新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题50正态分布(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题50正态分布(原卷版+解析)，共66页。

题型一：正态密度函数
题型二：正态曲线的性质
题型三：正态曲线概率的计算
题型四：根据正态曲线的对称性求参数
题型五：正态分布的实际应用
题型六：标准正态分布的应用
【考点预测】
知识点一、正态曲线
1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2、正态曲线的性质
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：
（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲乙
知识点二、正态分布
1、定义
随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
【方法技巧与总结】
1、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
2、求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法：
（1）根据题目中给出的条件确定与的值．
（2）将待求问题向，，这三个区间进行转化；
（3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
3、假设检验的思想
（1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
（2）若随机变量ξ服从正态分布，则ξ落在区间内的概率为，亦即落在区间之外的概率为，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明不服从正态分布．
（3）对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性．
【典例例题】
题型一：正态密度函数
例1．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例2．（2023·甘肃·天水市第一中学模拟预测（理））已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．P(X1≤μ2)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C．P(X1≤μ2)D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)
例3．（2023·湖南·长郡中学高三（理））已知正态分布密度函数，，以下关于正态曲线的说法不正确的是
A．曲线与轴之间的面积为1
B．曲线在处达到峰值
C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移
D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”
变式1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）海头高级中学高二年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数，则下列命题正确的是（ ）
A．这次考试的数学平均成绩为100
B．分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同
C．分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同
D．这次考试的数学成绩方差为10
【方法技巧与总结】
求正态曲线的两个方法
（1）图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值，纵坐标为．
（2）待定系数法：求出，便可．
题型二：正态曲线的性质
例4．（2023·广东佛山·高三阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023·广东·东莞四中高三阶段练习）某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（ ）附：.
A．26B．52C．456D．13
例6．（2023·江苏镇江·高三开学考试）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
变式2．（多选题）（2023·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）某产品的质量指标值服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A．越大，则产品的质量指标值落在内的概率越大
B．该产品的质量指标值大于50的概率为0.5
C．该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等
D．该产品的质量指标值落在内的概率与落在内的概率相等
【方法技巧与总结】
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
题型三：正态曲线概率的计算
例7．（2023·浙江邵外高三阶段练习）在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
例9．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（多选题）（2023·重庆一中高三阶段练习）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即.若，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．在上是增函数D．
变式4．（多选题）（2023·福建·福州十八中高三开学考试）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）.
（附：若随机变量服从正态分布，则，，．
从中随机取一件，．
A．
B．
C．长度误差落在内的概率为0.1359
D．长度误差落在内的概率为0.1599
变式5．（2023·江苏江苏·高三阶段练习）已知随机变量服从正态分布，，，则的最小值为____________．
变式6．（2023·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习）某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________.
变式7．（2023·广东广州·高三阶段练习）某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为________．
变式8．（2023·安徽·高三开学考试）已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在内的概率为_____．
【方法技巧与总结】
1、正态分布下两类常见的概率计算
（1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与轴之间的面积为1．
（2）利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个．
2、正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
（1）充分利用正态曲线对称性和曲线与轴之间面积为1．
（2）熟记，，的值．
题型四：根据正态曲线的对称性求参数
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则的最小值为__________.
例11．（2023·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，若，则_________．
例12．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则________.
变式9．（多选题）（2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．函数的最大值为1D．的正态曲线关于对称
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，， ，且，又，则实数（ ）
A．0B．C．D．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，且对任意，，则（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量服从正态分布，若，则 a 的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【方法技巧与总结】
①；
②；
③若，则．
特别提醒：正态曲线，并非都关于轴对称，只有标准正态分布曲线才关于轴对称．
题型五：正态分布的实际应用
例13．（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）某校高三年级有500名学生，一次考试的语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布表如下：
(1)如果成绩高于130分为特别优秀，则本次考试语文、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？
(2)如果语文和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
若，则，，.
例14．（2023·全国·高三专题练习）为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：
(1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数；
(2)通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.
