为即，
所以圆心到切线的距离，得，
把代入椭圆方程，整理得
设，则，
设，则，则
，
所以，
综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为
例36．（2023·安徽·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【解析】（1）设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，
，解得，
所以的方程为.
（2）圆的圆心为，半径圆.
①当直线的斜率不存在时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
②当直线的斜率为时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，
因为直线与圆相切，所以，得
建立方程组，消并化简得，
.
设,,则,，
所以=
而，当且仅当，即时，等号成立.
所以 ，
所以.
综上所述，的取值范围是.
例38．（2023·全国·高三阶段练习（文））已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，在椭圆E上任取一点P，的周长为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点P关于原点的对称点为Q，过右焦点F2作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A、B两点，求的取值范围．
【解析】(1)由的周长为，得，即．①
又．②
由①②解得：，．所以．
故椭圆E的方程为．
(2)设，，，，
当直线AB的斜率为0时，得：，，，
当直线AB的斜率不为0时，设直线，直线，
联立直线AB和椭圆E的方程，并消去x整理得：
，，
由韦达定理得：，，
，
联立直线PQ和椭圆E的方程，并消去y整理得：，
由韦达定理得：，，
，
所以．
令，则，
综上，的取值范围为.
例39．（2023·河南洛阳·模拟预测（理））点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为，求的取值范围．
【解析】(1)设，点P到定直线的距离为d.
由题意可得：，即，整理化简得：.
即点P的轨迹方程为.
(2)设.
当直线l的斜率不存在时，由原点O到l的距离为，由对称性不妨设直线l：.
所以满足，
解得：，所以.
当直线l的斜率存在时，可设.
因为原点O到l的距离为，所以，即.
则满足，
消去y可得：.
所以.
所以
因为，所以恒成立，所以.
所以
令则，则
综上所述：的取值范围为.
题型七：长度的定值问题
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知点，直线l：y=4，P为曲线C上的任意一点，且是P到l的距离的.
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为的直线交曲线C于点M､N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值.
【解析】（1）设,由已知得,整理得：,此即为曲线C的方程；
（2）经过点F且斜率为的直线的方程为,与曲线C方程联立得：
,消去整理得：,
恒成立,
设,则,
，
设线段的中点为,则，，
线段的中垂线的斜率为，方程为,
令,解得，即为点的纵坐标，
∴,
∴（为定值）
例41．（2023·天津二中模拟预测）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线与椭圆E的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．
（i）当时，求直线的斜率；
（i i）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)因为椭圆的左顶点A在圆上，所以，
又离心率为，所以，所以，
所以，所以的方程为.
(2)（ⅰ）设点，显然直线存在斜率，
由，设直线的方程为，
得，消去y，得，
因为-4为方程的一个根，所以，
所以，
由，
代入得到，解得，
所以直线的斜率为.
（ⅱ）圆心(0,0)到直线的距离为，
则，
所以，
整理，得，显然，，
所以不存在直线，使得．
例42．（2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知平面内两点，动点P满足：.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.
【解析】(1)因为.
所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中，
所以轨迹C的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，直线：，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若三点共线，可设直线，即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，三点共线，充分性成立；
所以三点共线的充要条件是.
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过原点的直线交椭圆于两点.若，求证：为定值.
【解析】（1）因为椭圆的一个顶点为，离心率为
可得，且，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，可得，则；
当直线的斜率存在时，依题意知，
则直线的方程为，直线的方程为，
设，
联立方程组，整理得，
则，
所以
又由，可得，则，
所以，
所以，
综上可得：.
例44．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．
【解析】(1)由椭圆的定义可知：M的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，所以，
所以C的方程为
(2)设直线l为：，
则联立得：，
设，则，，
，
则，
AB中点坐标为，
所以AB的垂直平分线为，
令得：，
所以，，
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
【题型归纳目录】
题型一：弦长问题
题型二：长度和问题
题型三：长度差问题
题型四：长度商问题
题型五：长度积问题
题型六：长度的范围与最值问题
题型七：长度的定值问题
【典例例题】
题型一：弦长问题
例1．（2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
例4．（2023·北京·高三开学考试）已知椭圆C：（其中）的离心率为，左右焦点分别为，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A，B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D.若点D恰好是与A的中点，求线段AB的长度.
