(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学拓展2数列求和常用的方法(精练)(原卷版+解析)

这是一份(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学拓展2数列求和常用的方法(精练)(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了已知数列满足.，为数列的前n项和，已知，，已知等差数列的前项和为，，，已知等差数列的前项的和为.，已知正项数列的前n项和为，，且，，且，已知数列的前n项和为，当时，等内容，欢迎下载使用。
1．（2022高三上·益阳月考）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．
（1）求数列，的通项公式
（2）设，求数列的前项和．
2．（2022江苏）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列满足，____.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.
3．（2022浙江）已知数列满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
2 裂项相消求和
1．（2022武汉）记数列的前项和为，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
2．（2022浙江）已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，令，求数列的前2022项和.
3．（2022河北开学考）已知正项数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和为，求证：．
4．（2022遵义开学考）为数列的前n项和，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，．
5．（2022贵阳）已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和，求证：．
7．（2022湖北）已知等差数列的前项的和为.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.并证明.
8．（2022湖北）已知正项数列的前n项和为，，且．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
9．（2022长治）已知数列的前项和满足（），且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足（），且，求数列的前项和．
10（2022哈尔滨）已知数列为等比数列，且
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和为
11．（2022·江西模拟）已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
3 错位相减求和
1．（2022四川）已知数列满足，数列满足.
（1）求数列及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
2．（2023·巴中模拟）已知数列的前项和为，若，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
3．（2022济南）已知正项数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
4．（2022邯郸开学考）设是等比数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求.
5．（2022邢台开学考）数列的前n项积.数列的前n项和.
（1）求数列、的通项公式.
（2）求数列的前n项和.
6．（2022秦皇岛）已知数列的前n项和为，当时，．
（1）求；
（2）设，求数列的前n项和．
7．（2023茂名月考）已知数列前项和为，，数列为等差数列，公差为.
（1）证明数列为等差数列；
（2）若，，求数列的前项和.
4 分组转化求和
1．（2022郫都月考）已知等差数列的前项和为.
（1）求及；
（2）令，求证：数列的前项和.
2．（2022宿州期中）已知数列满足，等比数列的前n项和，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）对任意正整数n，设，求数列的前2n项和．
3（2022如皋月考）已知等差数列{an}满足：S6=21，S7=28，其中是数列的前n项和.
（1）求数列的通项；
（2）令bn=，证明：.
4．（2022湖北开学考）已知数列前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
5．（2022·海宁模拟）已知公差不为零的等差数列满足成等比数列．数列的前n项和为，且满足
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
6．（2022·和平）已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
（3），求数列的前项和．
7（2022·南开）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
（1）求和的通项公式；
（2）已知，数列满足，求数列的前2n项和；
（3）设，求数列的前n项和．
拓展2 数列求和常用的方法（精练）
1 公式法求和
1．（2022高三上·益阳月考）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．
（1）求数列，的通项公式
（2）设，求数列的前项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：因为数列满足，，，
所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，，
即数列的通项公式为，
设等差数列的公差为，由，，
得，解得，所以，，
即数列的通项公式为
（2）解：有（1）可知，
所以，数列的前项和
，即．
2．（2022江苏）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列满足，____.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.
答案：见解析
【解析】（1）解：选①，由及，可知，所以，
当时，有
.
当时，适合上式，故.
选②，由，得，所以为等差数列，
由，，得该数列的公差，
所以.
（2）解：，∴，
则 ，
∴.
3．（2022浙江）已知数列满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：见解析
【解析】（1）解：由已知有：
所以，
，
其中，所以数列为以2为首项，公比为2的等比数列.
所以，得.
（2）解：由（1）知：，
，
所以
.
2 裂项相消求和
1．（2022武汉）记数列的前项和为，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：见解析
【解析】（1）解：当为奇数且时，，且，也满足该式；
当为偶数时，.
综上，.
（2）解：由（1）知：.
故.
2．（2022浙江）已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，令，求数列的前2022项和.
答案：见解析
【解析】（1）解：设数列的公差为，则，
由题意可得：解得：
∴数列的通项公式为；
（2）解：由(1)，，
设数列的前项和为，所以数列的前2022项和
3．（2022河北开学考）已知正项数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和为，求证：．
答案：见解析
【解析】（1）解：数列中，，由，
可得，又，
则数列是首项为1公差为2的等差数列，
所以，
则数列的通项公式为．
（2）证明：由（1）知，则
，
则数列的前n项和
，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴．
4．（2022遵义开学考）为数列的前n项和，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，．
答案：见解析
【解析】（1）解：由已知条件：，
当时：，
两式相减得：，即：，
左右同除得：，
即：，且，
所以数列是首项为1，公差为0的等差数列，即常数列，
∴，∴，
（2）证明：左边.
5．（2022贵阳）已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和，求证：．
答案：见解析
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，
由，得：a1+2d=34a1+4×32d=2a1+8d，解得：，
（2）证明：由（1）得：，
7．（2022湖北）已知等差数列的前项的和为.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.并证明.
答案：见解析
【解析】（1）解：设的公差为d，由题意得：
，解得，
所以
（2）解：令，由（1）有：
，
所以
，
，，，
.