（参考数据：若X~，则，，.）
例15．（2023·全国·高三专题练习）某共享单车集团为了进行项目优化，对某市月卡用户随机抽取了200人，统计了他们在同一月的使用次数（假设每月使用次数均在8至36之间）.将样本数据分成，，，，，，七组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布.
(1)求图中的a的值；
(2)设该市月卡用户每月使用次数近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算），取，若该城市恰有1万个用户，试估计这些用户中，月使用次数X位于区间内的人数：
(3)现从该市月卡用户中随机抽取10人，其中月使用次数在的有Y人，记“事件”的概率为，其中，1，2，…，10，当最大时，求k的值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表．
根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件．一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品．， ，．
(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；
(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，．
变式15．（2023·四川省内江市第六中学高三开学考试（理））某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等笑，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以党为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值．
附参考数据：若随机变量X服从正态分布，
则，，．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）
变式17．（2023·全国·高三专题练习）每年4月15口为全民国家安全教育日，某地教育部门组织大学生“国家安全”知识竞赛．已知当地只有甲、乙两所大学，且两校学生人数相等，甲大学学生的竞赛成绩服从正态分布，乙大学学生的竞赛成绩服从正态分布．
(1)从甲大学中随机抽取5名学生，每名学生的竞赛成绩相互独立，设其中竞赛成绩在内的学生人数为，求的数学期望；
(2)从两所大学所有学生中随机抽取1人，求该学生竞赛成绩在内的概率；
(3)记这次竞赛所有大学生的成绩为随机变量，并用正态分布来近似描述的分布，根据（2）中的结果，求参数和的值．（的值精确到0.1）
附：若随机变量，则，．
题型六：标准正态分布的应用
例16．（2023·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．
(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．
附：当时，，．
例17．（2023·四川·石室中学三模（理））2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
(i)利用直方图得到的正态分布，求；
(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)．
参考数据：，，，，.若，则，，.
例18．（2023·甘肃省民乐县第一中学三模（理））已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值．
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
变式18．（2023·陕西·西安中学模拟预测（理））“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.
（1）求最低录取分数(结果保留为整数)；
（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由.
参考资料：（1）当时，令，则.（2）当时，，，，.
变式19．（2023·全国·高三专题练习（理））2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．
参考数据：，．若，则．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·山西长治·高三阶段练习）若随机变量从正态分布，则，．现有40000人参加语文考试，成绩大致服从正态分布，则可估计本次语文成绩在116分以上的学生人数为（ ）
A．3640B．1820C．910D．455
2．（2023·福建师大附中高三阶段练习）已知某地区成年女性身高(单位：cm)近似服从正态分布， 且， 则随机抽取该地区 1000 名成年女性， 其中身高不超过162cm的人数大约为（ ）
A．200B．400C．600D．700
3．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知随机变量，则的值约为 （ ）
附：若，则，，
A．B．C．D．
4．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩采用分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为（ ）
A．60B．40C．30D．15
5．（2023·全国·高三专题练习）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期的生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．现假设生产状态正常，则的值为（ ）
（参考数据：，，）
A．0.6826B．0.3174C．0.9544D．0.0456
6．（2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量M服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（ ）
A．17B．10C．9D．不能确定
8．（2023·广东·顺德一中高三阶段练习）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（ ）附：若，则，
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·江苏·句容碧桂园学校高三开学考试）下列说法正确的有（ ）．
A．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
B．若随机变量，则方差
C．若随机变量，，则
D．已如随机变量X的分布列为，则
10．（2023·全国·高三专题练习）“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（ ）
A．该地杂交水稻的平均株高为100cm
B．该地杂交水稻株高的方差为10
C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多
D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大
11．（2023·湖南益阳·模拟预测）已知随机变量， 随机变量， 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）赵先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5min．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：min）服从正态分布，下车后从公交站步行到公司要12min；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：min）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到公司要5min．从统计的角度，下列说法中正确的是（ ）
参考数据：若，则，，．
A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到
B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大
D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到
三、填空题
13．（2023·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（理））记（k，b为实常数），若，，则__________.
