湖北省沙市中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省沙市中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．“”是“为椭圆方程”是( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是( )
A.B.C.D.
3．在等差数列中，，那么该数列的前14项和为( )
A.20B.21C.42D.84
4．设等比数列的前n项和为，且满足，，则( )
A.-63B.-21C.21D.63
5．已知点D在确定的平面内，O是平面外任意一点，正实数x，y满足，则的最小值为( )
A.B.C.D.
6．若函数有零点,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数(e=2.718…为自然对数的底数)，若的零点为α，极值点为β，则( )
A.2B.1C.0D.-1
8．直线经过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于A，B两点，若M为线段中点，，则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数，则下列说法正确的有( )
A.是偶函数
B.是周期函数
C.在区间上，有且只有一个极值点
D.过作y=的切线，有无数条
10．某数学兴趣小组的同学经研究发现,反比例函数的图象是双曲线,设其焦点为M,N,若P为其图象上任意一点,则( )
A.是它的一条对称轴B.它的离心率为
C.点是它的一个焦点D.
11．设函数，则下列说法正确的是( )
A.的定义域是B.时，的图象位于x轴下方
C.存在单调递增区间D.有且仅有两个极值点
三、填空题
12．已知函数，则______.
13．已知直线与圆：交于A，B两点，写出满足“是等边三角形”的m的一个值：________.
14．在正方体中,,点平面,点F是线段的中点,若,则当的面积取得最小值时,______________.
四、解答题
15．已知函数
（1）求的单调区间和极值；
（2）若对任意，成立，求实数m的最大值.
16．，在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且，D为的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
17．已知椭圆方程，左右焦点分别，.离心率，长轴长为4.
（1）求椭圆方程.
（2）若斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，与以，为直径的圆交于C，两点.若，求直线l的方程.
18．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中c为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求的最小值.
19．定义：对于任意大于零的自然数n,满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列.
(1)若等差数列的前n项和为,且,,判断数列是否是M数列,并说明理由;
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为,且,,证明：数列是M数列;
(3)设数列是各项均为正整数的M数列,求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意有，解得，故选B
2．答案：C
解析：依题意，设抛物线方程为，
由焦点坐标为，得，即，
所以抛物线的标准方程为.
故选：C.
3．答案：B
解析：设等差数列的过程为d，
因为，
所以，
即，所以，
所以.
故选：B
4．答案：B
解析：设数列的公比为q，
∵，
∴，解得，
∴，
故选：B
5．答案：A
解析：因为，且A，B，C，D四点共面，
由空间四点共面的性质可知，即，
又，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
6．答案：C
解析：已知函数,则,,
当时,;当时,.
在区间上单调递减;在区间上单调递增.
所以,则,又,,
所以.
故选：C.
7．答案：B
解析：，
当时，，即，解得；
当时，恒成立，
的零点为．
又当时，为增函数，故在，上无极值点；
当时，，，
当时，，当时，，
时，取到极小值，即的极值点，
．
故选：B．
8．答案：D
解析：如图所示，
因为，所以，
所以，
设，，，
则，两式相减得，
则，
因为直线，M为线段中点，，
所以，，
代入上式得，则，
所以椭圆的离心率.
故选：D.
9．答案：AC
解析：显然，A正确；
显然不是周期函数，B错误；
对于C，，令，，当时，，则单调递减，
又，，故在上只有一个解，C正确;
对于D，设切点为，则切线方程为，
10．答案：ABD
解析：反比例函数的图象为等轴双曲线,故离心率为,其中一个焦点坐标应为.
11．答案：BC
解析：由题意函数满足，解得且，
所以函数的定义域为，所以A不正确；
由，当时，，
∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；
∵，设，
所以，函数单调增，，，
所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；
则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；
故选：BC.
12．答案：5
解析：当时，，所以，
又，
则，解得，
由定义可知，.
故答案为：
13．答案：（或，答案不唯一）
解析：
因为是等边三角形，所以，
设圆心C到直线的距离为，
则根据弦长公式可得：，解得：.
即，解得.
故答案为：（或，答案不唯一）
14．答案：
解析：以点D为坐标原点,以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,设,则,,
因为,故,即,由于平面,平面,故,所以的面积为,
而,
故,当时,取最小值,即S最小,
此时,,则,故,即
15．答案：（1）单调增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值；
（2）4
解析：（1）由，得，
令，得；令，得，
∴的单调增区间是，单调减区间是，
故在处有极小值，无极大值；
（2）由及，得恒成立，
令，则，由，由，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，因此，所以m的最大值是4.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）不能，理由见解析.
解析：（1）因为底面是边长为2的等边三角形，D为的中点，
故；又底面，底面，故，
又，平面，故平面，
又平面，故平面平面；
（2）由已知可知，，且D为的中点，
则，即四边形为平行四边形，故，由底面，得底面，因为平面，所以，，
以D为坐标原点，以，，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
结合（1）可知平面的法向量可取为；
设平面的一个法向量为，而，
故，即，令，则，
假设平面与平面的夹角能为，
则，即，此方程无解，
假设不成立，即平面与平面的夹角不能为.
17．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）根据题意，设，的坐标分别为，，
根据椭圆的几何性质可得，解得，，则，
故椭圆C的方程为.
（2）假设存在斜率为1的直线l，那么可设为，
则由（1）知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为，
圆心到直线l的距离，得，即，
则，
联立得，
设，，，，则，得，故，
，
由可得
解得，得.即存在符合条件的直线.
18．答案：（1），；
（2）；
（3）0
解析：（1）求导易知，.
（2）构造函数，，由（1）可知，
①当时，由，
可知，，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数a的取值范围为.
（3），，
令，则；令，则，
当时，由（2）可知，，则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0.
19．答案：(1)不是M数列,理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：（1）由题意知,故,
则,故,
但等差数列为严格增数列,当时,,所以不是M数列;
（2）由,则,即,有,则,
即,则,
则,
又,
即对任意大于零的自然数n,满足条件,且,
即数列是M数列;
（3）假设存在正整数k使得成立,
由数列的各项均为正整数,可得,即,
因为,所以,
由及得,
故,因为,
所以,
由此类推可得,
因为又存在M,使,
当时,,这与数列的各项均为正数矛盾,所以假设不成立,
即任意大于零的自然数n,都有成立.