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广东省广州市普通高中2024届高三5月冲刺训练（三） 数学
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这是一份广东省广州市普通高中2024届高三5月冲刺训练（三） 数学，共14页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知等差数列的前项和为，若，则
A．1 B．2 C．4 D．6
4.设是两个不同平面，是两条不同直线，则的一个充分条件是
A． B．
C． D．与相交
5.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为
A． B．3 C． D．
6.已知，，且，则
A．B．
C．D．
7.已知半径为的球的球心到正四面体各个顶点的距离都相等，若正四面体与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为
A． B． C． D．
8.在△中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的中线的长等于
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则
当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强
当时，
当时，成对样本数据的相关系数满足
当时，成对样本数据的线性回归方程满足
参考公式：，.
10.设函数，则（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．函数有极小值且极小值为
C．若方程有两个不等实根，则实数m的取值范围为
D．经过坐标原点的曲线的切线方程为
11.已知抛物线的焦点为，准线为，点,在上（在第一象限），点在上，以为直径的圆过焦点，，则
A．若，则B．若，则
C．的面积最小值为D．的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若，则= ．
13.选手甲和乙进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用五局三胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为 ．
14.已知≥，若关于的不等式有整数解，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得≥成立，求实数的取值范围．
（15分）
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积为，平面与平面的交线为.
（1）求四棱锥的体积，并在答卷上画出交线（注意保留作图痕迹）.
（2）若，,且平面平面，在上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由．
（15分）
在第二十五届中国国际高新技术成果交易会上，中国科学院的科研团队带来了可以在零下70摄氏度到零上80摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池，为新能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术支撑．中国新能源汽车也在科研团队的努力下，在世界舞台上扮演着越来越重要的角色．已知某锂电池生产商对一批锂电池最低正常使用零下温度进行了检测，得到如下频率分布直方图．
（1）求最低正常使用零下温度的第60百分位数；
（2）以抽样检测的频率作为实际情况的概率：
①若随机抽取3块电池，设抽到锂电池最低正常使用零下温度在的数量为，求的分布列；
②若锂电池最低正常使用零下温度在之间，则为类锂电池．若以抽样检测的频率作为实际情况的概率，从这批锂电池中随机抽取10块，抽到块为“类锂电池”的可能性最大，试求的值．
18.（17分）
将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为E．记，，
过点的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D．
（1）求E的方程；
（2）设直线AB，CD的倾斜角分别为，，求的值．
19.（17分）
已知函数．
（1）若≥对于任意恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数的零点按照从大到小的顺序构成数列，，证明：；
（3）对于任意正实数，证明：．
2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（三）参考答案
答案：D【详解】因为，，所以
答案：B【详解】因为复数，所以对应的点为，位于第二象限．
3.答案：B【详解】因为为等差数列，，所以，所以.
4.【答案】C【详解】选项A：当满足时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误；选项B：当满足时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误；选项C：因为，又，所以，故是的一个充分条件，故C正确；
当满足与相交时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故D错误；
5.【答案】D【详解】由题意知，抛物线的准线方程为，又因为，
则点，又因为点在双曲线的渐近线上，所以，
所以双曲线的离心率
6.【答案】C【详解】由，得，
于是，即，
由，，得，则或，
即或（不符合题意，舍去），所以.故选：C
7.【答案】D【详解】设正四面体的棱长为，则其内切球、棱切球、外接球的半径分别为．由题意知，球的球心落在正四面体的几何中心，即内切球、棱切球、外接球公共的球心，又球的半径为定值。当球是正四面体的外接球时，棱长最小，此时，得．当球是正四面体的内切球时，最大，此时，得
故正四面体的棱长的取值范围为．故选：D.
8.【答案】A【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由中线长公式，中线长，
9答案：BCD
10.答案：ACD【详解】对A：由题意可知的定义域为，，
令，解得，当时，，当时，，故A正确；
对B：当时，取得极大值为，故B错误；
对C：由上分析可作出的图象，要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，由图可知，，所以实数的取值范围为，故C正确.
