2024届青海省西宁市大通县高考四模数学（理）试卷

这是一份2024届青海省西宁市大通县高考四模数学（理）试卷，共13页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，15，函数的部分图象大致为，记等差数列的前项和为，展开式中系数为有理数的项共有，已知，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.复数满足，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知椭圆的离心率为，则（ ）
A.B.C.D.
4.某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工的出勤率的折线图如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A.这6天员工的出勤率呈递增趋势
B.这6天员工的出勤率呈递减趋势
C.这6天员工的出勤率的极差大于0.15
D.这6天员工的出勤率的中位数小于0.85
5.函数的部分图象大致为（ ）
A.B.C.D.
6.记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A.140B.70C.160D.80
7.在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A.2项B.3项C.4项D.5项
9.已知，则（ ）
A.B.C.D.
10.设，是双曲线：的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方为（ ）
A.B.C.D.
11.在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则四棱锥体积的最大值为（ ）
A.B.C.D.
12.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是______.
14.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为______，______.
15.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______.
16.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，为边的中点，求的长.
18.（12分）
现统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
已知甲12次投篮次数的平均数，乙8次投篮次数的平均数.
（1）求这20次投篮次数的平均数与方差.
（2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了三次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，为侧棱上的点，平面.
（1）证明：.
（2）若，求二面角的大小.
（3）在侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20.（12分）
已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线：交于，（，异于点）两点，且以为直径的圆过点.
（1）求的方程；
（2）已知，，是上的三点，若为正三角形，为的中心，求直线斜率的最大值.
21.（12分）
已知函数
（1）当时，求的零点；
（2）若恰有两个极值点，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线：（为参数），曲线：.
（1）求的普通方程和曲线的参数方程；
（2）将直线向下平移个单位长度得到直线，是曲线上的一个动点，若点到直线的距离的最小值为，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
高三数学试卷参考答案（理科）
1.B 由题意可得，，则.
2.C ，则.
3.B 由题可知，，，，解得.
4.D 由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，所以A，B均错误.这6天员工的出勤率按照从小到大的顺序排列为0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，所以这6天员工的出勤率的极差为，中位数为，C错误，D正确.
5.A 设，则，所以为奇函数，设，可知为偶函数，所以为奇函数，则B，C错误，易知，所以A正确.
6.D 因为是等差数列，所以，故.
7.B 作，，垂足分别为，，连接（图略），易知四边形为直角梯形，其中.设，则，，.作，垂足为（图略），则为直线与平面所成的角，所以，.
8.D 展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数.
9.A 因为，所以，解得或（舍去），所以.
10.C 由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为.
当时，则，即，，
即，所以.
当时，，即，，
即，所以.
综上，双曲线的离心率的平方为.
11.C 设，，则点到的距离为，，，要使得四棱锥的体积最大，则，此时四棱锥的体积，
则，在上单调递减，且当时，.
令，，则，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，即四棱锥体积的最大值为.
12.A 令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故.令，则.当时，，单调递减，则，即.故.
13. 因为，所以，所以.因为，所以，所以，则.
14.； 依题意得，则的最小正周期，
15. 设函数的最小正周期为，则.因为是定义在上的偶函数，所以，所以.
16. 设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.
又，，所以，，则，，
所以，所以.
17.解：（1）因为，所以，
化简得.
因为，所以.
因为，所以.
（2）因为，
所以，解得.
因为为的中线，所以，
所以.
因为，，所以，
解得.
18.解：（1）这20次投篮次数的平均数，
方差.
（2）的可能取值为1，2，3，
则，
，
，
所以的分布列为
.
19.（1）证明：记，连接.
四边形是正方形，所以是的中点.
因为，所以.
四边形是正方形，所以.
因为，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：易证，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，所以，，.
因为平面，所以是平面的一个法向量.
由（1）可知平面，所以是平面的一个法向量.
设二面角为，由图可知为锐角，
则，
故，即二面角的大小为.
（3）解：假设在侧棱上存在一点，使得平面，且.
设，则，，，
所以，.
因为，所以，
则.
由（2）可知是平面的一个法向量.
因为平面，所以，所以，
则，解得，即，
故，即在侧棱上存在一点，使得平面，此时.
20.解：（1）设，，：，
联立方程得，
则，.
因为以为直径的圆过点，所以，则，
即，解得，
所以，解得，
所以的方程为.
（2）设，，.不妨设，，按逆时针顺序排列.
①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设，则：，：，
与抛物线的方程联立得，，中心.
②当三边的斜率都存在时，，.
又，所以，
化简可得，
同理可得，
，
三式相加得.
因为，，是上的三点，所以，
又，
所以.
设，则，，
代入上式得.
又①也满足，所以的轨迹方程为.
当时，直线的斜率为，
当且仅当时，直线的斜率取得最大值.
当时，直线的斜率.
综上，直线斜率的最大值为.
21.解：（1）当时，等价于.
令，显然在上单调递增.
因为，所以有且仅有一个零点.
（2）由，得.
令，则.
若，则在上恒成立，在上单调递增，最多只有一个零点，则最多只有一个极值点，不符合题意.
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则.
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则，从而.
显然，当时，，则，.
令，则，
易得恒成立，故单调递增.
当时，，即，
则.
因为，所以，.
当时，，
当时，，
则的单调递增区间为和，
单调递减区间为，则恰有两个极值点.
故当恰有两个极值点时，的取值范围为.
22.解：（1）由直线：（为参数），
消去参数，可得的普通方程为.
由曲线：，可得曲线的参数方程为（为参数）.
（2）的方程为，即.
设点的坐标为，
则点到直线的距离.
因为，所以当时，取得最小值，
即，解得.
23.解：（1）当时，
当时，可化为，解得，所以；
当时，可化为，解得，所以
当时，可化为，解得，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）当时，可化为，则，
即，则.
因为，所以，故实数的取值范围为.
甲
77
73
77
81
85
81
77
85
93
73
77
81
乙
71
81
73
73
71
73
85
73
1
2
3