14．（2023·福建省连城县第一中学高三阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为____________．
15．（2023·全国·高三专题练习）柯西分布(Cauchydistributin)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则________.
16．（2023·全国·高三专题练习）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1位小数）
附：若，．
四、解答题
17．（2023·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和.
(1)若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；
(3)若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则.
18．（2023·湖北·荆州中学高三阶段练习）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中，近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．
(1)若，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(2)按照比例分配的分层随机抽样方法，从笔试成绩为和的考生中随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，记成绩不低于90分的人数为随机变量，求的分布列和均值．
参考数据：若，则，，．
19．（2023·吉林省实验中学模拟预测（理））基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，年有名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩．笔试成绩高于分的学生进入面试环节．
(1)从报考该试点高校的学生中随机抽取人，求这人中至少有一人进入面试的概率；
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若，则，，，．
20．（2023·全国·高三专题练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
(1)求与．
(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求；（结果保留5位有效数字）
②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
21．（2023·全国·高三专题练习）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康，经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了年位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了位农民.若每位农民的年收入互相独立，这位农民中的年收入不少于千元的人数为，求.
附参考数据：①，②若随机变量服从正态分布，则，.数学成绩
频率
0.16
0.168
0.48
0.16
0.032
硫排放量X
[2.55.5）
[5.5，8.5）
[8.5，115）
[115，14.5）
[）
[175，20.5）
[20.523.5）
频数
5
6
9
12
8
6
4
产品尺寸/mm
[76，78.5]
(78.5，79]
(79，79.5]
(79.5，80.5]
件数
4
27
27
80
产品尺寸/mm
(80.5，81]
(81，81.5]
(81.5，83]
件数
36
20
6
笔试成绩X
人数
5
15
35
30
10
5
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6404
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808，
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157'
0.7190
0.7224
笔试成绩
人数
5
10
25
30
20
10
专题50 正态分布
【题型归纳目录】
题型一：正态密度函数
题型二：正态曲线的性质
题型三：正态曲线概率的计算
题型四：根据正态曲线的对称性求参数
题型五：正态分布的实际应用
题型六：标准正态分布的应用
【考点预测】
知识点一、正态曲线
1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2、正态曲线的性质
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：
（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲乙
知识点二、正态分布
1、定义
随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
【方法技巧与总结】
1、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
2、求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法：
（1）根据题目中给出的条件确定与的值．
（2）将待求问题向，，这三个区间进行转化；
（3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
3、假设检验的思想
（1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
（2）若随机变量ξ服从正态分布，则ξ落在区间内的概率为，亦即落在区间之外的概率为，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明不服从正态分布．
（3）对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性．
【典例例题】
题型一：正态密度函数
例1．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：D
【解析】由正态分布密度函数表达式知，.
故选：D.
例2．（2023·甘肃·天水市第一中学模拟预测（理））已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．P(X1≤μ2)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C．P(X1≤μ2)D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)
答案：D
【解析】对于A：P(X1≤μ2)是第一条正态分布密度函数图象在第二条虚线左侧与x轴围成的部分，
P(X2≤μ1)是第二条正态分布密度函数图象在第一条虚线左侧与x轴围成的部分，
故由图象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1)，故A错误；
对于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B错误；
对于C：与A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C错误；
对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关，
故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正确.
故选：D.
例3．（2023·湖南·长郡中学高三（理））已知正态分布密度函数，，以下关于正态曲线的说法不正确的是
A．曲线与轴之间的面积为1
B．曲线在处达到峰值
C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移
D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”
答案：D
【解析】由正太分布的密度函数的解析式可知：曲线与轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为，其图像关于直线对称，且当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”．因此答案A，B，C都是正确的，答案D是错误的，应选答案D．
变式1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）海头高级中学高二年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数，则下列命题正确的是（ ）
A．这次考试的数学平均成绩为100
B．分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同
C．分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同
D．这次考试的数学成绩方差为10
答案：AC
【解析】因为数学成绩服从正态分布，其密度函数，，
所以，，即.
