新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题37阿基米德三角形(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题37阿基米德三角形(原卷版+解析)，共37页。

如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．
1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．
3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．
5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．
6、点的坐标为；
7、底边所在的直线方程为
8、的面积为．
9、若点的坐标为，则底边的直线方程为．
10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.
11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．
12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．
图1
【题型归纳目录】
题型一：定点问题
题型二：交点的轨迹问题
题型三：切线垂直问题
题型四：面积问题
题型五：外接圆问题
题型六：最值问题
题型七：角度相等问题
【典例例题】
题型一：定点问题
例1．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．
例2．已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点．
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．
例3．在平面直角坐标系中，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．
（1）证明：轴；
（2）直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
变式1．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．
（1）证明：轴；
（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
题型二：交点的轨迹问题
例4．已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
例5．已知动点在轴上方，且到定点的距离比到轴的距离大1，
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，且，交于点，求证：在定直线上．
例6．已知抛物线．的焦点为，直线与轴相交于点，与曲线相交于点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，求证点的纵坐标为定值．
变式2．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）若以，为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过，分别作抛物线的切线，，证明：，的交点在定直线上．
变式3．抛物线的焦点为，抛物线过点．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程与其准线的方程；
（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线的准线上．
题型三：切线垂直问题
例7．已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点是的中点．
（1）求证：切线和互相垂直；
（2）求证：直线与轴平行；
（3）求面积的最小值．
例8．已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．
（1）若点坐标为，求切线，的方程；
（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直．
例9．已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；
（Ⅱ）设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
变式4．抛物级的焦点到直线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交抛物线于，，，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证：．
题型四：面积问题
例10．已知抛物线的方程为，点是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值．
例11．已知点，动点到点的距离比动点到直线的距离大1，动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值
例12．已知点、，直线与相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差为，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值．
变式5．如图，已知抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，，且直线交线段于点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设，的面积分别为，，求的最小值．
变式6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于、两点，过、两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值．
题型五：外接圆问题
例13．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．
（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．
例14．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．
题型六：最值问题
例15．如图，已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，与轴分别交于，．
（1）求证：直线过定点，并求出该定点；
（2）设直线与轴相交于点，记，两点到直线的距离分别为，；求当取最大值时的面积．
题型七：角度相等问题
例16．如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线、，且与抛物线分别相切于、两点．（1）求的重心的轨迹方程；
（2）证明．
例17．已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为．
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为、，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性．
专题37 阿基米德三角形
【方法技巧与总结】
如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．
1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．
3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．
5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．
6、点的坐标为；
7、底边所在的直线方程为
8、的面积为．
9、若点的坐标为，则底边的直线方程为．
10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.
