重庆市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．空间直角坐标系中,已知,则点A关于yOz平面的对称点的坐标为( )
A.B.C.D.
2．从10名女护士和5名男医生中,抽取3名参加支援乡镇救护工作,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( )
A.450B.320C.225D.112
3．一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为,则该质点的瞬时速度为时,( )
A.15sB.12sC.9sD.4s
4．已知离散型随机变量X服从二项分布,且,,则pt的最大值为( )
A.B.C.D.
5．已知椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线与E交于点A,B.直线l为E在点A处的切线,点B关于l的对称点为M.由椭圆的光学性质知,,A,M三点共线.若,,则( )
A.B.C.D.
6．某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,1,2,3,5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数是( )
A.24B.27C.30D.33
7．定义为n个正数,,,的“均倒数”,若已知数列的前n项的“均倒数”为,又,则( )
A.B.C.D.
8．已知甲盒中有2个球且都为红球,乙盒中有3个红球和4个蓝球,从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中
(1)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为;
(2)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为,则( )
A.,B.,
C.,D.,
二、多项选择题
9．已知圆锥SO的侧面展开图为一个半圆,AC为底面圆O的一条直径,,B为圆O上的一个动点(不与A,C重合)，记二面角的平面角为,二面角的平面角为,则( )
A.该圆锥母线长为2
B.圆雉SO的体积为
C.若,则平面SAC
D.三棱锥的外接球的半径为
10．关于函数,下列说法正确的是( )
A.是的极小值点
B.在区间上单调递减
C.
D.
11．如图,一质点在圆上运动,该圆被均分为8段,每段需花3分钟时间且质点在每段起点都等可能的选择顺时针或者逆时针运动完该段圆弧,若该质点从A出发,下述结论正确的是( )
A.若质点运动不超过9分钟,则恰好停在D点的概率为
B.若质点运动15分钟,则恰好停在D点的概率为
C.若质点运动不超过15分钟,则恰好停在D点的概率为
D.若质点运动21分钟,则恰好停在D点的概率为
三、填空题
12．若数列中,,,则______.
13．已知,则的值为______.
14．已知,满足:,,,则代数式的取值范围是______.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求在上的最值.
16．小李下班后驾车回家的路线有两条.路线1经过三个红绿灯路口,每个路口遇到红灯的概率都是;路线2经过两个红绿灯路口,第一个路口遇到红灯的概率是,第二个路口遇到红灯的概率是.假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同,且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立.
(1)若小李下班后选择路线2驾车回家,已知小李在路上遇到了红灯的情况下,求小李在第一个路口就遇到了红灯的概率;
(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加,为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间(单位:)的期望最小,则小李应选择哪条路线？请说明理由.
17．设数列的前n项和为,且,数列满足,其中.
(1)证明为等差数列,求数列的通项公式;
(2)求使不等式对任意正整数n都成立的最小实数m的值.
18．设抛物线,圆,.已知C上的点到P的准线的距离的最小值为2.
(1)求a;
(2)倾斜角为的直线l与C交于A,B两点,与P交于M,N两点.
(i)若AB为圆C的直径,求的面积;
(ii)当取最大值时,求直线l在y轴上的截距.
19．已知与都是定义在上的函数,若对任意,,当时,都有,则称是的一个“控制函数”.
(1)判断是否为函数的一个控制函数,并说明理由;
(2)设的导数为,,求证:关于x的方程在区间上有实数解;
(3)设,函数是否存在控制函数?若存在,请求出的控制函数;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：根据空间直角坐标系的对称性可得关于yOz平面的对称点的坐标为,故选:B.
2．答案：C
解析：根据分层抽样要求,应选出2名女护士,1名男医生,不同的抽取方法数为种.故选:C.
3．答案：C
解析：根据题意,,则,若该质点的瞬时速度为,即,解可得.故选:C.
4．答案：C
解析：离散型随机变量X服从二项分布,
所以有,,所以,即,,
所以,当且仅当时,pt的最大值为,故选:C.
5．答案：D
解析：如下图所示:
因为点B关于l的对称点为M,则,因为,且,所以,,所以,,
可得,则,所以,,故.故选:D.
6．答案：B
解析：15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有3个奇数和2个偶数.通过按日期分步,分2类,第一类:,第二类:,共27种故选：B.
