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    山东省济宁市北湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版)
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    山东省济宁市北湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版)

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    这是一份山东省济宁市北湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版),文件包含山东省济宁市北湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、山东省济宁市北湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共24页, 欢迎下载使用。

    一.单选题(每小题3分,共30分)
    1. 下列各式中,一定是二次根式的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题考查的是二次根式的定义,根据二次根式被开方数是非负数判断.
    【详解】解:A、,被开方数是负数,不是二次根式;
    B、,被开方数是非负数,是二次根式;
    C、,根指数是3,不是二次根式;
    D、,根指数是3,不是二次根式;
    故选:B.
    2. 下列计算正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据二次根式的加减、乘除法则计算进行判断即可.
    【详解】解:A、、被开方数不同,不能合并,计算错误,不合题意;
    B、,计算错误,不合题意;
    C、,计算错误,不合题意;
    D、,计算正确,符合题意;
    故选:D.
    【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算.注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则,化简后只有被开方数相同才能进行合并.
    3. 使式子在实数范围内有意义,则实数m的取值范围是( )
    A. B.
    C. 且D. 且
    【答案】C
    【解析】
    【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件、分式的分母不能为零列出关于的不等式,求出的取值范围即可.
    【详解】解:在实数范围内有意义,

    解得且.
    故选:C.
    【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式的分母不能为零,解题的关键是熟知二次根式具有非负性.
    4. 将一元二次方程化为一般形式后,常数项为1,则一次项系数是( )
    A. B. 5C. 2D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式.经过移项把一元二次方程化为一般形式,令常数项为1,找出其一次项系数即可得到答案.
    【详解】解:,
    移项得:,
    此时常数项为1,一次项系数为:,
    故选:A.
    5. 如图,在中,添加下列条件仍不能判定是菱形的是( )

    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据菱形的判定,平行线的性质对每项判断即可解答.
    【详解】解:∵四边形是平行四边形,,
    ∴四边形是菱形,
    故项不符合题意;
    ∵四边形是平行四边形,,
    ∴四边形是菱形,
    故项不符合题意;
    ∵四边形是平行四边形,,
    ∴四边形是矩形,
    故项符合题意;
    ∵四边形是平行四边形,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴四边形是菱形,
    故项不符合题意;
    故选.
    【点睛】本题考查了菱形的判定,平行四边形的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定与性质,掌握菱形的判定是解题的关键.
    6. 老师设计了接力游戏,用合作的方式完成配方法解一元二次方程,规则:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后解出方程.过程如图所示:
    接力中,自己负责的一步出现错误的是( )

    A. 只有甲B. 甲和乙C. 甲和丙D. 丙和丁
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程,掌握利用配方法解一元二次方程的步骤是解本题的关键.本题逐步分析各位同学的方程变形即可得到答案.
    【详解】解:,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴或,
    解得:,,
    ∴接力中,自己负责的一步出现错误的是甲和丙,
    故选:C.
    7. 如图,正方形的边长为,对角线,交于点,为边上一点,且,则的长为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】本题考查了正方形的性质,求出长是解题的关键.由正方形的性质可求的长,可得,由线段关系可求解.
    【详解】解:正方形的边长为,




    故选:.
    8. 如图,在中,E、F分别为边、的中点,是对角线.下列说法错误的是( )
    A. 当时,四边形是菱形
    B. 当时,四边形是菱形
    C. 当时,四边形是矩形
    D. 当平分时,四边形是矩形
    【答案】A
    【解析】
    【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的判定,先根据平行四边形性质得到,,得到四边形是平行四边形,再结合选项条件结合菱形的判定,逐个判定即可得到答案;
    【详解】解:∵在中,E、F分别为边、的中点,
    ∴,,
    ∴四边形是平行四边形,
    ∵平分,
    ∴,
    ∴四边形是矩形,故D选项正确不符合题意,
    当时,得不到四边形是菱形,故A选项错误,符合题意,
    当时,

    ∴四边形是菱形,故B选项正确不符合题意,
    当时,
    ∵E为边的中点,
    ∴,
    ∴四边形是矩形,故C选项正确不符合题意,
    故选:A.
    9. 如图,已知正方形的边长为2,为边上一点,以为边在的上方作正方形.延长边交边于点,如图.若正方形与四边形的面积相等,则线段的长是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题考查了一元二次方程的应用、正方形的性质、矩形的判定、以及正方形与矩形面积公式等知识.设,则,矩形的面积为,正方形的面积为,由正方形与四边形的面积相等,列出一元二次方程,解方程即可.
    【详解】解:四边形是正方形,
    ,,

