江西省丰城中学2023-2024学年高二下学期第一次段考数学试卷(含答案)

这是一份江西省丰城中学2023-2024学年高二下学期第一次段考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．5个人排成一列,已知甲排在乙的前面,则甲,乙两人相邻的概率是.( )
A.B.C.D.
2．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
若离散型随机变量，则( )
A.B.C.D.
3．某考生回答一道四选一的单项选择考题,假设他知道正确答案的概率为0.6,知道正确答案时,答对的概率为,而不知道正确答案时,猜对的概率为,那么他答对题目的概率为( )
A.0.8C.0.6D.0.2
4．下表是茶颜悦色“幽兰拿铁”一天的销售量y(单位:杯)与温度x(单位:摄氏度)的对比表,根据表中数据计算得到y关于x的经验回归方程是,则m的值为( )
A.86B.88C.90D.92
5．设的分布列为,则( )
A.10B.30C.15D.5
6．已知随机变量X的分布列如右图:则是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．设等差数列，的前n项和分别为，，若，则( )
A.B.C.D.
8．以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成的二面角.若，，其中x，，则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．有一组样本数据,,…,,由这组样本数据得到的经验回归方程为,则( )
A.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱
B.经验回归直线必经过点
C.若样本数据的残差为1,则样本中必有数据的残差为
D.样本相关系数时,样本数据,,…,都在直线上
10．某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成频,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析商分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于内的学生成绩方差为12,成绩位于内的同学成绩方差为10.则( )
参考公式:样本划分为2层,各层的容量、平均数和方差分别为:m,,,n,,平均数为.样本方差为,.
A.
B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
11．设,F为椭圆的左,右焦点,P为椭圆上的动点,且椭圆上至少有17个不同的点,,,,组成公差为d的递增等差数列,则( )
A.的最大值为B.的面积最大时,
C.d的取值范围为D.椭圆上存在点P,使
三、填空题
12．已知数列中,,,且数列为等差数列,则__________
13．某市有30000人参加阶段性学业水平检测,检测结束后的数学成绩X服从正态分布,若,则成绩在140分以上的大约为__________人.
14．将A,B,C,D,E五个字母排成一排,A,B均在C的同侧,记A,B之间所含其它字母个数为,则方差__________
四、解答题
15．记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
16．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD，E，F分别为PA，AB的中点，直线AC与DF相交于O点.
（1）求B到平面DEF的距离；
（2）求直线PC与平面DEF所成角的正弦值.
17．2023年我校成功获得宜春市数理特色学校称号,在狠抓教学质量的同时,校领导要求团委积极组织课外活动,丰富学生课余生活,本学期团委准备组建足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关,随机在高一年级抽取了男､女同学各100名进行调查,部分数据如表所示:
（1）根据所给数据完成上表,并判断是否有的把握认为我校学生喜欢足球与性别有关?
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为,女生进球的概率为,每人射门一次,假设各人射门相互独立,求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附:.
18．.2024年3月4日,丰城市农业局在市委组织下召开推进湖塘-董家富硒梨产业高质量发展专题会议,安排部署加快推进特色优势产业富硒梨高质量发展工作,集中资源､力量打造“富硒梨”公共品牌.丰城市为做好富硒梨产业的高质量发展,项目组统计了某果场近5年富硒梨产业综合总产值的各项数据如下:年份x,综合产值y(单位:万元)
（1）根据表格中的数据,可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系,请用相关系数加以说明(精确到0.01);
（2）求出y关于x的经验回归方程,并预测2024年底该果场富硒梨产业的综合总产值.
参考公式:相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:;
参考数据:
19．已知双曲线的右焦点为,一条渐近线方程为.
（1）求双曲线E的方程;
（2）是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A,B两点,且使得,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法,
将剩余三人排成一列有种排法,产生4个空位,让甲,乙选择两个空位插空,则有种方法,所以甲,乙两人不相邻的安排方法有种方法,
其中甲排在乙的前面的有种方法,所以甲,乙两人不相邻的概率为.故甲排在乙的前面,则甲,乙两人相邻的概率是.
故选:A.
2．答案：A
解析：由分布列的性质可知：，解得，
由，等价于，由表可知.
故选：A.
3．答案：B
解析：根据题意,设该考试他知道正确答案为事件A,则,;
那么他答对题目的概率,
故选:B.
4．答案：D
解析：由题意可知:,
所以,
则,
解得.
故选D.
5．答案：A
解析：的分布列为,
,
,
.
故答案为:10.