对D：设曲线在处的切线经过坐标原点，则切线斜率，解得，，所以切线斜率，所以切线方程为，故D正确.
11.答案：ABD【详解】对于A，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，
又，，则，所以，故A正确；
对于B，设点在准线上的投影为点，易证，又，
，即，，，故B正确；
对于C，分两种情况：当点都在第一象限，设，，
由焦半径公式可得，，，
令，
设，且，
，当且仅当时取得最小值.
当点在第二象限时，设，，
则，，所以，
同理令，且，，
所以，当且仅当时取得最小值，
综上，面积的最小值为，故C错误；
对于D，当点都在第一象限，，，
则，所以，即，，
当点在第二象限时，同理可得，即，，
综上，的面积大于，故D正确. 故选：ABD.
12.【答案】20 【详解】由，
令可得，，∴．
在 中，令，可得，
∴
13.【答案】【详解】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，
，，
故．
14.【答案】【详解】不等式，即，
设，，
设，，所以单调递增，且，，
所以存在，使，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，
当时，，当时，，
不等式有整数解，即有整数解，
若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，所以无整数解，不符合题意，
当时，因为，显然是的两个整数解，符合题意，
综上可知，.
15.【详解】（1）解：由题意知：数列是公差为的等差数列，
当时，，所以，整理得：， 分
又当时，， 分
因为满足上式， 分
所以，故数列的通项公式为 分
（2）解：由（1）知，可得， 分
故； 分
解法1：由，可得， 分
即，则， 分
又由， 分
当且仅当时取等号，故实数的取值范围为． 分
解法2：由， 分
可得， 分
当，即时，， 分
则，故实数的取值范围为． 分
16. 分
，，， 分
， 分
延长BC，AD，设BC的延长线和AD的延长线交点为M，连接PM，
则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM 分
证明：取AD的中点E，连接PE，，E是AD的中点，
，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，，平面ABCD， 分
,,即 分
以点B为坐标原点，以直线BA、BM分别为轴，以过点B作平面ABCD的的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 分
则，，，，
，，， 分
设，则， 分
设平面PCD的法向量为，则，即，
令，得， 分
设平面CDN的法向量为，则，
即
令，可得， 分
夹角的余弦值为
，， 分
解得：或， 分
即在直线l上存在点N，的夹角的余弦值为，
此时或 分
17、【详解】（1）设最低正常使用零下温度的第60百分位数为，
由直方图可知最低正常使用零下温度在的频率为0.4，
在的频率为0.65，因此最低正常使用零下温度的第60百分位数一定在内，分
则有，解得，
所以最低正常使用零下温度的第60百分位数为28℃． 分
（2）①由题意可知的可能值是0,1,2,3，， 分
； 分
； 分
； 分
，
所以的分布列为
分
②由题意可知，设抽到类锂电池的数量为，则， 分
若抽到块的可能性最大，
则，， 分
即 分
即解得， 分
由于，故． 分
18、【详解】（1）解：设所求轨迹E上的任意点为(x,y)，与x2+y2=2对应的点为(x1,y1)，
根据题意，可得x=x1y=22y1，即x1=xy1=22y，
代入方程x2+y2=2，可得x2+(22y)2=2，整理得x22+y2=1，
所以曲线E的轨迹方程为x22+y2=1. - ------5分
（2）方法一：解：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，
设直线AC的方程为x=ty+1−−−−−−−6分，
联立方程组x=ty+1x22+y2=1，整理得(t2+2)x2+2ty−1=0，−−−−−−−8分
则y1+y3=−2tt2+2,y1y3=−12+t2−−−−−−−9分，
又因为t=x1−1y1,点A(x1,y1)在椭圆x22+y2=1上；
所以y3=−12+t21y1 = −y12y12+（x−1）2=y12x1−3；−−−−−−−11分
x3=ty3+1=x1−1y1y12x1−3+1=3x1−42x1−3，−−−−−−−12分
