新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题39圆锥曲线中的定点、定值问题(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题39圆锥曲线中的定点、定值问题(原卷版+解析)，共86页。
1、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
3、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
【题型归纳目录】
题型一：面积定值
题型二：向量数量积定值
题型三：斜率和定值
题型四：斜率积定值
题型五：斜率比定值
题型六：线段定值
题型七：直线过定点
题型八：动点在定直线上
题型九：圆过定点
题型十：角度定值
【典例例题】
题型一：面积定值
例1．已知双曲线的焦距为，且过点，，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与，两点，为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：面积为定值，并求出该定值．
例2．已知双曲线的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与轴正半轴相交于一点，与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．
例3．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．
变式1．已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为、且椭圆上的点到、两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于、两点，为坐标原点直线、的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
变式3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，△的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．
变式4．已知椭圆的离心率为，且过点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，为椭圆上的点，且满足，求证：四边形的面积为定值．
变式5．已知椭圆的焦距为，，为其左右焦点，为椭圆上一点，且，
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值．
变式6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2），是椭圆上与点不重合的任意两点，若的重心是坐标原点，试证明：的面积为定值，并求出该定值．
题型二：向量数量积定值
例4．己知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．
例5．已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．
例6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，△是面积为4的直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
题型三：斜率和定值
例7．已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
例8．已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
例9．已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
题型四：斜率积定值
例10．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
例11．已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
例12．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，点M、N分别与点P关于原点、y轴对称．连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q．试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
变式7．已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.
变式8．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，，的面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，是椭圆上两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
题型五：斜率比定值
例13．已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
例14．设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）若点为椭圆的上顶点，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
例15．已知动点到点，的距离比它到直线的距离小2．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）记点的轨迹为，过点斜率为的直线交于，两点，，延长，与交于，两点，设的斜率为，证明：为定值．
题型六：线段定值
例16．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．
例17．已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；
(3)若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．
例18．已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为．
(1)求的值；
(2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值．
变式9．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的两条切线交于点M（4，t），其中，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆上的点处的椭圆切线方程是，证明直线AB恒过椭圆的右焦点；
(3)试探究的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．
变式10．已知椭圆过点．，分别为左右焦点，为第一象限内椭圆上的动点，直线，与直线分别交于，两点，记和的面积分别为，．
(1)试确定实数的值，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出的值；
(2)在（1）的条件下，若，求的值．
变式11．已知椭圆过点且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，左焦点为，过的直线与交于、两点和均不在坐标轴上），直线、分别与轴交于点、，直线、分别与轴交于点、，求证：为定值，并求出该定值．
变式12．已知椭圆的离心率为，点在上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．
变式13．已知椭圆，其上顶点与左、右焦点、围成的是面积为的正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线的斜率存在）交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
题型七：直线过定点
例19．已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.
例20．在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
例21．已知，是椭圆上的两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线上的动点，直线，分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线经过点F．
变式14．已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．
(1)求的方程：
(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
变式15．已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
题型八：动点在定直线上
例22．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
例23．已知直线l经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．
例24．已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k