题型二：长度和问题
例5．（2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及、．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值；
(3)求的最小值．
例8．（2023·全国·高三专题练习（理））已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，则的是小值为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．
题型三：长度差问题
例10．如图，已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．参考答案
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点，，，依次排序），且，求直线的方程．
例11．已知椭圆的一个焦点为，，且，在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，问：是否存在两定点，，使得为定值？若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
例12．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率大于0且过点的直线与椭圆及抛物线自上而下分别交于，，，，如图所示，若，求．
题型四：长度商问题
例13．（2023·北京·人大附中模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.
例15．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
例19．（2023·湖南·高三阶段练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
例20．（2023·浙江·杭师大附中模拟预测）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为，求；
(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E：的离心率为，，为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，B两点），且的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点，，求的取值范围．
题型五：长度积问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆M经过定点，且与圆相内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设点T在上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和．
例23．（2023·河北·高三期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上顶点，左、右焦点分别为、，是周长为的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点，且互相垂直的直线、分别交椭圆于、两点及、两点.
①若直线过左焦点，求四边形的面积；
②求的最大值.
例24．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围．
例25．已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．
例26．（2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知抛物线：，为其焦点，过的直线与交于不同的两点．
(1)若直线斜率为3，求；
(2)如图，在点处的切线与在点处的切线交于点，连接，证明：．
例27．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
例28．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上.
(1)求C的方程；
(2)O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.
例29．（2023·新疆昌吉·二模（文））“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．
(1)以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中垂线为y轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆C（即图1中M点的轨迹）的标准方程．
(2)如图3，若直线m：与椭圆C相切于点P，斜率为的直线n与椭圆C分别交于点A，B（异于点P），与直线m交于点Q．证明：，，成等比数列．
例30．（2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知椭圆 C：，右焦点为 F(，0) ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设 M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且直线 MN 与圆 O：相切，若 T 为弦 MN的中点，求|OT||MN|的取值范围．
例31．（2023·山西·忻州一中高三阶段练习）已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.
题型六：长度的范围与最值问题
例32．（2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆的离心率为，且过点．直线与圆(其中)相切于点A．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，直线与椭圆交于两点，求的最大值；
(3)若直线与椭圆有且只有一个交点，且交点为，求的最大值．
例33．（2023·全国·高三专题练习）如图，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，过抛物线焦点F且斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接交椭圆E于点C，连接交椭圆E于点D，记直线的斜率分别为．
(1)求点P的坐标并确定当为常数时的值；
(2)求取最大值时直线l的方程．
例34．（2023·海南华侨中学模拟预测）已知椭圆，左焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若直线和椭圆交于两点，设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．
例35．（2023·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
例36．（2023·安徽·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
例38．（2023·全国·高三阶段练习（文））已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，在椭圆E上任取一点P，的周长为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点P关于原点的对称点为Q，过右焦点F2作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A、B两点，求的取值范围．
例39．（2023·河南洛阳·模拟预测（理））点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为，求的取值范围．
题型七：长度的定值问题
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知点，直线l：y=4，P为曲线C上的任意一点，且是P到l的距离的.
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为的直线交曲线C于点M､N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值.
例41．（2023·天津二中模拟预测）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线与椭圆E的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．
（i）当时，求直线的斜率；
（i i）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
例42．（2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知平面内两点，动点P满足：.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过原点的直线交椭圆于两点.若，求证：为定值.
例44．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．
专题29 弦长问题及长度和、差、商、积问题
【考点预测】
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
【题型归纳目录】
题型一：弦长问题
题型二：长度和问题
题型三：长度差问题
题型四：长度商问题
题型五：长度积问题
题型六：长度的范围与最值问题
题型七：长度的定值问题
【典例例题】
题型一：弦长问题
例1．（2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
【解析】（1）由题意知，为中点，O为的中点，故,
又 ，故，即，
所以 ，
又因为，故，所以 ，
故椭圆的标准方程为 ；
（2）由直线经过且斜率为可知直线方程为，即，
联立，消去y可得 ，解得 ，
则两点不妨取为，
故.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
答案：
【解析】∵椭圆方程为，∴焦点分别为，，
∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，，
∴，因此，．
故答案为:．
例4．（2023·北京·高三开学考试）已知椭圆C：（其中）的离心率为，左右焦点分别为，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A，B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D.若点D恰好是与A的中点，求线段AB的长度.
【解析】（1）由题设，得.
又，所以.
所以 ，
所以椭圆的方程为，
（2）设，.