所以这次考试的平均成绩为，标准差为，故A正确，D错误.
因为正态曲线的对称轴为，
所以分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数不相同，故B错误；
分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，故C正确.
故选：AC
【方法技巧与总结】
求正态曲线的两个方法
（1）图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值，纵坐标为．
（2）待定系数法：求出，便可．
题型二：正态曲线的性质
例4．（2023·广东佛山·高三阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且，
可得随机变量的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，
所以，所以B错误；
对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，
所以，所以C正确；
对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，
即，所以D错误.
故选：C.
例5．（2023·广东·东莞四中高三阶段练习）某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（ ）附：.
A．26B．52C．456D．13
答案：A
【解析】考试成绩（满分150分）服从正态分布，所以，则，
，
所以可进入决赛的人数大约为人.
故选：A．
例6．（2023·江苏镇江·高三开学考试）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
答案：A
【解析】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误;
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确.
故选：A.
变式2．（多选题）（2023·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）某产品的质量指标值服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A．越大，则产品的质量指标值落在内的概率越大
B．该产品的质量指标值大于50的概率为0.5
C．该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等
D．该产品的质量指标值落在内的概率与落在内的概率相等
答案：BC
【解析】对于A，越大，则数据越分散，所以产品的质量指标值落在内的概率越小，所以A错误，
对于B，因为产品的质量指标值服从正态分布，所以正态分布的图象关于直线对称，所以该产品的质量指标值大于50的概率为0.5，所以B正确，
对于C，由选项B可知正态分布的图象关于直线对称，所以该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等，所以C正确，
对于D，由选项B可知正态分布的图象关于直线对称，所以由正态分布的图象可知该产品的质量指标值落在内的概率大于落在内的概率，所以D错误，
故选：BC
【方法技巧与总结】
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
题型三：正态曲线概率的计算
例7．（2023·浙江邵外高三阶段练习）在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为学生成绩服从正态分布，且，所以，，，
所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是.
故选：A.
例8．（2023·全国·高三专题练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
答案：D
【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误，
故选：D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可知，则，
故图中阴影部分的面积为.
故选：C.
变式3．（多选题）（2023·重庆一中高三阶段练习）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即.若，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．在上是增函数D．
答案：ACD
【解析】对于A，因为随机变量服从正态分布，，
所以，所以A正确，
对于B，因为，，所以B错误，
对于C，因为随机变量服从正态分布，，
所以当时，随的增大，的值在增大，所以在上是增函数，所以C正确，
对于D，因为，
所以，所以D正确，
故选：ACD
变式4．（多选题）（2023·福建·福州十八中高三开学考试）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）.
（附：若随机变量服从正态分布，则，，．
从中随机取一件，．
A．
B．
C．长度误差落在内的概率为0.1359
D．长度误差落在内的概率为0.1599
答案：BC
【解析】由图中密度函数解析式，可得；
又由图像可知，则长度误差落在内的概率为：
．
故选：BC
变式5．（2023·江苏江苏·高三阶段练习）已知随机变量服从正态分布，，，则的最小值为____________．
答案：
【解析】随机变量服从正态分布，
，由，，
，且
则，
当且仅当，即时等号成立．
的最小值为．
故答案为：.
变式6．（2023·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习）某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________.
答案：300
【解析】由正态分布曲线的对称轴为，以及可得，因此,
故130分以上的人数为.
