山东省临沂市河东区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省临沂市河东区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省临沂市河东区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、山东省临沂市河东区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．
2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．
3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列二次根式中可以与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，先对各选项的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可求解，正确化简是解题的关键．
【详解】解：、，与不能合并，该选项不合题意；
、，与能合并，该选项符合题意；
、，与不能合并，该选项不合题意；
、，与不能合并，该选项不合题意；
故选：．
2. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三内角之比为B. 三边长的比例为
C. 三边长的平方的比例为D. 三内角之比为
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、D；若三角形中，两较小边的长的平方和等于最长边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断B、C．
【详解】解：∵三内角之比为，三内角之和为，
∴三内角为，，，则该三角形是直角三角形，故A不符合要求；
不妨设三边长分别为x，，，
∴，
∴边长的比例为的三角形是直角三角形，故B不符合要求；
∵三边长的平方之比为，则设三边长的平方分别为，
∵，
∴三边长的平方的比例为的三角形是直角三角形，故C不符合要求；
∵三内角之比，三内角之和为，
∴三内角为，，，三角形不是直角三角形，故D符合要求；
故选：D．
3. 用折纸、剪切的方法得到一个菱形，最少要剪（ ）刀（设一条线段剪一刀）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查菱形性质，熟练掌握菱形的性质即对角线互相垂直平分，四边相等．满足菱形各边长相等，对角线互相垂直即可．
【详解】解：将纸对折四折，把原来纸的中心作为直角三角形的直角，然后任意剪一个三角形下来，都是菱形，则剪一刀即可．
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
【详解】解：A、、，不是同类二次根式，不可以合并，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选：C．
5. 已知平面直角坐标系内两点，，那么线段的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先构造直角三角形，确定两个直角边的长度，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，如图，
，，

，，
线段的长是．
故选：C．
6. 如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的定义以及性质，根据确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了．
【详解】解：只有两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小，
故选：．
7. 已知在数轴上的位置如图，化简：（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用数轴化简二次根式，先根据数轴可得，且，进而得到，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，且，
∴，，
∴原式
，
，
，
故选：．
8. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了含直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定；
作于D，于E，根据求出刻度尺的宽，得到，然后根据含直角三角形的性质和勾股定理计算出，进而求出即可得到答案．
【详解】解：如图，作于D，于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴
故选：A．
9. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（ ）
A. 5B. 3.5C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，再根据勾股定理求出AF即可求出CH的长．
详解】解：延长AD交EF于M，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=7，
∴AB=BC=1，CE=EF=7，∠E=90°，
则AM=BC+CE=1+7=8，FM=EF-AB=7-1=6，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：，
∴CH=5，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF．
10. 如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，与相交于点，由折叠的性质得，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出，得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，根据勾股定理求出的长度，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，与相交于点，

由折叠可知，垂直平分，，
∴，，
∵，点为中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 要使式子有意义，那么x的取值范围是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
12. 有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数；
当第三个数是斜边时，第三个数；
∵三个数是一组勾股数，
∴当第三个数为时，不合题意，舍去，
∴第三个数是，
故答案为：．
13. 电流通过导线时会产生热量．电流（单位：）、导线电阻R（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流为______．（结果用二次根式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用，把，，代入中计算即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：把，，代入得，
，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，平行四边形两对角线，相交于点，且，若的周长为，则______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长，由平行四边形的性质得，，，进而得，再根据的周长为可得，即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在边长为4的等边三角形的外侧作正方形，过点D作，垂足为F，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线，利用正方形性质、等边三角形性质、勾股定理和特殊角的直角三角形性质是解题的关键．如图，延长、交于点，利用正方形性质和等边三角形性质可得：，，，解直角三角形可得，，再求得，根据直角三角形性质得出答案．
【详解】解：如图，延长、交于点，
四边形为正方形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
在中，
，，
，
在中，，
．
故答案为：．
16. 如图，中，， ，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第个三角形的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，图形的变化规律，根据三角形的中位线性质可得后一个三角形的周长是前一个三角形周长的，据此得到第个三角形的周长为，把代入计算即可求解，根据题意得出周长的变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题可得的周长是 ，
∵点、、分别是边、、的中点，
∴是的三条中位线，
∴ 的周长是，
同理，的周长是，
，
以此类推，的周长是，
∴第个三角形的周长是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先化简二次根式，再计算小括号内的二次根式减法，最后计算二次根式除法即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米，若种植草皮费用为5元/平米，求种植此块草皮的费用．
【答案】种植此块草皮的费用为元
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，
∵，
∴，
在中，，
而，
∴，
∴是直角三角形，，
∴种植草皮的面积为
（平方米），
（元）．
答：种植此块草皮的费用为元．
19. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得，，，由平行线的性质和角平分线的性质得出，可证，即可得出，进而可得．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，
在和中，
∴
∴，
∴，即．
20. 在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题：
（1）填空：_______，_______；
（2）化简：．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算：
（1）先分子和分母都乘进行分母有理化即可；分子和分母都乘进行分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：

．
21. 勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何
（1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点D表示的数是多少．
（2）应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．
【答案】（1）点表示的数为；
（2）秋千绳的长为5米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用：
（1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．
（2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【小问1详解】
解：在中，，
∴
又
∴，
∴点表示的数为；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得，
解得，，
即秋千绳的长为5米
22. 如图，平行四边形中，，，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接，．
①当_______时，四边形是菱形；
②当_______时，四边形是矩形；
请选择其中一个结论证明．
【答案】①4；②7
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．
由平行四边形的性质先证明，进而证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形；①根据平行四边形的性质可得，因此只需要保证是等边三角形，即可证明，从而证明平行四边形是菱形，据此求解即可；②当cm时，平行四边形是矩形，过A作于M，可证明，得到，即可证明平行四边形是矩形．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形平行四边形．
①当时，四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：4；
②当cm时，平行四边形是矩形，理由如下：
如图，过A作于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和△中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：7．
23. 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
（1）文中的________．
（2）化简：________．
（3）已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
（4）化简：________．（直接写出答案）
【答案】（1）
（2）
（3）7或13 （4）当时，，当时，
【解析】
【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简：
（1）根据题目所给信息即可得到答案；
（2）根据结合完全平方公式求解即可；
（3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可．
（4）根据进行化简求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，．
故答案为：；
【小问2详解】
解：
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由题意得，
∴，，
∵x，y为正整数，
∴，或，，
∴或．
【小问4详解】
解：
，
当，即时，则原式；
当，即时，则原式；
综上所述，当时，，当时，．
24. 如图，在正方形中，点是边上的一动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交边于点，连接，．
（1）补全图形，探究与的数量关系并证明；
（2）过点作于点E，交的延长线于点，连接．
直接写出的形状；
用等式表示线段，的数量关系，并证明．
【答案】（1）补图见解析，，证明见解析
（2）为等腰直角三角形；，理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据题意画出图形即可，根据对称得，得到，，，再由证明，得到，得到，即得；
（）由（）和正方形的性质可得，又由，得，即可得到为等腰直角三角形；．过点作交的延长线于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，则得出 ，证得是等腰直角三角形，则可得出结论；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：补全图形如下：
，
证明如下：∵四边形是正方形，
∴，，
∵ 点关于直线的对称点为，
∴，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形；
，证明如下：
如图，过点作交的延长线于点，连接，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．