由题意可知直线有斜率且不为0，故设直线的方程为，
所以直线的方程为 ，
所以 得
所以
因为点恰好是与的中点，
所以，
因为点在椭圆上，所以
解得，
当时，由，得
所以，所以
同理时，
题型二：长度和问题
例5．（2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，
所以，又，则，
故椭圆的方程为：；
（2）设､､､，
设直线的方程为，与椭圆的方程联立，
得，
∴，，
∴，
设直线的方程，与抛物线G的方程联立，
得，
∴，，
∴，
∴，
要使为常数，则，解得，
故存在，使得为定值．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值.
【解析】（1）由题意可得解得p=2.
故抛物线E的方程为.
（2）由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，，
设，，，
由消去x得.
所以，.
由AC垂直于l，直线AC的方程为
由消去x得.
所以，.
∴
.
同理可得，
所以，
令，，则，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当x=2时，取得最小值，即当时，最小值为.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及、．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值；
(3)求的最小值．
【解析】（1）由，得，
，．①，
由椭圆过点知，②．
联立①②式解得，．
故椭圆的方程是．
（2）为定值．
证明：椭圆的右焦点为，分两种情况．
不妨设当的斜率不存在时，，
则．此时，，；
当直线的斜率存在时，
设，则．
又设点，，，．
联立方程组，
消去并化简得，
，，
，
由题知，直线的斜率为，
同理可得
所以为定值．
（3）由（2）知，
，
当且仅当，即，即，时取等号，
的最小值为．
例8．（2023·全国·高三专题练习（理））已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，则的是小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】方法一：如图，，直线与交于、两点，
直线与交于、两点，由图象知要使最小，
则与，与关于轴对称，即直线的斜率为1，
又直线过点，
则直线的方程为，
联立方程组，则，
，，
，
的最小值为，
方法二：不妨设直线的倾斜角为，，则的倾斜角为，
根据焦点弦长公式可得
，
，
则，
，，
即，，
当时，或时，
或，
当或时，的最小，最小为16.
故选：A．
例9．（2023·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．
【解析】(1)圆O：与x轴的交点为，
即椭圆C的左顶点及右焦点分别为，
故 ，故 ，
所以椭圆C的方程为：；
(2)当直线，中，有一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0时，
弦长分别为 ，此时；
当直线，斜率都存在时，设,
联立，可得，，
，
，
同理，
，
令 ，则 ，
，
因为，所以，
所以的取值范围为.
题型三：长度差问题
例10．如图，已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．参考答案
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点，，，依次排序），且，求直线的方程．
【解析】抛物线，
，
点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且，
，解得，即，
故，
椭圆的焦点为，且过点，
，解得，
故椭圆方程为．
过点的直线的斜率不存在时，则，不符合题意，
故设直线的斜率为，则直线方程为，
联立抛物线方程，化简整理可得，，
设，，，，
则，
故，
联立，化简整理可得，，
设，，，，
则，，
则，
又，
故，即，化简整理可得，，解得，
由题图可得，，即，
故直线的方程为．
例11．已知椭圆的一个焦点为，，且，在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，问：是否存在两定点，，使得为定值？若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得，
椭圆的两个焦点为，，，，
因为点，在椭圆上，
所以根据椭圆的定义可得，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，，，，，，，则，，
所以，，
由得：，
消去，，得，
所以点在双曲线上，
因为的两个焦点为，，实轴长为，
所以存在两定点，，使得为定值．
例12．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率大于0且过点的直线与椭圆及抛物线自上而下分别交于，，，，如图所示，若，求．
【解析】（1）易知的坐标为，所以，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，代入，得，
设，，，，则，
因为，，所以．
将代入，得．
设，，，，则，
所以，
故．
题型四：长度商问题
例13．（2023·北京·人大附中模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围．
【解析】(1)由题，
由椭圆定义，的周长为，所以
所以椭圆的方程为.
(2)当轴时，MN与x轴重合，不符合题意，
当直线与轴重合时，，所以；
当直线斜率存在且不为0时，设
，
由韦达定理
所以
同理
所以
综上所述，的取值范围是.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.
【解析】（1）将，代入椭圆方程，
解得，所以椭圆的方程为，
又，所以
（2）设直线方程为，，，
联立可得；
则，且，，
设的中点，则，，
∴坐标为，，
因此直线的方程为，从而点为，又，，
所以，令，
则，
因此当，即时，最大值为3.
所以的最大值为，此时，直线l的方程为.