故答案为：300
变式7．（2023·广东广州·高三阶段练习）某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为________．
答案：0.4【解析】由题意知，，
∴
∴正态分布曲线的对称轴为直线，
因为，
∴，
故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4，
故答案为：0.4
变式8．（2023·安徽·高三开学考试）已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在内的概率为_____．
答案：
【解析】由题意得，该正态曲线的对称轴为，∵，
∴，∴3位同学的数学成绩都在的概率为．
故答案为：
【方法技巧与总结】
1、正态分布下两类常见的概率计算
（1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与轴之间的面积为1．
（2）利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个．
2、正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
（1）充分利用正态曲线对称性和曲线与轴之间面积为1．
（2）熟记，，的值．
题型四：根据正态曲线的对称性求参数
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则的最小值为__________.
答案：
【解析】因为随机变量，且，
所以，
所以，
当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.
故答案为：.
例11．（2023·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，若，则_________．
答案：0.4【解析】由题可知：，
，
所以．
故答案为：0.4
例12．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则________.
答案：0.5
【解析】因为随机变量，，
所以，
所以.
故答案为：0.5.
变式9．（多选题）（2023·重庆南开中学高三阶段练习）已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．函数的最大值为1D．的正态曲线关于对称
答案：AC
【解析】因为随机变量，
所以的正态曲线关于对称，故D错误；
，
所以，
又，
所以，故A正确，B错误；
，
当时，函数取得最大值1，故C正确.
故选：AC.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，， ，且，又，则实数（ ）
A．0B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，，则，
又，则，解得
故选：A
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，且对任意，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为随机变量，且符合，
所以其图像关于直线对称，即，
故选：D
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量服从正态分布，若，则 a 的值为（ ）
A．B．1C．2D．
答案：B
【解析】∵随机变量服从正态分布，
根据正态分布的对称性，可得，
解得.
故选：B.
【方法技巧与总结】
①；
②；
③若，则．
特别提醒：正态曲线，并非都关于轴对称，只有标准正态分布曲线才关于轴对称．
题型五：正态分布的实际应用
例13．（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）某校高三年级有500名学生，一次考试的语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布表如下：
(1)如果成绩高于130分为特别优秀，则本次考试语文、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？
(2)如果语文和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
若，则，，.
【解析】（1）因为语文成绩服从正态分布，
所以语文成绩特别优秀的概率.
由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率，
所以语文成绩特别优秀的学生大约有（人），
数学成绩特别优秀的学生大约有（人）.
（2）语文和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有14人，可取的值有0，1，2，3，
所以，
，
，
，
故的分布列为
例14．（2023·全国·高三专题练习）为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：
(1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数；
(2)通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.
（参考数据：若X~，则，，.）
【解析】（1）由已知，得，，
所以
因为
所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.
（2）由频数分布表可知，8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家，所以Y的可能取值为1，2，3，4，且
所以Y的分布列为
所以
例15．（2023·全国·高三专题练习）某共享单车集团为了进行项目优化，对某市月卡用户随机抽取了200人，统计了他们在同一月的使用次数（假设每月使用次数均在8至36之间）.将样本数据分成，，，，，，七组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布.
(1)求图中的a的值；
(2)设该市月卡用户每月使用次数近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算），取，若该城市恰有1万个用户，试估计这些用户中，月使用次数X位于区间内的人数：
(3)现从该市月卡用户中随机抽取10人，其中月使用次数在的有Y人，记“事件”的概率为，其中，1，2，…，10，当最大时，求k的值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【解析】（1）由，
解得；
（2）
，
又，
，
所以估计1万个用户中，月使用次数X位于区间内的人数为8400；
（3）依题意知，则，
其中，1，2，，10，
且，，
当时，，则
当时，，则
所以当时，最大.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表．
根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件．一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品．， ，．
(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；
(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差．
【解析】（1）依题意，有 ，
所以正常产品尺寸范围为(78.5，81.5]．
生产线正常工作，次品不能多于，而实际上，超出正常范围以外的零件数为10，故生产线没有正常工作．
（2）依题意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率为．
记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布，
，
则， ，
所以的数学期望是（元），
方差是．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，．
【解析】（1）由题意，可知可取.则有
;
;
;
.
所以的分布列为：
因此的数学期望
（2）由题意，可取的值为.则有
；
；
.