8．（2022湖北）已知正项数列的前n项和为，，且．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
答案：见解析
【解析】（1）证明：由得，
∴．
又，∴，∴．
∴数列是以公差为3的等差数列．
又，∴，，∴．
（2）解：由（1）知．
∴
．
9．（2022长治）已知数列的前项和满足（），且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足（），且，求数列的前项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：∵当时，，
∴，得或．∵，∴．
当时，，，
∴，即，
∴，
∵，∴，∴．
（2）解：（），
∴
……
将以上各式相加得：
．
则，
又也满足，
∴，．∴，
∴
．
10（2022哈尔滨）已知数列为等比数列，且
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和为
答案：见解析
【解析】（1）解：设数列为q，，
化简可得，解得
将代入可得
故的通项公式为：
（2）解：由（1）可知
11．（2022·江西模拟）已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
答案：见解析
【解析】（1）解：由，
令，即，解得
，∴，
此时数列是等差数列，公差为，首项为.
∴
（2）证明：因为，，
∵，
∴.
3 错位相减求和
1．（2022四川）已知数列满足，数列满足.
（1）求数列及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：见解析
【解析】（1）解：由已知
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
数列满足
所以是以1为首项，2为公差的等差数列
（2）解：①
对上式两边同乘以2，
整理得②
①-②得
所以
2．（2023·巴中模拟）已知数列的前项和为，若，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：因为，故，
故即.
而，故，故，
故，且，故，
所以为等比数列，且首项为2，公比为2，从而.
（2）解：，
故，
故，
所以，
所以.
3．（2022济南）已知正项数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：见解析
【解析】（1）由得：，
又因为，则，且，
所以是首项为1公差为1的等差数列，所以.
（2）解：因为，
所以，
，
两式相减得：，
所以.
4．（2022邯郸开学考）设是等比数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求.
答案：见解析
【解析】（1）解：设等比数列的公比为，显然，
由，
相除可得，解得，所以，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，即；
（2）解：由（1）得：，
所以①，
②，
②①得：，
所以.
5．（2022邢台开学考）数列的前n项积.数列的前n项和.
（1）求数列、的通项公式.
（2）求数列的前n项和.
答案：见解析
【解析】（1）解：前n项积为，
①n＝1时，，
②时，，，
符合上式，∴，，.
的前n项和为，
①n＝1时，，
②时，，
，
符合上式，∴，；
（2）解：
记前n项和为
①
②
①－②得
∴，
6．（2022秦皇岛）已知数列的前n项和为，当时，．
（1）求；
（2）设，求数列的前n项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：当时，由得，
即．
又，所以，符合上式，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
.
（2）解：，
所以，
，
作差得，
化简得．
7．（2023茂名月考）已知数列前项和为，，数列为等差数列，公差为.
（1）证明数列为等差数列；
（2）若，，求数列的前项和.
答案：见解析
【解析】（1）证明：由题意，，，
因为数列为等差数列，公差为，所以，.
时，，
时，，所以，
时，，
所以数列是公差为，首项为1的等差数列.
（2）解：若，由（1）知，，，
所以，
则，，
即，所以.
4 分组转化求和
1．（2022郫都月考）已知等差数列的前项和为.
（1）求及；
（2）令，求证：数列的前项和.
答案：见解析
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，
因为，可得a1+2d=32a1+10d=12，解得，
所以数列的通项公式为，
其前项和为
（2）证明：由（1）知，所以，
所以数列的前项和：
.
即.
2．（2022宿州期中）已知数列满足，等比数列的前n项和，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）对任意正整数n，设，求数列的前2n项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：因为，，，所以，，
又为等比数列，所以，，所以
又，所以为等差数列，，，所以；
（2）解：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
所以，
，
，
.
3（2022如皋月考）已知等差数列{an}满足：S6=21，S7=28，其中是数列的前n项和.
（1）求数列的通项；
（2）令bn=，证明：.
答案：见解析
【解析】（1）解：数列为等差数列，依题意S6=21，S7=28，所以6a1+15d=217a1+21d=28，
所以d=1，所以
（2）证明：
4．（2022湖北开学考）已知数列前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
答案：见解析
【解析】（1）解：由题知，
即，
即，∵，∴，∴，
∴数列是首项为3，公比为3的等比数列，
∴，∴；
（2）解：由（1）知，，
∴， ①
∴， ②
①②得，，
∴.
5．（2022·海宁模拟）已知公差不为零的等差数列满足成等比数列．数列的前n项和为，且满足
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：由题：，
∵，即
得：，即
当时，，
当时，，，两式相减整理得，
即数列是以首项，公比的等比数列
∴
（2）解：当n为奇数时，
当n为偶数时，
，
两式相减得：
得：
6．（2022·和平）已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
（3），求数列的前项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：依题有，因为，解得：
．数列是等差数列，设其公差为，，解得：
（2）解：数列与数列都是递增数列， ，
，，
新数列的前50项和为：
（3）解：∵，
设 ，
，
，两式相减有
，
∴.
∴
.
7（2022·南开）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
（1）求和的通项公式；
（2）已知，数列满足，求数列的前2n项和；
（3）设，求数列的前n项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：或，
又，则，∴（）．
设等差数列的公差为，由题意得，，，
即，所以（）
（2）解：时，，
∴
．
时，
∴
，①
，②
由①②可得，
∴
∴（）．
（3）解：由（1）知，则
∴
故（）