天津市津衡高级中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）质量检测数学试卷(含答案)

这是一份天津市津衡高级中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）质量检测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若为实数,是纯虚数,则复数为( )
A.B.C.D.
2．已知单位向量满足,,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
3．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若, 则( )
A.B.C.D.
4．设向量，，若，共线，则( )
A.B.C.D.
5．在中,,P为上一点,若,则实数的值( )
A.B.C.D.
6．在中,角A､B､C的对边分别为a､b､c,若,则的形状是( )
A.锐角三角形B.等腰三角形C.等腰或直角三角形D.直角三角形
7．已知向量,的夹角为60°,且,,则向量在方向上的投影向量的模等于( )
A.B.C.D.1
8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则等于( )
A.B.C.D.
9．复数是纯虚数,则( )
A.B.C.D.
10．如图,已知四边形ABCD为直角梯形,,,,,,设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界）,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
11．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“”是“A为锐角”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
12．已知的重心为点P,若,则角B为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知向量,,若,则________________.
14．甲骑电动车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B处时与电视塔S的距离是_________________.
15．在中,已知,,且该三角形有唯一解,则a取值范围____________.
16．设点M在直线上,点A在直线外,且,,,则的最小值为________________.
三、双空题
17．在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,,,则_____________,外接圆半径为__________________.
18．在中,,,,,记,,用,表示_____________;若,则的最大值为______________.
四、解答题
19．实数m分别取什么数值时,复数
(1)为纯虚数;
(2)对应点在第四象限.
20．已知向量与的夹角为,,.
（1）求;
（2）若和垂直,求实数的值.
21．在中,D为上一点,,,,.
（1）求角B;
（2）求.
22．在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知,,.
(1)求c的值;
(2)求的值：
(3)求的值.
23．在中,,点C,D分别在,边上.
(1)若,,求面积的最大值;
(2)设四边形的外接圆半径为R,若,且的最大值为,求R的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,,,,
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：单位向量满足,则,,

又与的夹角的范围是
所以与的夹角为
故选：B.
3．答案：C
解析：由题意,,
由余弦定理,,
, .
故选：C.
4．答案：A
解析：因为，，且，共线，
则解得.
故选：A.
5．答案：C
解析：,,则,
,
由于P为上一点,则,
设,则,
所以,解得.
故选：C.
6．答案：B
解析：,由正弦定理得：,
因为,
所以,即,
因为A,,所以,
故,所以是等腰三角形.
故选：B.
7．答案：B
解析：由题设,,
而,
所以,可得或(舍),
综上,向量在方向上的投影向量的模为.
故选：B.
8．答案：B
解析：由，得，即，
所以，
所以，即，
故选：B.
9．答案：C
解析：由于是纯虚数,所以,
所以.
故选：C.
10．答案：A
解析：依题意过点D作交的延长线于点E,则,
设与的夹角为,
因为点P为直角梯形内一点（不包含边界）,所以在方向上的投影,且,
所以
故选：A.
11．答案：A
解析：①在中,若,则,
即,
,
,
为锐角,
即“”“A为锐角”,
②若A为锐角,则,即,
无法推出,
所以“A为锐角”“”,
综上所述:“”是“A为锐角”的充分不必要条件,
故选：A
12．答案：D
解析：取的中点D,由的重心为点P,可得,又,
所以,
所以,
即,
因为,不共线,所以,
故,
所以,故,
又,所以,
因为,所以.
故选：D.
13．答案：-2
解析：因为,所以,解得,
故答案为：-2.
14．答案：
解析：如图,由已知可得,.
在中,,,,
,由正弦定理可得,
故答案为:.
15．答案：
解析：在中,,,
由正弦定理得,,,
要使三角形有唯一解,得到,即,
,解得,
又时,三角形也只有一解,
此时,的取值范围为.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为,则,
即得,即,
由于,,故,
当时,最小,最小值为,
故答案为：.
17．答案：;1
解析：中,,,,
由余弦定理,得,
因此,由正弦定理,得外接圆的半径R满足
,即外接圆的半径为1.
故答案为：;1.
18．答案：;
解析：空1：因为E为的中点,则,可得,
两式相加,可得到,
即,则;
空2：因为,则,可得,
得到,
即,即.
于是.
记,
则,
在中,根据余弦定理：,
于是,
由和基本不等式,,
故,当且仅当取得等号,
则时,有最大值.
故答案为：;.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）为纯虚数,,即,解得：.
（2）对应的点在第四象限,,即,解得：,
的取值范围为.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,
将,代入上式得.
（2）因为和垂直,所以,
展开可得.
将,.代入上,解得.
21．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）在中,由正弦定理得,即,
所以,又,所以;
（2）在中,,所以
因为,所以,
在中,由余弦定理得,
所以.
22．答案：(1)
(2)
(3).
解析：（1）因为,,,
由余弦定理可得,解得;
（2）,,
所以,由,可得,
由正弦定理可得,即,
可得,所以;
（3）因为,由（1）可得,则,
所以,
23．答案：(1)
(2)
解析：（1）由已知,
在中,利用余弦定理知,
结合基本不等式有,
当且仅当时,等号成立,即的最大值为1,
所以面积的最大值为.
（2）四边形存在外接圆,
又,,,
,所以四边形为等腰梯形,
连接,设,,
在中,由正弦定理得,,
,
同理,在中,由正弦定理得,,
所以
,,
,
当且仅当,即
,,当且仅当时,等号成立,
即,即