所以技术攻坚成功的概率.
因于，所以的方差.
（3）由，则可知，
由于，则,
所以，
所以，
则，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件.
则.
变式15．（2023·四川省内江市第六中学高三开学考试（理））某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等笑，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以党为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值．
附参考数据：若随机变量X服从正态分布，
则，，．
【解析】（1）获三等奖的频率为，获二等奖的频率为，获一等奖的频率为，
所以获奖学生占样本学生人数的概率为，
所以样本中有30人获奖，70认没有获奖，
则现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率为
（2）（ⅰ）
，
所以X近似服从正态分布
故，所以，
所以，
故该市共有10000名学生参加了竞赛，估计参赛学生中成绩超过79分的学生数为1587；
（ⅱ）因为竞赛成绩均值为64分，故64分以上的学生数，
所以，，，，
所以随机变量的分布列如下：
均值为
变式16．（2023·全国·高三专题练习）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）
【解析】（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人．
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为.
（2）由表格中的数据可知，，
又，即，
∴，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人.
（3）考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则， ， ，
， ， ，
故Y的分布列为：
∴．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）每年4月15口为全民国家安全教育日，某地教育部门组织大学生“国家安全”知识竞赛．已知当地只有甲、乙两所大学，且两校学生人数相等，甲大学学生的竞赛成绩服从正态分布，乙大学学生的竞赛成绩服从正态分布．
(1)从甲大学中随机抽取5名学生，每名学生的竞赛成绩相互独立，设其中竞赛成绩在内的学生人数为，求的数学期望；
(2)从两所大学所有学生中随机抽取1人，求该学生竞赛成绩在内的概率；
(3)记这次竞赛所有大学生的成绩为随机变量，并用正态分布来近似描述的分布，根据（2）中的结果，求参数和的值．（的值精确到0.1）
附：若随机变量，则，．
【解析】（1），
根据题意，
故．
（2）因为两所大学的学生人数相等，所以随机抽取1名学生，该学生来自两所大学的概率均为．设该学生竞赛成绩为．
则
．
（3）由于两所大学的学生人数相等，、的方差也相等．
根据正态曲线的对称性，可知．
由（2）可知．
又根据参考数据，
所以，得．
题型六：标准正态分布的应用
例16．（2023·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．
(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．
附：当时，，．
【解析】(1)由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为，
由且，可得，
由，可得，
估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分.
(2)若，则，，
由题意可知，
，.
例17．（2023·四川·石室中学三模（理））2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
(i)利用直方图得到的正态分布，求；
(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)．
参考数据：，，，，.若，则，，.
【解析】（1），
．
（2）(i)由题意并结合(1)可知，，，
∴，∴．
(ii)由(ⅰ)可知，，
∴，
∴，．
例18．（2023·甘肃省民乐县第一中学三模（理））已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值．
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，
则，
，
（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，
故可以认为随机变量X服从二项分布，
由（1）可得，，
可得，则，
则，
由标准正态分布性质可得，，
故，
故，
在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为；
②查表可得，，则，
即，
又，
故座位数至少要1016个，
，
故阅览室座位至少需要添加22个．
变式18．（2023·陕西·西安中学模拟预测（理））“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.
（1）求最低录取分数(结果保留为整数)；
（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由.
参考资料：（1）当时，令，则.（2）当时，，，，.
【解析】（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，
即，令，则.
由360分及以上高分考生30名可得，即，
即有，则，可得，
可得，
设最低录取分数线为，则，
即有，即有，
可得，即最低录取分数线为266；
（2）考生甲的成绩，所以能被录取，
，
表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的，，
即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位.
变式19．（2023·全国·高三专题练习（理））2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．
参考数据：，．若，则．
【解析】（1）．
．
（2）（ⅰ）由题知，，所以，．
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，可得．
．
故的数学期望．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·山西长治·高三阶段练习）若随机变量从正态分布，则，．现有40000人参加语文考试，成绩大致服从正态分布，则可估计本次语文成绩在116分以上的学生人数为（ ）
A．3640B．1820C．910D．455
答案：C
【解析】依据题意可知，，由于，
所以.
