人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布精品随堂练习题

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学习目标 1.理解n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
知识点一 n重伯努利试验及其特征
1．n重伯努利试验的概念
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验的共同特征
(1)同一个伯努利试验重复做n次．
(2)各次试验的结果相互独立．
思考 在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验吗？
答案 是．其满足n重伯努利试验的共同特征．
知识点二 二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
知识点三 二项分布的均值与方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
1．设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p)．( √ )
2．在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．( √ )
3．对于n重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同．( × )
4．如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.( √ )
一、n重伯努利试验的判断
例1 判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
反思感悟 n重伯努利试验的判断依据
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．
(2)每次试验相互独立，互不影响．
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生．
跟踪训练1 (多选)下列事件不是n重伯努利试验的是( )
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
二、n重伯努利试验的概率
例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
延伸探究
1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．
2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．
反思感悟 n重伯努利试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为eq \f(2,3)，没有平局．
(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者胜，甲获胜的概率是多少？
(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？
三、二项分布的应用
例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq \f(1,3).
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
反思感悟 概率综合问题的求解策略
(1)定模型：准确地确定事件的性质，把问题归为古典概型、互斥事件、独立事件、n重伯努利试验中的某一种．
(2)明事件：判断事件是A＋B还是AB.
(3)套公式：选择相应公式求解即可．
跟踪训练3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为eq \f(3,4)，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列，并求E(X)．
1．若随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，则P(X＝2)等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3
C．Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3 D．Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3
2．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( )
A．0.93 B．1－(1－0.9)3
C．Ceq \\al(3,5)×0.93×0.12 D．Ceq \\al(3,5)×0.13×0.92
3．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为eq \f(80,81)，则此射手的命中率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(2,5)
4．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
5．已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X，则D(X)＝________.
1．知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征．
(2)二项分布的概念及表示．
2．方法归纳：数学建模．
3．常见误区：二项分布的判断错误．
1．设X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才算通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
3．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0A．(1－p)n B．1－pn
C．pn D．1－(1－p)n
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为eq \f(2,3)，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A.eq \f(8,27) B.eq \f(64,81) C.eq \f(4,9) D.eq \f(8,9)
5．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是eq \f(1,2)，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5 B．Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5 C．Ceq \\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3 D．Ceq \\al(2,5)×Ceq \\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5
6．一个学生通过某种英语听力测试的概率是eq \f(1,2)，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________．
7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
8．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．
9．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．
10．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是eq \f(2,3)，出现绿灯的概率都是eq \f(1,3).记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的均值．
11．(多选)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝eq \f(5,9)，则( )
A．p＝eq \f(1,3) B．E(ξ)＝eq \f(2,3) C．D(η)＝1 D．P(η≥2)＝eq \f(7,27)
12．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9) B.eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,4),C\\al(4,5)) C.eq \f(3,5)×eq \f(1,4) D．Ceq \\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
13．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1) B．(0,0.4] C．(0,0.6] D．[0.6,1]
14．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是eq \f(1,2)，构造数列{an}，使得an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1当第n次出现正面时，,－1当第n次出现反面时，))记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为________．
15．若X～B(6，eq \f(1,2))，则使P(X＝k)最大的k的值是( )
A．2 B．3 C．2或3 D．4
16．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．
7.4.2 超几何分布
学习目标 1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．
知识点 超几何分布
1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．均值：E(X)＝eq \f(nM,N).
1．超几何分布是不放回抽样．( √ )
2．超几何分布的总体是只有两类物品．( √ )
3．超几何分布与二项分布的均值相同．( √ )
4．超几何分布与二项分布没有任何联系．( × )
一、超几何分布的辨析
例1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．
反思感悟 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点
(1)总体是否可分为两类明确的对象．
(2)是否为不放回抽样．
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．
跟踪训练1 (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有( )
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
二、超几何分布的概率
例2 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
反思感悟 求超几何分布的分布列的步骤
跟踪训练2 现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为eq \f(1,7).
(1)求7名学生中甲班的学生数；
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．
三、超几何分布与二项分布间的关系
例3 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
反思感悟 二项分布与超几何分布的关系
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．
跟踪训练3 (1)100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；
(2)某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．
1．(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是( )
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( )
A.eq \f(1,50) B.eq \f(1,25) C.eq \f(1,825) D.eq \f(1,4 950)
3．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为( )
A.eq \f(C\\al(3,4)C\\al(2,48),C\\al(5,52)) B.eq \f(C\\al(3,48)C\\al(2,4),C\\al(5,52))
C．1－eq \f(C\\al(1,48)C\\al(4,4),C\\al(5,52)) D.eq \f(C\\al(3,4)C\\al(2,48)＋C\\al(4,4)C\\al(1,48),C\\al(5,52))
4．盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝________.
5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,7),C\\al(6,12)).
1．知识清单：
(1)超几何分布的概念及特征．
(2)超几何分布的均值．
(3)超几何分布与二项分布的区别与联系．
2．方法归纳：类比．
3．常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( )
A.eq \f(37,42) B.eq \f(17,42) C.eq \f(10,21) D.eq \f(17,21)
2．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4)＋C\\al(2,22),C\\al(2,26))的是( )
A．P(03．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是( )
A．n B.eq \f(n－1M,N) C.eq \f(nM,N) D.eq \f(n＋1M,N)
4．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( )
A.eq \f(5,42) B.eq \f(4,35) C.eq \f(19,42) D.eq \f(8,21)
5．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为( )
A.eq \f(2,245) B.eq \f(9,49) C.eq \f(47,245) D．以上都不对
6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.
7．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝________，随机变量X的均值E(X)＝________.
8．数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________．
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
10．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列．
11．(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为eq \f(16,45)，则a等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
12．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是eq \f(3,10)的事件为( )
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
13．一只袋内装有m个白球，(n－m)个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n))的是( )
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
14．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________，记甲答对试题的个数为X，则X的均值E(X)＝________.
15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
16．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数为X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
区别
①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；
②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)