7．答案：D
解析：根据“均倒数”的定义,有,故,故,两式相减得,当时,也符合上式,故.所以,注意到,故,故选D.
8．答案：A
解析：从乙盒中取1个球时,甲盒红球个数记为,则的所有可能取值为2,3,则,,,,从乙盒中取2个球时,甲盒红球数记为,则的可能取值为2,3,4,,,,,,,.故选:A.
9．答案：BCD
解析：设圆锥母线长为l,已知圆锥底面圆半径,则,解得,A选项错误所以圆锥的高,圆锥体积为,B选项正确;
分别作OD,OE垂直BA,BC于D,E,则,,若,则,此时,又,,所以平面SAC,C选项正确;设三棱锥的外接球半径为R,则,解得,D选项正确;故选:BCD.
10．答案：ACD
解析：因为,,
所以,函数的增区间为,,减区间为,
对于A选项,是的极小值点,A对;对于B选项,在区间上递增,B错对于C选项,;因为,C对;对于D选项,若为奇函数,为偶函数,故D对故选:ACD.
11．答案：BCD
解析：选项A:9分钟或9分钟以内到只能是,概率为,故A错误;选项B:15分钟共走5步,可以顺时针走5步,即,概率为,可以逆时针走4步,概率为,故其概率为,故B正确;选项C:15分钟或15分钟以内到,即共走小于或等于5步,可能顺时针走5步概率为,可能逆时针走3步概率为,或者逆时针走四步,顺时针走一步,概率为,故其概率为,故C正确;选项D:21分钟后恰好到,共走7步,可以逆时针走5步返回2步,可以顺时针走6步返回1步,所以其概率为,故D正确;故选:BCD.
12．答案：1
解析：因为,,可得,所以,,故对任意的,,所以,数列的奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,因此,.
13．答案：31
解析：由二项式定理得,,解得,.故答案为:31.
14．答案：
解析：设直线与单位圆交于E,F两点,则点A到直线的距离为;点B到直线的距离为,因为,所以,
设点A与直线的夹角为,当A,B在直线的同侧时,,
,当A,B在直线的异侧时,,,综上知,的取值范围是.故答案为:.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,则,又,所以切线方程为;
(2)函数,.
当或时,;当,,
故函数递增区间为和,递减区间为.
可得函数在上单调递减,在上单调递增,且,,则在上的最大值,最小值.
16．答案：(1)
(2)1
解析：(1)记小李在路上遇到红灯为事件A,小李在第一个路口遇到红灯为事件B,,则
则小李在路上遇到了红灯的情况下，小李在第一个路口就遇到了红灯的概率为.
(2)设路线1累计增加时间的随机变量为,则,所以,设路线2第i个路口遇到红灯为事件,则,,设路线2累计增加时间的随机变量为,则的所有可能取值为0,1,2,则,,,所以.因为,所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小,小李应选择路线1.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,所以,当时,,即,则有,,所以是以1为公差2为首项的等差数列,是以,是以;
(2),则令,对于任意的正整数n都成立,故,是以,单调递减,
所以,所以,所以m的最小值为.
18．答案：(1)4
(2)(i)
解析：(1)圆C是以,为圆心3为半径的圆,抛物线P的准线方程为.因为C上的点到P的准线距离的最小值为2,所以,解得
(2)(i)若AB为圆C的直径,则l过点,又因为l的倾斜角为,斜率为1,所以l的方程为.设,.
由得,即,
解得,.因此,的面积为.
(ii)设,由于l与C交于A,B两点,则C到l的距离为,由,得.①
由勾股定理,.由于l与P交于M,N两点,由得.判别式,得.②由①②可知.设,,则,.所以.
则.令,则,由基本不等式,.
当且仅当,即时等号成立,取得最大值,
此时l的方程为,在y轴上的截距为.
19．答案：(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)是，理由见解析
解析：(1)对任意,则,且,所以是函数的一个控制函数;
(2)证明:因为,则,
则,,
,,,设,,在上,在上,则在单调递减,在上单调递增,最大值,
,,,,,,,则,,,即,
同理,,
,,即综上,,
,在区间上的值域为,则在区间上有实数解.
(3),则,其中,
,,,,,则即,
同理,即,则是的一个控制函数.