因此本次考试116分以上的学生约有人.
故选：C
2．（2023·福建师大附中高三阶段练习）已知某地区成年女性身高(单位：cm)近似服从正态分布， 且， 则随机抽取该地区 1000 名成年女性， 其中身高不超过162cm的人数大约为（ ）
A．200B．400C．600D．700
答案：D
【解析】因为，所以，
则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过的人数服从，所以.
故选:D．
3．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知随机变量，则的值约为 （ ）
附：若，则，，
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意知随机变量，故 ，
故
,
故选：A
4．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩采用分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为（ ）
A．60B．40C．30D．15
答案：C
【解析】，.
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期的生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．现假设生产状态正常，则的值为（ ）
（参考数据：，，）
A．0.6826B．0.3174C．0.9544D．0.0456
答案：A
【解析】由已知可得，则，，
则.
故选：A．
6．（2023·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由随机变量及正态分布的对称性，知，
所以.
故选：D.
7．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量M服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（ ）
A．17B．10C．9D．不能确定
答案：A
【解析】因为函数没有零点，
所以，解得，
又因随机变量M服从正态分布，且，
所以正态曲线关于对称，
因为函数有两个零点，
所以，解得，则，
又，
所以与关于对称，
所以.
故选：A.
8．（2023·广东·顺德一中高三阶段练习）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（ ）附：若，则，
A．B．C．D．
答案：A
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为，则，由题意，，且，因为，即，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为.
故选：A.
二、多选题
9．（2023·江苏·句容碧桂园学校高三开学考试）下列说法正确的有（ ）．
A．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
B．若随机变量，则方差
C．若随机变量，，则
D．已如随机变量X的分布列为，则
答案：BCD
【解析】对于A，设至少有一名女生为事件 ，则，则，故A错误；
对于B，因为随机变量，所以，
，故B正确；
对于C，根据正态分布的性质，，所以，，故C正确；
对于D，，得，
可得，解得，所以，故D正确；
故选：BCD．
10．（2023·全国·高三专题练习）“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（ ）
A．该地杂交水稻的平均株高为100cm
B．该地杂交水稻株高的方差为10
C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多
D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大
答案：AC
【解析】因为正态分布密度函数为，
所以，，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；
根据正态曲线的特征可知函数关于轴对称，所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多，故C正确，
随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大.故D错误．
故选：AC.
11．（2023·湖南益阳·模拟预测）已知随机变量， 随机变量， 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】因为随机变量，所以，
因为随机变量，所以，
所以利用正态密度曲线的对称性可得，，故选项A、B正确；
因为，，
所以，故选项C正确；
因为，，
所以，故选项D错误.
故选：ABC.
12．（2023·全国·高三专题练习）赵先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5min．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：min）服从正态分布，下车后从公交站步行到公司要12min；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：min）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到公司要5min．从统计的角度，下列说法中正确的是（ ）
参考数据：若，则，，．
A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到
B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大
D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到
答案：CD
【解析】对于A，若8：00出门，赵先生乘坐公交的时间不大于43min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，且，
所以，
所以赵先生上班迟到还是有可能发生的，A不正确；
对于B，若8：02出门，若乘坐地铁，则乘坐时间不大于48min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，
所以，
所以赵先生乘坐地铁上班不迟到的可能性为0.9772，
若8：02出门，若乘坐公交，则乘坐时间不大于41min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，
所以，故二者的可能性一样，B不正确；
对于C，若8：06出门，若乘坐公交，则乘坐时间不大于37min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，
所以，
若8：06出门，若乘坐地铁，则乘坐时间不大于44min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，C正确；
对于D，若8：12出门，赵先生乘坐地铁的时间不大于38min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min）服从正态分布，
所以，
所以，
所以乘坐地铁上班不迟到的可能性非常小，D正确．
故选：CD.
