河南省洛阳市新安县2023-2024学年七年级下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．
2．答题前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内．
1. 下列变形中正确的是（ ）
A. 方程，移项，得
B. 方程，去括号，得
C. 方程，未知数系数化为1，得
D. 方程化为
【答案】D
【解析】
【分析】根据解方程的步骤逐一对选项进行分析即可．
【详解】解：方程，移项，得，故选项A变形错误；
方程，去括号，得，故选项B变形错误；
方程，未知数系数化为1，得，故选项C变形错误；
方程化为，利用了分数的基本性质，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
2. 下列不等式的变形中，一定正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，且，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质和c＜0对A进行判断；利用不等式的性质和m=0对B进行判断；利用不等式的性质对C、D进行判断．
【详解】解：A中，若，则两边同时除以c，得，故选项A错误；
B中，若，则两边同时乘，得，故选项B错误；
C中，由可知，两边同时除以，得，故选项C正确；
D中，当a=，b=时，而a＜b，故D错误．
故选：C
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是明确不等式性质的内容，注意变形中的符号问题．
3. 王涵同学在解关于x的方程7a＋x＝18时，误将＋x看作－x，得方程的解为x＝－4，那么原方程的解为（ ）
A. x＝4B. x＝2C. x＝0D. x＝－2
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的解x＝-4满足方程7a-x=18，可得到a的值，把a的值代入方程7a＋x＝18，可得原方程的解．
【详解】解：如果误将+x看作-x，得方程的解为x=-4，
那么原方程是7a-x=18，
则a=2，
将a=2代入原方程得到：7a＋x＝18，
解得x=4．
故选∶A
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解求出a的值是解题关键．
4. 利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（ ）
A. 要消去y，可以将①②B. 要消去x，可以将①②
C. 要消去y，可以将①②D. 要消去x，可以将①②
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据加减消元法解二元一次方程组，观察字母系数，化为相同或者互为相反数再使用减法或者加法消元即可．
【详解】解：
要消去y，可以将，
要消去x，可以将，
故选C．
5. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据本题中的相等关系（1）盒身的个数盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数制作盒底的白铁皮张数，列方程组即可．
【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意得．
故选：C．
【点睛】此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
6. 不等式组，的解集为，则的取值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质化简，再根据公共解集确定的取值范围即可求解．
【详解】解不等式组
解不等式①得
解不等式②得
∵公共解集为
∴的取值范围为，解得
∴的取值不可能是-1
故选D．
【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式解集的确定方法．
7. 方程组的解是（ ）
A. .B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解三元一次方程组的方法解方程即可．
【详解】解：，
，得，
把代入②，得，
把代入①，得，
所以原方程组的解为
故选C.
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是通过加减消元法或代入消元法消去未知数，从而达到解方程的目的．
8. 如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形即空白的长方形，若，，则一个小长方形的面积为
A. B. C. D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】设长方形的长和宽为未数，根据图示可得两个量关系：小长方形的1个长个宽，小长方形的1个长个宽，进而可得到关于x、y的两个方程，可求得解，从而可得到小长方形的面积．
【详解】设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，
，
解得：．
所以小长方形的面积
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
9. 已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A. -1B. 1C. 4D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，根据题意求出a的值，计算即可.
【详解】
去分母，得：6x-4+ax=2x+8-3
移项、合并同类项，得：（4+a）x=9
解得：
∵方程的解为正整数
∴a=-3,-1,5
所有整数的和是1
故选B
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，本题关键在于题目中限制条件，需要找到所有满足题意的值.
10. 已知不等式组的解都是关于x的一次不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再根据题意列出关于a的不等式，解之即可．
【详解】解：由x-1＞2，得：x＞3，
由x-1＜4，得：x＜5，
则不等式组的解集为3＜x＜5，
由，解得，
不等式组的解都是关于x的一次不等式的解，
，
故选C．
【点睛】本题考查是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11. 已知二元一次方程x﹣2y﹣1＝0，若用含x的代数式表示y，可得 y＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】将﹣2y移到方程的右边，再两边除以2即可得．
【详解】解：∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣1＝2y，
∴y．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
12. 请你帮助乐乐同学写一个满足下列条件的一元一次方程：①含未知数项的系数为负数；②方程左边只有两项且右边等于零；③方程的解为x＝2．你写的方程是______．
【答案】-2x+4=0（不唯一）
【解析】
【分析】根据方程的解的定义，只要是把x=2代入成立且满足相关条件即可．
【详解】解：方程可写为：-2x+4=0.（不唯一）
故答案为-2x+4=0（不唯一）．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
13. 若关于x的方程的解是，则a的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．
【详解】解：根据题意，知
，
解得a=3．
故答案是：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
14. 试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：
（1）不等式的正整数解只有1，2，3，
（2）和都是它的解．
则这个不等式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了不等式的解集，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．
根据题意写出不等式即可．
【详解】根据题意可得，这个不等式可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
15. 已知，，则的值为_________．
【答案】1
【解析】
【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．
【详解】解：①，②，
②-①得，2a+2b=2，
解得：a+b=1,
故答案为：1．
【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．
16. 一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，个位数字与十位数字互换后所成的新两位数比原两位数小18，则原两位数是_________
【答案】53
【解析】
【详解】设十位数为x,个位数为y,根据题意可得:
,
解得:,
所以两位数为53,
故答案为:53.