故选:A.
6．答案：A
解析：由题意知,
若,则,
得,,
,故充分性满足;
若,则,
解得或,
则或,故必要性不满足.
故选:A.
7．答案：A
解析：因为，，所以.
8．答案：C
解析：由已知得，，所以是和折成的二面角的平面角，所以，
又，所以，，
，所以，
因为，其中x，，所以点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，
设点P到平面ABC的距离为h，
因为，，，所以平面BDC，所以AD是点A到平面BDC的距离，
所以，
又中，，所以，
所以，则，所以，解得，
所以的最小值为，
故选：C.
9．答案：BD
解析:对于A,应该是越大,线性相关越强,故错误;
对于B,根据线性回归方程的规则,样本中心的必须在回归直线上,故正确;
对于C,的残差只是表示这一点的残差,与其他点无关,故错误;
对于D,当时,样本数据具有确定的函数关系,当然是在回归直线上,故正确;
故选:BD.
10．答案：BCD
解析：对于A选项,在频率分布直方图中,所有直方图的面积之和为1.
则,解得,A错;
对于B选项,前两个矩形的面积之和为.
前三个矩形的面积之和为.
设该年级学生成绩的中位数为m,则,
根据中位效的定义可得,解得,
所以,估计该年级学生成绩的中位数约为,B对;
对于C选项,估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为分,C对;
对于D选项,估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为,D对.故选:BCD.
11．答案：ABC
解析：对于A,因为P为椭圆上的动点,所以,的最大值为,故A正确;对于B,当点P为短轴顶点时,最大,的面积最大,此时,所以,故B正确;
对于D,由B可知,即,所以D错误;
对于C,设,,,…组成公差为d的等差数列为,所以,,,故C正确,
故选:ABC.
12．答案：
解析：若数列为等差数列,设,
则,,则,
则,
即,
解得,
故答案为:
13．答案：150
解析：由题意,考试的成绩X服从正态分布.所以考试的成绩X的正态密度曲线关于对称.因为,所以,所以,所以该市成综在140分以上的人数为.
14．答案：
解析：由题意知,的可能取值为0,1,2.又因为将A,B,C,D,E五个字母排成一排A,B均在C的同侧,所以:i.当,即A,B之间没有其它字母时.先将A,B全排,有种排法,再把A,B的全排看作一个大元素,参加剩下的3个元素全排,有种排法因此共有种排法;ii.当,即A,B之间只有D,E之一时.先将A,B全排,有种排法,再在D,E中选1个放入A,B之间,有种选法,再把这三个元素的排列看作一个大元素,参加剩下的2个元素全排,有种排法,因此共有种排法;iii.当,即D,E都在D,E之间时,先将A,B全排,有种排法,把D,E全排,有种排法,再把D,E全排作为一个大元素放入A,B之间有1种放法,再把这4个元素的排列看作一个大元素与C全排,有种排法,因此共有种排法.
所以基本事件共有种.
,
,
,
所以,
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，
由题意可得，即，解得，
所以.
（2）令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由平面，且AB，平面ABCD，
故，，又底面ABCD为正方形，
故，故AB，AD，PA两两垂直，
故可以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面DEF的法向量为，
则有，即，令，则有，，故可为，
则B到平面DEF的距离；
（2），，则，
则有，
故直线PC与平面DEF所成角的正弦值为.
17．答案：（1）有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）
解析：（1）根据题意,得到列联表如下:
可得,
所以有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）由题意,人进球总次数的所有可能取值为,
可得,,
,,
所以随机变量的分布列为:
所以的数学期望为.
18．答案：（1）见解析
（2）175.68万元
解析：（1）由题设,则,,,
所以,两个变量有强相关性,
故可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系.
（2）由（1）,,,
所以,
当,则万元.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为双曲线E的一条渐近线方程为,所以,又,
因此,又,,;
则E的方程为.
（2）假设存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A,B两点,且使得,
设,,AB中点为,又,,
由可知为等腰三角形,,且直线l不与x轴重合,
于是,即,
因此,,(I)
点A,B在双曲线E上,所以,
①②化简整理得:,,即,可得,(II)
联立(I)(II)得:,,,
解得(舍去),适合题意,则;
由得,
所以直线l的方程为:,即.
X
0
1
2
3
P
a
温度(x)
18
19
20
21
22
销售量(y)
79
84
m
94
96
X
1
2
p
a
b
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
k
3.841
6.635
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码x
1
2
3
4
5
综合产值y
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
0
1
2
3
P