三、填空题
13．（2023·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（理））记（k，b为实常数），若，，则__________.
答案：-3或3
【解析】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3.
故答案为-3或3.
14．（2023·福建省连城县第一中学高三阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为____________．
答案：25
【解析】随机变量服从正态分布，，
由，得，
又，
，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
的最小值为25．
故答案为：25．
15．（2023·全国·高三专题练习）柯西分布(Cauchydistributin)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则________.
答案：【解析】由已知，概率密度函数图象关于对称，
，
又，
，，
故答案为：．
16．（2023·全国·高三专题练习）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1位小数）
附：若，．
答案：59.9
【解析】因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9.
故答案为：59.9
四、解答题
17．（2023·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和.
(1)若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；
(3)若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则.
【解析】（1）种子密度的平均值为：（）
（2）由频率分布直方图知优种占比为，
任选一粒种子萌发的概率，
因为为这批种子总数远大于2，所以，
，，
，
所以布列为：
期望.
（3）因为该品种种子的密度，
所以，，即，
所以20000粒种子中约有优种（粒）
即估计其中优种的数目为粒.
18．（2023·湖北·荆州中学高三阶段练习）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中，近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．
(1)若，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(2)按照比例分配的分层随机抽样方法，从笔试成绩为和的考生中随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，记成绩不低于90分的人数为随机变量，求的分布列和均值．
参考数据：若，则，，．
【解析】（1）由题意，，
此时，故，
所以该市全体考生中笔试成绩高于85的人数约为人．
（2）进入面试的考生中笔试成绩位于的人数之比为，则抽取的6人中成绩不低于90分的人数为2，所以随机变量的取值为0，1，2．
，，，
所以的分布列为
所以．
19．（2023·吉林省实验中学模拟预测（理））基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，年有名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩．笔试成绩高于分的学生进入面试环节．
(1)从报考该试点高校的学生中随机抽取人，求这人中至少有一人进入面试的概率；
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若，则，，，．
【解析】（1）由题意可知，，则，
所以，从报考该试点高校的学生中随机抽取人，这人中至少有一人进入面试的概率为.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，
则，，
，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故.
20．（2023·全国·高三专题练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
(1)求与．
(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求；（结果保留5位有效数字）
②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
【解析】（1），
，
则．
（2）①∵Z服从正态分布，
∴，则，
∴，
∴．
②∵Z服从正态分布，
∴，
∴5个零件的内径中恰有一个不在内的概率为．
∵，
∴试生产的5个零件的内径就出现了1个不在内，出现的频率是0.01287的15倍多，
∴根据原则，需要进一步调试．
21．（2023·全国·高三专题练习）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康，经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了年位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了位农民.若每位农民的年收入互相独立，这位农民中的年收入不少于千元的人数为，求.
附参考数据：①，②若随机变量服从正态分布，则，.
【解析】（1）由频率分布直方图可知，位农民的年平均收入为
（千元）.
（2）由题意知，
①，
所以时，满足题意，即最低年收入大约为千元；
②由，
则，
每个农民的年收入不少于千元的事件的概率为，
则，.
数学成绩
频率
0.16
0.168
0.48
0.16
0.032
0
1
2
3
P
硫排放量X
[2.55.5）
[5.5，8.5）
[8.5，115）
[115，14.5）
[）
[175，20.5）
[20.523.5）
频数
5
6
9
12
8
6
4
Y
1
2
3
4
P
产品尺寸/mm
[76，78.5]
(78.5，79]
(79，79.5]
(79.5，80.5]
件数
4
27
27
80
产品尺寸/mm
(80.5，81]
(81，81.5]
(81.5，83]
件数
36
20
6
0
1
2
3
0
1
2
3
笔试成绩X
人数
5
15
35
30
10
5
Y
0
3
4
6
7
10
P
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6404
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808，
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157'
0.7190
0.7224
0
笔试成绩
人数
5
10
25
30
20
10
0
1
2