17. 某种型号汽车每行驶100km耗油10L，其油箱容量为40L．为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时邮箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，一辆加满油的该型号汽车最多行驶的路程是_____km．
【答案】350．
【解析】
【分析】设行驶xkm，由油箱内剩余油量不低于油箱容量的，列出不等式，即可求解．
【详解】设该型号汽车行驶的路程是xkm，
∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的，
∴﹣x+40≥40×，解得：x≤350，
答：该辆汽车最多行驶的路程是350km，
故答案为：350．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，找出不等量关系，列出一元一次不等式，是解题的关键．
18. 关于x、y、k的方程组的解中x、y的和为12，则k的值为______．
【答案】14
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组的知识，先解关于x、y的方程组，求得用含k的代数式表达的x、y的值，再由x、y的和为12列出关于k的方程，解此方程即可求得k的值．
【详解】解：解关于x、y的方程组，得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：14．
19. 由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为______元．
【答案】300
【解析】
【分析】七五折售价+亏损25元=九折售价-盈利的20元，根据此成本不变等量关系列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设该商品的原售价为x元，
根据题意得：75%x+25=90%x-20，
解得：x=300，
则该商品的原售价为300元．
故答案为300．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
20. 已知关于的不等式组，下列说法正确的有____________．
①如果它的解集是，那么；②当时，它无解；③如果它的整数解只有3，4，5，那么；④如果它有解，那么．
【答案】①②③
【解析】
【分析】先求出各不等式的解集，然后再逐项判断即可．
【详解】解：由得，
由得，
①如果它的解集是，那么，此结论正确；
②当时，它无解，此结论正确；
③如果它的整数解只有3，4，5，那么，此结论正确；
④如果它有解，那么，此结论错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集、由不等式组的解集情况求参数等知识点，掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题，满分60分）．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
21. 解下列方程或方程组
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）把原方程组整理，再利用加减法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
【小问2详解】
原方程组整理得
①+②得，
把代入②得，，
解得，
故方程组的解为．
22. （1）解不等式：．
（2）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．

【答案】（1）；（2）．数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式（组）的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，再去括号，移项，合并，最后把未知数的系数化为“1”即可；
（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，再确定解集即可．
【详解】（1）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得．
（2）解：
由①，得．
由②，得，
解得：．
∴不等式组的解集为．
将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示
．
23. A、B两地相距480千米，一辆快车从A地出发，每小时行驶80千米，一辆慢车从B地出发，每小时行驶60千米．
（1）两车同时出发，相向而行，x小时相遇，可列方程：____________________；
（2）两车同时出发，相背而行，x小时后两车相距620千米，可列方程：____________________；
（3）若快车从A地比慢车早出发5小时去追赶慢车，两车同向而行，慢车出发多长时间后能被快车追上？
【答案】（1）
（2）
（3）4小时
【解析】
【分析】(1)直接利用行驶总路程=480，即可列出方程；
(2)直接利用两车距离=620，即可列出方程；
(3)根据两车的路程差，即可列出方程，解方程即可求得．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：设慢车出发y小时后被快车追上，
根据题意得，，
解得，，
答：慢车出发4小时后能被快车追上．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出的一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．
24. 某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
【答案】今年李老师24岁，该学生13岁
【解析】
【分析】本题考查是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可．
【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则
相据该学生和李老师的年龄差不变，
可得
解得
答：今年李老师24岁，该学生13岁．
25. 已知关于x、y的二元一次方程组
（1）若方程组的解满足，求k的值；
（2）若方程组的解满足，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，
（1）根据题意组建新方程组，求出方程组的解，代入解方程即可得到答案；
（2）由得，，代入解不等式即可得到答案．
【小问1详解】
由题意，得，
解得，
把，代入，得，
解得．
【小问2详解】
，
由得，，
∵，
∴，
解得．
26. 某学校准备组织290名学生进行野外考察活动，共有100件行李，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李，
（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．
【答案】（1）共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．（2）第一种租车方案更省费用
【解析】
【详解】（1）租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（8－x）辆．
根据题意，得解得5≤x≤6．
因为x为整数，所以x＝5或6．
所以有两种租车方案，方案一：租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；方案二：租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．
（2）方案一的费用：5×2000＋3×1800＝15400（元）；
方案二的费用：6×2000＋2×1800＝15600（元）．
因为15600元＞15400元，所以方案一更省钱．
所以第一种租车方案最省钱，即学校应租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆．
27. 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．
（1）如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？
（2）若使用优惠方案前，顾客购物应付元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？
【答案】（1）甲商场更优惠
（2）当累计购物150元时，到两商场购物花费一样；累计购物超过150元时，到甲商场购物合算；累计购物超过100元不到150元时，到乙商场购物合算.
【解析】
【分析】（1）设不使用优惠方案购买A、B商品的单价分别为x、y，然后根据“某人购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元”列方程组求出x、y，再分别按照甲、乙两商场的优惠方案计算、比较即可；
（2）先分别按照甲、乙两商场在x＞100时使用优惠方案的表达式，然后分类讨论即可解答．
【小问1详解】
解：设不使用优惠方案购买A、B商品的单价分别为x、y，
由题意可得： ，解得
使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品：
若在甲商场购买应付：（3×10+6×25-100）×90%+100=172元
若在乙商场购买应付：（3×10+6×25-50）×95%+50=173.5元
所以在甲商场更优惠．
【小问2详解】
解：在甲商场购买应付费用：（x-100）×90%+100=0.9x+10
在乙商场购买应付费用：（x-50）×95%+50=0.95x+2.5
①若两商场购物花费一样：则0.9x+10=0.95x+2.5，解得：x=150
∴当累计购物150元时，到两商场购物花费一样.
②若到甲商场购物花费少：0.9x+10＜0.95x+2.5，解得：x>150
∴累计购物超过150元时，到甲商场购物合算.
③若到乙商场购物花费少：0.9x+10＞0.95x+2.5，解得：x