例15．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
【解析】（1）由题意可得，则．
因为的渐近线方程为，即，
椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，
故椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为，
所以，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立得，则，
设、，则，，
所以,
联立可得，，
设点、，则，，
所以，，故．
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
【解析】（1）因为圆C与圆A、圆B外切，
设C点坐标，圆C半径为，
则，，
所以<4，
所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又，，，
所以其轨迹方程为；
（2）设直线为，
联立，消去y得：，
所以，
设MN中点坐标为G，则，
所以，
，
直线GP的方程为:，
，
所以，
所以=1.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
【解析】（1）由题意可得，渐近线的方程为，
设，则有，即，
因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
所以，
又离心率，即，所以，所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知，，设直线的方程为，
联立，得，
所以，
若，，则，，
所以|，
所以，
所以的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得，所以，
则，所以．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意得，
解得
故C的方程为.
（2）显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故，
解得，
此时有.
，
，
由，解得，同理可得，
所以.
因为，故.
因为，故，
故实数的取值范围是.
例19．（2023·湖南·高三阶段练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以
所以，代入直线方程，求得，
因为Q为三条中垂线的交点，所以，
有，直线方程为.
令，所以.
由椭圆可得右焦点，故．
（2）设，中点M坐标为．
相减得，.
又Q为的外心，故，
所以，直线方程为，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以当t变化时，为定值．
例20．（2023·浙江·杭师大附中模拟预测）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为，求；
(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
【解析】（1）根据题意得：，
∴抛物线方程：，椭圆方程：
联立抛物线与椭圆：，整理得：（舍）
∴
∴
（2）设
联立与椭圆：，整理得：
所以
弦长公式：
联立与抛物线：，整理得：
所以
弦长公式：
联立与，∴
P在抛物线上：，
整理得：，即
∴
∴的最大值为，当时取到最大值．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E：的离心率为，，为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，B两点），且的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点，，求的取值范围．
【解析】（1）依题意知，即，
又的周长为8，即，
因此椭圆的方程为．
（2）当时，点为点，不符合题意，舍去；
设直线l的方程为，且，，
联立，消去y可得，
则，，
所以．
设直线OP的方程为，
联立 解得或
不妨设，
所以．
故，令，，
则，
令，，
开口向上，对称轴
在上单调递增，
．
题型五：长度积问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆M经过定点，且与圆相内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设点T在上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和．
【解析】（1）设动圆圆心，半径为r，
由题意得：
得．
所以圆心M的轨迹是以，为焦点的椭圆，且
故轨迹C方程为．
（2）设，，，AB直线方程为，
，，PQ直线方程为，
联立相消得，
同理，又，
，又，．
例23．（2023·河北·高三期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上顶点，左、右焦点分别为、，是周长为的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点，且互相垂直的直线、分别交椭圆于、两点及、两点.
①若直线过左焦点，求四边形的面积；
②求的最大值.
【解析】(1)因为是等腰直角三角形，且，，
由勾股定理可得，即，则，
因为的周长为，可得，，，
因此，椭圆的标准方程为.
(2)①当直线、的斜率都存在时，设直线的方程为，其中，
设点、，
联立，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，.
当直线过左焦点，则，则，
，则直线的斜率为，同理可得，
因此，四边形的面积为；
②当直线、的斜率都存在时，，
同理可得，
此时；
当直线轴时，联立，解得，
此时，
此时直线的方程为，联立，解得，
则，此时；
当轴时，同理可得.
综上所述，，即的最大值为.
例24．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围．
【解析】解：椭圆的右焦点为，
设直线的方程为，，，，．
由，
得，
直线过焦点，△，
且，，
，
同理，
故．
由，
，
解得．
所以直线的斜率的取值范围是，，．
例25．已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．
【解析】解：（1）因为椭圆的标准方程为，记的最大值为．
由题意知解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为，当直线的斜率不存在时，，
则，不符合题意；
当直线的斜率存在时，直线的方程可设为．
由，消得．
设，，，，则、是方程的两个根，
所以，，
（法一），，
，
当时，取最大值为3，所以的取值范围．
又当不存在，即轴时，取值为．
所以的取值范围，
（法二）
，
当时，取最大值为3，所以的取值范围．
又当不存在，即轴时，取值为．
所以的取值范围．
例26．（2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知抛物线：，为其焦点，过的直线与交于不同的两点．
(1)若直线斜率为3，求；
(2)如图，在点处的切线与在点处的切线交于点，连接，证明：．
【解析】(1)由抛物线：，得，
若直线的斜率为3，则直线的方程为．
设，，
由消去得，所以，，
所以．
(2)证明：由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
抛物线方程为，即，
所以以为切点的切线方程分别为，．
由消去得，所以，，．
这两条切线的斜率分别为，．
由，故．
设，则由可得，，
当时，则，可得；
当时，则，，，所以，
可得．
因为，，所以，所以，
即．
例27．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ）由题可知，，
所以，
故直线斜率的取值范围是：；
（Ⅱ）由知，，
所以，，
设直线的斜率为，则，即，
则，，
联立直线、方程可知，，
故，，
又因为，
故，
所以，
令，，
则，
由于当时，当时，
故，即的最大值为．
例28．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上.