    四边形为矩形,
    设,则,
    正方形与四边形的面积相等,

    解得:,(不合题意,舍去),
    的长为,
    故选:B.
    10. 如图是一个按某种规律排列的数阵:
    根据数阵排列的规律,第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是(用含n的代数式表示)( ).
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】观察数阵排列,可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数,行数中的数字个数是行数的2倍,求出n-1行的数字个数,再加上从左向右的第n-3个数,就得到所求数的被开方数,再写成算术平方根的形式即可.
    【详解】由图中规律知,前(n-1)行的数据个数为2+4+6+…+2(n-1)=n(n-1),
    ∴第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数的被开方数是:n(n-1)+n-3=n2-3,
    ∴第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是:
    故选:C.
    【点睛】本题考查了数字规律的知识;解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质,从而完成求解.
    第Ⅱ卷(共70分)
    二.填空题(每小题3分,共15分)
    11. 如果最简二次根式与是同类二次根式,那么的值为_______.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式,被开方数中不含字母,并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于,这样的二次根式称为最简二次根式,几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式,根据最简二次根式和根式的定义进行解答即可.
    【详解】解:,最简二次根式与是同类二次根式,


    故答案:.
    12. 当时,化简:______.
    【答案】1-x##-x+1
    【解析】
    【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案.
    【详解】解:当x<1时,x-1<0,
    则==1-x.
    故答案为:1-x.
    【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简,解题的关键是确定x-1的符号.
    13. 关于的一元二次方程的一个根是,则的值为_______________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题综合考查了一元二次方程的定义,一元二次方程的解;将代入原方程,可得出且,即可求解.
    【详解】将代入原方程,则且
    ∴.
    故答案为:.
    14. 定义新运算“*”,规则:,如,.若的两根为,且,则______.
    【答案】1
    【解析】
    【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程,利用因式分解法解一元二次方程得到,再根据新定义即可得到.
    【详解】解:解方程得:,
    ∵,
    ∴,
    故答案为:1.
    15. 如图,点是矩形的对角线上一动点,过点作的垂线,分别交边于点,连接,有下列结论:①四边形的面积是定值;②的值不变;③的值不变;④,则下列结论一定成立的序号有______.

    【答案】①②④
    【解析】
    【分析】本题考查了矩形的性质,三角形面积,勾股定理,平行四边形的判定和性质等,过点C作,交的延长线于点G,可得四边形是平行四边形,,推出,即可判断结论①;由,可判断结论②;利用勾股定理即可判断结论③;根据现有条件无法证明的值不变,即可判断④.
    【详解】解:过点C作,交的延长线于点G,

    ∵四边形是矩形,
    ∴,
    ∴四边形是平行四边形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,即,
    ∴四边形的面积是定值,故①正确;
    ∵,
    ∴的值不变,故②正确;
    ∵,
    ∴,故④正确;
    根据现有条件无法证明的值不变,故③错误,
    故答案为:①②④.
    三.解答题(共55分)
    16. 计算:
    (1);
    (2).
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算,零指数幂,负整数指数幂:
    (1)先计算二次根式乘法,零指数幂和负整数指数幂,再去绝对值,最后计算加减法即可;
    (2)利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可.
    【小问1详解】
    解:

    【小问2详解】
    解:

    17. 解下列方程:
    (1);
    (2).
    【答案】(1),
    (2),
    【解析】
    【分析】本题主要考查了解一元二次方程:
    (1)利用因式分解法解方程即可;
    (2)利用因式分解法解方程即可.
    【小问1详解】
    解:∵,
    ∴,
    ∴或,
    解得,;
    【小问2详解】
    解:∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴或,
    解得,.
    18. 如图,在中,两条对角线交于点O,且平分.

    (1)求证:四边形是菱形;
    (2)若,,求四边形的周长.
    【答案】(1)见解析 (2)20
    【解析】
    【分析】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判定与性质,熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键.
    (1)根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推得,再利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明;
    (2)根据“菱形的对角线互相垂直”知,然后利用勾股定理可求得的长,最后利用“菱形的四边相等”即可得到答案.
    【小问1详解】
    ∵ 四边形 是平行四边形,


    平分,



    ∴四边形是菱形;
    【小问2详解】
    ∵ 四边形是菱形,
    ,,
    ,,

    四边形的周长.
    19. 如图,要修建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长为18米),其余三边用竹篱笆,篱笆的总长度为35米,围成长方形鸡场的四周不能有空隙.
    (1)若要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各应为多少米?
    (2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗?如果能,写出计算过程,如果不能,说明理由.
    【答案】(1)鸡场的长为15米,宽为10米
    (2)不能
    【解析】
    【分析】此题考查了一元二次方程的应用,读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程是解题的关键,注意宽的取值范围.
    (1)先设养鸡场的宽为,得出长方形的长,再根据面积公式列出方程,求出x的值即可,注意x要符合题意;
    (2)先设养鸡场的宽为,得出长方形的长,再根据面积公式列出方程,根据根的判别式的值,即可得出答案.
    【小问1详解】
    解:设养鸡场宽为,根据题意得:

    解得:,
    当时,,
    当时,,(舍去),
    则养鸡场的宽是,长为.
    【小问2详解】
    解:设养鸡场宽为xm,根据题意得:

    整理得:,

    ∵方程没有实数根,
    ∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米.
    20. 已知关于的一元二次方程,其中、、分别为三边的长.
    (1)如果是方程的根,试判断的形状,并说明理由;
    (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断的形状,并说明理由;
    (3)如果,,,求这个一元二次方程的根.
    【答案】(1)是等腰三角形;理由见解析
    (2)直角三角形;理由见解析
    (3),
    【解析】
    【分析】(1)把代入原方程,可得到的数量关系,即可判断的形状;
    (2)根据方程有两个相等的实数根得到,从而得到,由勾股定理的逆定理即可得到答案;
    (3)把,,代入原方程,利用公式法解方程即可.
    【小问1详解】
    解:是等腰三角形,理由如下:
    是方程的根,


    ,即,
    是等腰三角形;
    【小问2详解】
    解:是直角三角形,理由如下:
    方程有两个相等的实数根,



    直角三角形;
    【小问3详解】
    解:将,,代入方程得:,
    解得:,
    ∴,.
    【点睛】本题考查了一元二次方程的解、勾股定理的逆定理、一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的判定、解一元二次方程,熟练掌握以上知识点是解此题的关键.
    21. 阅读下述材料:
    我们在学习二次根式时,熟悉的分母有理化以及应用.其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”,
    与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式,比如:,
    分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如:
    比较和的大小.可以先将它们分子有理化如下:,,
    因为,所以.
    再例如:求的最大值.做法如下:
    解:由可知,而,
    当时,分母有最小值2,所以y的最大值是2.
    解决下述问题:
    (1)比较和的大小;
    (2)求的最大值和最小值.
    【答案】(1)
    (2)的最大值为2,最小值为
    【解析】
    【分析】(1)利用分子有理化得到,,然后比较和的大小即可得到与的大小;
    (2)利用二次根式有意义的条件得到,而,利用当时,有最大值1,有最大值1得到所以的最大值;利用当时,有最小值,有最小值0得到的最小值.
    【小问1详解】


    而,,


    【小问2详解】
    由,,得,

    ∴当时,有最小值,则有最大值1,此时有最大值1,所以的最大值为2;
    当时,有最大值,则有最小值,此时有最小值0,所以的最小值为.
    【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想:类比思想.解决本题关键是要读懂例题,然后根据例题提供的知识点和方法解决问题.同时要注意所解决的问题在方法上类似,但在细节上有所区别.
    22. 探究问题:
    ⑴方法感悟:
    如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF.
    感悟解题方法,并完成下列填空:
    将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:
    AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,
    ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,
    因此,点G,B,F在同一条直线上.
    ∵∠EAF=45°
    ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.
    ∵∠1=∠2,
    ∴∠1+∠3=45°.
    即∠GAF=∠_________.
    又AG=AE,AF=AF
    ∴△GAF≌_______.
    ∴_________=EF,故DE+BF=EF.
    ⑵方法迁移:
    如图②,将沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=∠DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.
    ⑶问题拓展:
    如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由)

    【答案】⑴EAF、△EAF、GF;⑵DE+BF=EF;⑶当∠B与∠D互补时,可使得DE+BF=EF.
    【解析】
    【分析】(1)根据正方形性质填空;(2)假设∠BAD度数为,将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,结合正方形性质可得DE+BF=EF. ⑶根据题意可得,当∠B与∠D互补时,可使得DE+BF=EF.
    【详解】⑴EAF、△EAF、GF.
    ⑵DE+BF=EF,理由如下:
    假设∠BAD的度数为,将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:
    AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,
    ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,
    因此,点G,B,F在同一条直线上.
    ∵∠EAF=
    ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=
    ∵∠1=∠2,
    ∴∠1+∠3=.
    即∠GAF=∠EAF
    又AG=AE,AF=AF
    ∴△GAF≌△EAF.
    ∴GF=EF,
    又∵GF=BG+BF=DE+BF
    ∴DE+BF=EF.
    ⑶当∠B与∠D互补时,可使得DE+BF=EF.
    【点睛】正方形性质综合运用.
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