11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．
12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．
图1
【题型归纳目录】
题型一：定点问题
题型二：交点的轨迹问题
题型三：切线垂直问题
题型四：面积问题
题型五：外接圆问题
题型六：最值问题
题型七：角度相等问题
【典例例题】
题型一：定点问题
例1．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．
【解析】解：（1）设，则，
，，
所以，所以
化简得，所以的方程为．
（2）由题意可设，，，，，
由题意知切线，的斜率都存在，
由，得，则，所以，
直线的方程为，即，①
因为，在上，所以，即，②
将②代入①得，
所以直线的方程为，
同理可得直线的方程为，
因为在直线上，所以，
又在直线上，所以，
所以直线的方程为，
故直线过定点．
例2．已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点．
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．
【解析】（1）证明：设，，，则，
由于，切线的斜率为，故，
整理得：．
设，，同理可得．
故直线的方程为．
直线过定点；
（2）解：由（1）得直线的方程．
由，可得．
于是．
设为线段的中点，则，
由于，而，与向量平行，
，解得或．
当时，，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为．
例3．在平面直角坐标系中，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．
（1）证明：轴；
（2）直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）设切点，，，，
因为，所以切线的斜率为，直线的方程为：，
设的坐标为：
所以，
直线的斜率为，切线的方程为，
所以点是方程，
所以，是方程的两根，，
因为为的中点．所以，
所以，的横坐标相同，
即证轴．
（2）由（1）得，
又因为，
所以直线的方程为：，即，
所以直线恒过一定点，．
变式1．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．
（1）证明：轴；
（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）证明：设切点为，，，，
即的导数为，
所以切线的斜率为，切线的方程为，
设，则有，
化简可得，
同理可得，
所以，是方程的两根，
所以，，
，
所以轴；
（2）因为，
所以，
因为，
所以直线的方程为，
即，
所以直线恒过定点．
题型二：交点的轨迹问题
例4．已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线的焦点，到直线的距离为，
，
解得或，（舍，
抛物线的方程为．
（Ⅱ）设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，
化简，得，
设，，，则，是以上方程的两根，
，，
，
直线为：，
化简，得：，定点．
（Ⅲ）设，，，
过的切线，
过的切线，
交点，
设过点的直线为
联立，得，
，，
，
．
点满足的轨迹方程为．
例5．已知动点在轴上方，且到定点的距离比到轴的距离大1，
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，且，交于点，求证：在定直线上．
【解析】解：（Ⅰ）动点（其中到轴的距离为，到轴的距离为．
，
又，．
得轨迹的方程：，．
（Ⅱ）证明：由题意，直线的斜率为存在并且不为1，
设直线的方程为：，，与联立，
可得，，，，，
，，①又，所以，
所以切线的方程为：，
即，
同理，切线，
联立可得：，，
两式相消可得：，当时，，，
所以解得的轨迹方程为：，去掉．
交点在定直线上．
例6．已知抛物线．的焦点为，直线与轴相交于点，与曲线相交于点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，求证点的纵坐标为定值．
【解析】解：（1）由已知抛物线的焦点，
由，得，即，
点，
所以，
所以抛物线方程：．
（2）抛物线的焦点为，
设过抛物线的焦点的直线为．
设直线与抛物线的交点分别为，，，，
由，消去得：，根据韦达定理，得，
抛物线，即二次函数，对函数求导数，得，
所以抛物线在点处的切线斜率为，
可得切线方程为，化简得，
同理，得到抛物线在点处切线方程为，
两方程消去，得两切线交点纵坐标满足，
，，即点的纵坐标是定值．
变式2．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）若以，为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过，分别作抛物线的切线，，证明：，的交点在定直线上．
【解析】解：（1）由抛物线的定义可得，得，
故抛物线的标准方程为，
（2）由抛物线得其焦点坐标为．
设，，，，
直线，代入抛物线方程，得：．
①．
又抛物线方程求导得，
抛物线过点的切线的斜率为，切线方程为②
抛物线过点的切线的斜率为，切线方程为③
由①②③得：．
与的交点的轨迹方程是．
变式3．抛物线的焦点为，抛物线过点．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程与其准线的方程；
（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线的准线上．
【解析】解：（Ⅰ）由，得，所以抛物线的标准方程为，准线的方程为；
（Ⅱ）证明：根据题意直线的斜率一定存在，又焦点，
设过点的直线方程为，联立抛物线方程得．
设，，，，则，．
．
由得，，过，分别的抛物线的切线方程为，
即，
两式相加，得，
化简，得，即，
所以，两条切线交于点，
该点显然在抛物线的准线上．
题型三：切线垂直问题
例7．已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点是的中点．
（1）求证：切线和互相垂直；
（2）求证：直线与轴平行；
（3）求面积的最小值．
【解析】（1）证明：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在．
设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，
联立方程，，
消去，得，
由△，得，
记关于的一元二次方程的两根为，，
则，分别为切线，的斜率，由根与系数的关系知，
所以切线和互相垂直．
（2）证明：设点，由，知，则，
所以过点的切线方程为，
将点代入，化简得，
同理可得，
所以，是关于的方程的两个根，
由根与系数的关系知，
所以，即中点的横坐标为，
而点的横坐标也为，所以直线与轴平行．
（3）解：点，则，
则，
由（2）知，，，
则，，，
当时，面积的最小值为4．
例8．已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．
（1）若点坐标为，求切线，的方程；
（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直．
【解析】（1）解：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为，
点坐标为，过点的切线方程为，
联立，消去，得，
由△，解得，
所以切线，的方程分别为和，
即切线方程分别为和；
（2）证明：设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，
联立，消去，得，
由△，得，
记关于的一元二次方程的两根为，，
则，分别为切线，的斜率，由根与系数的关系知，
所以切线和互相垂直．
例9．已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；
（Ⅱ）设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【解析】解：（Ⅰ）设椭圆和抛物线的方程分别为，，，
椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，