(1)求C的方程；
(2)O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.
【解析】(1)由已知可得，
解得，∴椭圆C的标准方程为.
(2)若直线的斜率不存在时，，
∴；
当斜率存在时，设直线l的方程为.
联立直线l与椭圆方程，消去y，得，
∴.
∵，设直线的方程为，
联立直线与椭圆方程，消去y，得，
解得.
∴，
∴，
同理，∴，
∵，
∴，故，存在满足条件，
综上可得，存在满足条件.
例29．（2023·新疆昌吉·二模（文））“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．
(1)以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中垂线为y轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆C（即图1中M点的轨迹）的标准方程．
(2)如图3，若直线m：与椭圆C相切于点P，斜率为的直线n与椭圆C分别交于点A，B（异于点P），与直线m交于点Q．证明：，，成等比数列．
【解析】(1)如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系.
设为椭圆上一点，由题意可知，
所以点轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，
因为，，所以，，则，
所以椭圆的标准方程为；
(2)由得，
依题意，又，解得．
故直线m的方程为，且．
设直线n的方程为，则，且，则，
由，得，所以，
所以．
即，且各项均不为零，故，，成等比数列．
例30．（2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知椭圆 C：，右焦点为 F(，0) ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设 M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且直线 MN 与圆 O：相切，若 T 为弦 MN的中点，求|OT||MN|的取值范围．
【解析】(1)由题可得，
∴? = 2 ，? =
∴椭圆 C 的方程为：；
(2)当直线 MN 斜率为 0 时，不妨取直线 MN 为? = ，则，
此时，则；
当直线 MN 斜率不存在，不妨取直线 MN 为x=，则，
此时，则；
当直线 MN 斜率存在且不为 0 时，设直线 MN 的方程为：，，
因为直线MN 与圆相切，
所以，即，
又因为直线 MN 与椭圆 C 交于 M，N 两点：
由，得，
则，
所以 MN 中点 T 坐标为，
则，
，
所以
又，当且仅当，即 取等号，
∴|OT||MN|；
综上所述：|OT|∙|MN|的取值范围为[，3].
例31．（2023·山西·忻州一中高三阶段练习）已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.
【解析】（1）根据双曲线的对称性，不妨设，其渐近线方程为，
因为焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
所以，
因为双曲线的离心率是，
所以，，解得
所以，双曲线的标准方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设，
直线.
联立整理得，
所以，.
故.
设直线的斜率为，同理可得.
因为直线与直线的倾斜角互补，
所以，所以，
则，即，
所以.
题型六：长度的范围与最值问题
例32．（2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆的离心率为，且过点．直线与圆(其中)相切于点A．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，直线与椭圆交于两点，求的最大值；
(3)若直线与椭圆有且只有一个交点，且交点为，求的最大值．
【解析】（1）设椭圆方程为，
由得，则，
椭圆过点，则，解得，所以，
所以椭圆方程为；
（2），圆方程为，
①当直线斜率不存在时，直线方程为或，
直线椭圆交点为，，同理直线与椭圆交点为为，三角形面积也为，
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
由得，
由，得，
，，
设，，则，，
，
，
令，，则，
令，，
所以，从而，
由①②得的最大值为；
（3）由题意直线的斜率显然存在，与（2）相同设方程为，
由直线与圆相切得，即，（*）
由（2）得直线与椭圆相切时，，即（**）,且，
，
，，
由（*）（**）两式可得，，
所以，当且仅当，即时等号成立．
综上，的最大值为2．
例33．（2023·全国·高三专题练习）如图，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，过抛物线焦点F且斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接交椭圆E于点C，连接交椭圆E于点D，记直线的斜率分别为．
(1)求点P的坐标并确定当为常数时的值；
(2)求取最大值时直线l的方程．
【解析】（1）由得．
设直线l的方程为．
由得，由韦达定理得．
又，同理可得，则
，所以当时，为常数．
（2）由（1）知，．
设直线的方程分别为．
由得，
由韦达定理得，解得，
代入直线的方程得，同理可得．
又由（1）知，，得．
所以
．
所以，令，
则，当且仅当时，等号成立，
此时直线l的方程为．
例34．（2023·海南华侨中学模拟预测）已知椭圆，左焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若直线和椭圆交于两点，设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．
【解析】（1）左焦点为， ①又点在椭圆上， ②椭圆中 ③由①②③可得： 故椭圆的标准方程为：
（2）设的坐标分别为，则有①，②，，由①-②可得：，即，将条件及，带入上式可得点的轨迹方程为，所以，所以 所以线段长度的取值范围为
例35．（2023·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
【解析】（1）由椭圆可得，所以，解得，
因为椭圆经过点，故得到，解得，
所以椭圆的方程为
（2）当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，
代入椭圆得解得，所以；
当切线不垂直轴时，设切线方程为即，
所以圆心到切线的距离，得，
把代入椭圆方程，整理得
设，则，
设，则，则
，
所以，
综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为
例36．（2023·安徽·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【解析】（1）设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，
，解得，
所以的方程为.