C(3x1−42x1−3,y12x1−3)，同理可得D(3x2−42x2−3,y22x2−3)，−−−−−−−13分
又因为P,A,B三点共线，可得y1x1+2=y2x2+2，−−−−−−−14分
即x2y1−x1y2=2(y2−y1)，−−−−−−−15分
所以kCD=y22x2−3−y12x1−33x2−42x2−3−3x1−42x1−3=2(x2y1−x1y2)+3(y2−y1)x2−x1=7(y2−y1)x2−x1=4kAB，−−−−−−−16分
所以tanαtanβ=kABkCD=17.−−−−−−−17分
方法二：解：设直线AC的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，
联立方程组y=k(x−1)x22+y2=1，整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，
则Δ=(−4k2)2−4(1+2k2)(2k2−2)>0，且x1+x3=4k21+2k2,x1x3=2k2−21+2k2，
可得32x1+x3−x1x3=2+4k21+2k2=2，所以x3=3x1−42x1−3，
可得y3=y1x1−1⋅(3x1−42x1−3−1)=y12x1−3，
所以C(3x1−42x1−3,y12x1−3)，下同方法一。
19、【详解】（1）根据题意可知，不等式在上恒成立，
设，则，，
设，则，，则，
若，存在区间，使在区间上单调递减；
则，则在区间上单调递减，
则，不满足题意，故，即.
下证明：当时，不等式成立，因为，，
设，则，
设，则，所以在上单调递增，
则，则成立，
故在上单调递增，则，所以恒成立，得证，
综上知，. 分
（2）当时，，设，
则，则函数单调递增，，单调递增，
，，
在上单调递减，上单调递增，
又，，
，，
，.
由于，，，，
由于在上单调递增，.
累加得. 分
（3）要证即证.
即证.，设
，时，在上单调递增，即在上单调递增，
设，，
由于在上单调递增，，，在单调递增.
又，时
因此恒成立，
原不等式恒成立，得证. 分
0
1
2
3
0.064
0.288
0.432
0.216
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知等差数列的前项和为，若，则
A．1 B．2 C．4 D．6
4.设是两个不同平面，是两条不同直线，则的一个充分条件是
A． B．
C． D．与相交
5.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为
A． B．3 C． D．
6.已知，，且，则
A．B．
C．D．
7.已知半径为的球的球心到正四面体各个顶点的距离都相等，若正四面体与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为
A． B． C． D．
8.在△中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的中线的长等于
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则
当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强
当时，
当时，成对样本数据的相关系数满足
当时，成对样本数据的线性回归方程满足
参考公式：，.
10.设函数，则（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．函数有极小值且极小值为
C．若方程有两个不等实根，则实数m的取值范围为
D．经过坐标原点的曲线的切线方程为
11.已知抛物线的焦点为，准线为，点,在上（在第一象限），点在上，以为直径的圆过焦点，，则
A．若，则B．若，则
C．的面积最小值为D．的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若，则= ．
13.选手甲和乙进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用五局三胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为 ．
14.已知≥，若关于的不等式有整数解，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得≥成立，求实数的取值范围．
（15分）
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积为，平面与平面的交线为.
（1）求四棱锥的体积，并在答卷上画出交线（注意保留作图痕迹）.