，解得，，，，
椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（Ⅱ）证明：设，过点与抛物线相切的直线方程为，
由，得，
由△，得，
直线，的斜率分别为，，．
为定值．
变式4．抛物级的焦点到直线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交抛物线于，，，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证：．
【解析】解：（1）因为抛物级的焦点到直线的距离为2．
所以，
所以；
（2）证明：联立直线与，
得，
所以，，
，求导数得，
所以过点的抛物线切线为：，①
过点的抛物线切线为：，②
①②得，
所以，
①②，得，
，
，
所以，，
所以，
所以．
题型四：面积问题
例10．已知抛物线的方程为，点是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值．
【解析】解：（1）设抛物线焦点为，由题意可得，故，
抛物线的方程为．
（2）设．由题可知切线的斜率存在且不为0，
故可设切线方程为，．
联立，消去得．．
由直线与抛物线相切可得△，
，即．
，解得，可得切点坐标为，
故可设，，，，
由，可得，，
，
为直角三角形，
的面积．
令切点到点的距离为，
则
，
，，
，
当时，即点的坐标为时，的面积取得最小值1．
例11．已知点，动点到点的距离比动点到直线的距离大1，动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值
【解析】解：（1）设动点，
由题意得，动点到点的距离与动点到直线的距离相等，
动点的轨迹为抛物线，且焦点为，准线为，
曲线的方程为：；
（2）设，设切线的斜率为，
则切线方程为：，代入抛物线整理：，
由△得：，
，
，解得：，
切点坐标为，
由，得，，
设直线与的夹角为，则，
则
．
令切点到的距离为，
则，
，，
，
当，即时，的面积取得最小值．
例12．已知点、，直线与相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差为，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值．
【解析】解：设，由题意可得：，
化为．
曲线 的轨迹方程为且．
设，切线方程为，
联立，化为，
由于直线与抛物线相切可得△，即．
，解得．可得切点，
由．，．
切线．
为直角三角形，．
令切点到的距离为，
则，
，
，
，
当时，即时，的面积取得最小值4．
变式5．如图，已知抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，，且直线交线段于点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设，的面积分别为，，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，
由抛物线定义得，解得，
抛物线的方程为．
（Ⅱ）证明：设直线，
由，得，
△，解得，
代入方程，得，
设，，则，，
设，，设直线，
则由，得，
由△，可得，解得，或（舍，
，，，
由，得，
为定值．
由得，，
，，
，，
，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
（1），的最小值为6．
变式6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于、两点，过、两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值．
【解析】解：（1）设抛物线的方程为，
直线经过抛物线的焦点，
，得，
抛物线的方程为，
（2）设，，，由得，
则△，，，
，
由，得，则，
抛物线经过点的切线方程是，
同理抛物线经过点的切线方程是，
解方程组，得，．
到直线的距离，
面积，
，，即当时，，
面积的最小值是9．
题型五：外接圆问题
例13．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．
（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．
【解析】解：（1）因为点是抛物线的顶点，
故点的坐标为，
根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，
设，，，，
故，
因为，
则，
因为、是上的两个动点，
则有，，
故，
整理可得，解得，
由，消去可得，
则有，，
所以，解得，
故直线的方程为，
所以直线经过一个定点．
（2）线段的中点坐标为，
又直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的方程为，①
同理，线段的垂直平分线的方程为，②
由①②解得，
设点，则有，
消去，得到，
所以点的轨迹方程为．
例14．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．
【解析】解：（1）由抛物线的方程可得顶点，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，△，即，
，，，，
因为，，，
而，所以，解得，满足判别式大于0，
即直线方程为，所以恒过
可得点在直线上．
（2）因为点是的外接圆的圆心，所以点是三角形三条边的中垂线的交点，
设线段的中点为，线段的中点为，
因为，设，，，
所以，，，，，，
所以线段的中垂线的方程为：，
因为在抛物线上，所以，
的中垂线的方程为：，即，
同理可得线段的中垂线的方程为：，
联立两个方程，解得，
由（1）可得，，
所以，，
即点，所以，
即点的轨迹方程为：．
题型六：最值问题
例15．如图，已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，与轴分别交于，．
（1）求证：直线过定点，并求出该定点；
（2）设直线与轴相交于点，记，两点到直线的距离分别为，；求当取最大值时的面积．
【解析】解：（1）证明：设过点与抛物线相切的直线方程为：，
由，
因为相切，所以，
设，是该方程的两根，
由韦达定理得：，
，分别表示切线，斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，
所以切点
所以直线为：，
直线方程为：，
所以过定点．
（2）方法一
由（1）知，
由（1）知点坐标为，，所以直线方程为：，
即：，，分居直线两侧，，
，
当且仅当，
又由，令得：，
；
方法二：
因为，
由（1）知点坐标为，，
又由（1）知直线方程为：，
，
当且仅当取到等号，
又由，令得：，．
题型七：角度相等问题
例16．如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线、，且与抛物线分别相切于、两点．（1）求的重心的轨迹方程；
（2）证明．
【解析】解：（1）设切点、坐标分别为，和，、，
切线的斜率为，用点斜式求得它的方程为：；
同理求得切线的方程为：．
解得点的坐标为：，．
所以的重心的坐标为，，
所以．
由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为：，即．
（2）方法1：因为，，，，，．
由于点在抛物线外，则．
，
同理有，
．
方法2：①当时，由于，不妨设，则，所以点坐标为，，
则点到直线的距离为：．
而直线的方程：，即．
所以点到直线的距离为：
所以，即得．
②当时，直线的方程：，即，
直线的方程：，即，
所以点到直线的距离为：，
同理可得到点到直线的距离，因此由，可得到．
例17．已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为．
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为、，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性．
【解析】解：（Ⅰ），
椭圆半焦距长为，，，
动点到定直线与定点的距离相等
动点的轨迹是以定直线；为准线，定点为焦点的抛物线
轨迹的方程是；
（Ⅱ）猜想
证明如下：由（Ⅰ）可设，
切线的方程为：，切线的方程为：
联立方程组可解得的坐标为，
在抛物线外，
，，，
同理
．