（2）圆的圆心为，半径圆.
①当直线的斜率不存在时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
②当直线的斜率为时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，
因为直线与圆相切，所以，得
建立方程组，消并化简得，
.
设,,则,，
所以=
而，当且仅当，即时，等号成立.
所以 ，
所以.
综上所述，的取值范围是.
例38．（2023·全国·高三阶段练习（文））已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，在椭圆E上任取一点P，的周长为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点P关于原点的对称点为Q，过右焦点F2作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A、B两点，求的取值范围．
【解析】(1)由的周长为，得，即．①
又．②
由①②解得：，．所以．
故椭圆E的方程为．
(2)设，，，，
当直线AB的斜率为0时，得：，，，
当直线AB的斜率不为0时，设直线，直线，
联立直线AB和椭圆E的方程，并消去x整理得：
，，
由韦达定理得：，，
，
联立直线PQ和椭圆E的方程，并消去y整理得：，
由韦达定理得：，，
，
所以．
令，则，
综上，的取值范围为.
例39．（2023·河南洛阳·模拟预测（理））点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为，求的取值范围．
【解析】(1)设，点P到定直线的距离为d.
由题意可得：，即，整理化简得：.
即点P的轨迹方程为.
(2)设.
当直线l的斜率不存在时，由原点O到l的距离为，由对称性不妨设直线l：.
所以满足，
解得：，所以.
当直线l的斜率存在时，可设.
因为原点O到l的距离为，所以，即.
则满足，
消去y可得：.
所以.
所以
因为，所以恒成立，所以.
所以
令则，则
综上所述：的取值范围为.
题型七：长度的定值问题
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知点，直线l：y=4，P为曲线C上的任意一点，且是P到l的距离的.
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为的直线交曲线C于点M､N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值.
【解析】（1）设,由已知得,整理得：,此即为曲线C的方程；
（2）经过点F且斜率为的直线的方程为,与曲线C方程联立得：
,消去整理得：,
恒成立,
设,则,
，
设线段的中点为,则，，
线段的中垂线的斜率为，方程为,
令,解得，即为点的纵坐标，
∴,
∴（为定值）
例41．（2023·天津二中模拟预测）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线与椭圆E的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．
（i）当时，求直线的斜率；
（i i）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)因为椭圆的左顶点A在圆上，所以，
又离心率为，所以，所以，
所以，所以的方程为.
(2)（ⅰ）设点，显然直线存在斜率，
由，设直线的方程为，
得，消去y，得，
因为-4为方程的一个根，所以，
所以，
由，
代入得到，解得，
所以直线的斜率为.
（ⅱ）圆心(0,0)到直线的距离为，
则，
所以，
整理，得，显然，，
所以不存在直线，使得．
例42．（2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知平面内两点，动点P满足：.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.
【解析】(1)因为.
所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中，
所以轨迹C的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，直线：，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若三点共线，可设直线，即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，三点共线，充分性成立；
所以三点共线的充要条件是.
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过原点的直线交椭圆于两点.若，求证：为定值.
【解析】（1）因为椭圆的一个顶点为，离心率为
可得，且，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，可得，则；
当直线的斜率存在时，依题意知，
则直线的方程为，直线的方程为，
设，
联立方程组，整理得，
则，
所以
又由，可得，则，
所以，
所以，
综上可得：.
例44．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．
【解析】(1)由椭圆的定义可知：M的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，所以，
所以C的方程为
(2)设直线l为：，
则联立得：，
设，则，，
，
则，
AB中点坐标为，
所以AB的垂直平分线为，
令得：，
所以，，
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