（2）若，,且平面平面，在上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由．
（15分）
在第二十五届中国国际高新技术成果交易会上，中国科学院的科研团队带来了可以在零下70摄氏度到零上80摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池，为新能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术支撑．中国新能源汽车也在科研团队的努力下，在世界舞台上扮演着越来越重要的角色．已知某锂电池生产商对一批锂电池最低正常使用零下温度进行了检测，得到如下频率分布直方图．
（1）求最低正常使用零下温度的第60百分位数；
（2）以抽样检测的频率作为实际情况的概率：
①若随机抽取3块电池，设抽到锂电池最低正常使用零下温度在的数量为，求的分布列；
②若锂电池最低正常使用零下温度在之间，则为类锂电池．若以抽样检测的频率作为实际情况的概率，从这批锂电池中随机抽取10块，抽到块为“类锂电池”的可能性最大，试求的值．
18.（17分）
将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为E．记，，
过点的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D．
（1）求E的方程；
（2）设直线AB，CD的倾斜角分别为，，求的值．
19.（17分）
已知函数．
（1）若≥对于任意恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数的零点按照从大到小的顺序构成数列，，证明：；
（3）对于任意正实数，证明：．
2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（三）参考答案
答案：D【详解】因为，，所以
答案：B【详解】因为复数，所以对应的点为，位于第二象限．
3.答案：B【详解】因为为等差数列，，所以，所以.
4.【答案】C【详解】选项A：当满足时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误；选项B：当满足时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误；选项C：因为，又，所以，故是的一个充分条件，故C正确；
当满足与相交时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故D错误；
5.【答案】D【详解】由题意知，抛物线的准线方程为，又因为，
则点，又因为点在双曲线的渐近线上，所以，
所以双曲线的离心率
6.【答案】C【详解】由，得，
于是，即，
由，，得，则或，
即或（不符合题意，舍去），所以.故选：C
7.【答案】D【详解】设正四面体的棱长为，则其内切球、棱切球、外接球的半径分别为．由题意知，球的球心落在正四面体的几何中心，即内切球、棱切球、外接球公共的球心，又球的半径为定值。当球是正四面体的外接球时，棱长最小，此时，得．当球是正四面体的内切球时，最大，此时，得
故正四面体的棱长的取值范围为．故选：D.
8.【答案】A【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由中线长公式，中线长，
9答案：BCD
10.答案：ACD【详解】对A：由题意可知的定义域为，，
令，解得，当时，，当时，，故A正确；
对B：当时，取得极大值为，故B错误；
对C：由上分析可作出的图象，要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，由图可知，，所以实数的取值范围为，故C正确.
对D：设曲线在处的切线经过坐标原点，则切线斜率，解得，，所以切线斜率，所以切线方程为，故D正确.
11.答案：ABD【详解】对于A，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，
又，，则，所以，故A正确；
对于B，设点在准线上的投影为点，易证，又，
，即，，，故B正确；
对于C，分两种情况：当点都在第一象限，设，，
由焦半径公式可得，，，
令，
设，且，
，当且仅当时取得最小值.
当点在第二象限时，设，，
则，，所以，
同理令，且，，
所以，当且仅当时取得最小值，
综上，面积的最小值为，故C错误；
对于D，当点都在第一象限，，，
则，所以，即，，
当点在第二象限时，同理可得，即，，
综上，的面积大于，故D正确. 故选：ABD.
12.【答案】20 【详解】由，
令可得，，∴．
在 中，令，可得，
∴
13.【答案】【详解】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，
，，
故．
14.【答案】【详解】不等式，即，
设，，
设，，所以单调递增，且，，
所以存在，使，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，
当时，，当时，，
不等式有整数解，即有整数解，
若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，所以无整数解，不符合题意，
当时，因为，显然是的两个整数解，符合题意，
综上可知，.
15.【详解】（1）解：由题意知：数列是公差为的等差数列，
当时，，所以，整理得：， 分
又当时，， 分
因为满足上式， 分
所以，故数列的通项公式为 分
（2）解：由（1）知，可得， 分
故； 分
解法1：由，可得， 分
即，则， 分
又由， 分
当且仅当时取等号，故实数的取值范围为． 分
解法2：由， 分
可得， 分
当，即时，， 分
则，故实数的取值范围为． 分
16. 分
，，， 分
， 分
延长BC，AD，设BC的延长线和AD的延长线交点为M，连接PM，
则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM 分
证明：取AD的中点E，连接PE，，E是AD的中点，
，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，，平面ABCD， 分
,,即 分
以点B为坐标原点，以直线BA、BM分别为轴，以过点B作平面ABCD的的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 分
则，，，，
，，， 分
设，则， 分
设平面PCD的法向量为，则，即，
令，得， 分
设平面CDN的法向量为，则，
即
令，可得， 分
夹角的余弦值为
，， 分
解得：或， 分
即在直线l上存在点N，的夹角的余弦值为，
此时或 分
17、【详解】（1）设最低正常使用零下温度的第60百分位数为，
由直方图可知最低正常使用零下温度在的频率为0.4，
在的频率为0.65，因此最低正常使用零下温度的第60百分位数一定在内，分
则有，解得，
所以最低正常使用零下温度的第60百分位数为28℃． 分
（2）①由题意可知的可能值是0,1,2,3，， 分
； 分
； 分
； 分
，
所以的分布列为
分
②由题意可知，设抽到类锂电池的数量为，则， 分
若抽到块的可能性最大，
则，， 分
即 分
即解得， 分
由于，故． 分
18、【详解】（1）解：设所求轨迹E上的任意点为(x,y)，与x2+y2=2对应的点为(x1,y1)，
根据题意，可得x=x1y=22y1，即x1=xy1=22y，
代入方程x2+y2=2，可得x2+(22y)2=2，整理得x22+y2=1，
所以曲线E的轨迹方程为x22+y2=1. - ------5分
（2）方法一：解：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，
设直线AC的方程为x=ty+1−−−−−−−6分，
联立方程组x=ty+1x22+y2=1，整理得(t2+2)x2+2ty−1=0，−−−−−−−8分
则y1+y3=−2tt2+2,y1y3=−12+t2−−−−−−−9分，
又因为t=x1−1y1,点A(x1,y1)在椭圆x22+y2=1上；
所以y3=−12+t21y1 = −y12y12+（x−1）2=y12x1−3；−−−−−−−11分
x3=ty3+1=x1−1y1y12x1−3+1=3x1−42x1−3，−−−−−−−12分
C(3x1−42x1−3,y12x1−3)，同理可得D(3x2−42x2−3,y22x2−3)，−−−−−−−13分
又因为P,A,B三点共线，可得y1x1+2=y2x2+2，−−−−−−−14分
即x2y1−x1y2=2(y2−y1)，−−−−−−−15分
所以kCD=y22x2−3−y12x1−33x2−42x2−3−3x1−42x1−3=2(x2y1−x1y2)+3(y2−y1)x2−x1=7(y2−y1)x2−x1=4kAB，−−−−−−−16分
所以tanαtanβ=kABkCD=17.−−−−−−−17分
方法二：解：设直线AC的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，
联立方程组y=k(x−1)x22+y2=1，整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，
则Δ=(−4k2)2−4(1+2k2)(2k2−2)>0，且x1+x3=4k21+2k2,x1x3=2k2−21+2k2，
可得32x1+x3−x1x3=2+4k21+2k2=2，所以x3=3x1−42x1−3，
可得y3=y1x1−1⋅(3x1−42x1−3−1)=y12x1−3，
所以C(3x1−42x1−3,y12x1−3)，下同方法一。
19、【详解】（1）根据题意可知，不等式在上恒成立，
设，则，，
设，则，，则，
若，存在区间，使在区间上单调递减；
则，则在区间上单调递减，
则，不满足题意，故，即.
下证明：当时，不等式成立，因为，，
设，则，
设，则，所以在上单调递增，
则，则成立，
故在上单调递增，则，所以恒成立，得证，
综上知，. 分
（2）当时，，设，
则，则函数单调递增，，单调递增，
，，
在上单调递减，上单调递增，
又，，
，，
，.
由于，，，，
由于在上单调递增，.
累加得. 分
（3）要证即证.
即证.，设
，时，在上单调递增，即在上单调递增，
设，，
由于在上单调递增，，，在单调递增.
又，时
因此恒成立，
原不等式恒成立，得证. 分
0
1
2
3
0.064
0.288
0.432
0.216
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