(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学本册综合测试(基础)(原卷版+解析)

这是一份(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学本册综合测试(基础)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了上是单调增函数，则a的最大值是等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·福建泉州·高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则公差为（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
2．（2022·河北·石家庄二中实验学校高二阶段练习）在等比数列中，是方程的根，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2022·河南·商水县实验高级中学高二阶段练习（理））已知，是f（x）的导函数，则（ ）
A．0B．C．D．1
4．（2022·全国·高二课时练习）已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是
A．0B．1C．2D．3
5．（2022·河北·石家庄二中实验学校高二阶段练习）已知函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，则a+b的值为（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
6．（2022·全国·高二专题练习）已知等差数列的前项和为满足，则数列的前项和为
A．B．C．D．
7．（2022·江苏省）已知和分别是函数的两个极值点，且，则实数的值为（ ）
A．B． C．D．
8．（2022·河南商丘 ）已知函数，是其导函数，，恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·甘肃）若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是数列中的项
C．数列单调递减
D．数列前7项和最大
10．（2022·江苏连云港）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．当时，取得极小值
C．在上是增函数，在上是减函数
D．当时，取得极小值
11．（2022·黑龙江齐齐哈尔）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2，则（ ）
A．B．有两个极值点
C．有2个零点D．有1个零点
12．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期中）已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．D．
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（上海市松江区2021-2022学年高二下学期期末数学试题）等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的值为_____.
14．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．
15．（2022·广西贵港）若函数的导函数为偶函数，则曲线在点处的切线方程为____________．
16．（2022·河南 ）已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是_____.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·黑龙江）已知{an}是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和．
18．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
19．（2023·广东广州）已知函数，其中，若的图象在点处的切线方程为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最值．
20．（2022·广东）已知函数，．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若函数有2个零点，求实数的取值范围．
21．（2022·山东）设正项数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列的前项和.
22．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
(1)若函数有极值，求实数的取值范围；
(2)当时，若函数在，处导数相等，证明：.
本册综合测试（基础）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·福建泉州·高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则公差为（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
答案：B
【解析】由，则，∴公差.故选：B.
2．（2022·河北·石家庄二中实验学校高二阶段练习）在等比数列中，是方程的根，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
答案：B
【解析】因为在等比数列中，是方程的根，
所以，所以，由等比数列的性质得，
所以，所以，故选：B
3．（2022·河南·商水县实验高级中学高二阶段练习（理））已知，是f（x）的导函数，则（ ）
A．0B．C．D．1
答案：B
【解析】函数的导数为，则.故选：B.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是
A．0B．1C．2D．3
答案：D
【解析】∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数
∴f′（x）＝3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立．即a≤3x2
∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立∴a≤3∴a的最大值是3故选D．
5．（2022·河北·石家庄二中实验学校高二阶段练习）已知函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，则a+b的值为（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
答案：A
【解析】由f（x）=alnx+bx2，得2bx，
∵函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，
∴，解得.∴a+b=﹣2.故选：A.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知等差数列的前项和为满足，则数列的前项和为
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由已知可得，即，解得，故的通项公式为，综上所述，答案为，
，从而的前项和
，所以，，故选B．
7．（2022·江苏省）已知和分别是函数的两个极值点，且，则实数的值为（ ）
A．B． C．D．
答案：C
【解析】定义域为R，，
要想函数有两个极值点，
则要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，
令，得，
令，定义域为R，
则，当时，，当，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在取得极大值，也是最大值，，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
画出图象如下：
故，即，
其中，因为，所以，
故，解得：，
故，满足要求.
故选：C
8．（2022·河南商丘 ）已知函数，是其导函数，，恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
所以，即，
所以，故A错误；
因为，所以，
又，
所以，故B错误；
因为，所以，，
即，，
因为，
所以，，故C错误，D正确．故选：D
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·甘肃）若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是数列中的项
C．数列单调递减
D．数列前7项和最大
答案：ACD
【解析】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，
由，得，故B错误，
因为，所以数列单调递减，故C正确，
由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.
故选：ACD
10．（2022·江苏连云港）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．当时，取得极小值
C．在上是增函数，在上是减函数
D．当时，取得极小值
答案：BC
【解析】由图象知，当上，恒成立，即在上单调递减，A项错误；
又当时，恒成立，即在上单调递增，所以当时，取得极小值，B项正确；
当时，恒成立，即在上单调递减，C项正确；
当时，恒成立，即在上单调递减，所以D项错误.
故选：BC.
11．（2022·黑龙江齐齐哈尔）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2，则（ ）
A．B．有两个极值点
C．有2个零点D．有1个零点
答案：ABD
【解析】，由题得，，，故A正确，
，，令，或，
令，即，，令，则或，
在上单调递增，在上单调递减，
在取得极大值，在取得极小值，故有两极值点，故B正确，
又，，则且在上单调递增，且图像连续不断，故在上有一零点，
而，则其无其他零点，大致图像如图所示：
故C错误，D正确.
故选：ABD.
12．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期中）已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．D．
答案：ACD
【解析】当时，，所以，
当时，，所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
.故选：ACD.
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（上海市松江区2021-2022学年高二下学期期末数学试题）等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的值为_____.
答案：5或6
【解析】设等差数列的公差为，，解得，所以，
由，解得，所以取得最大值时的值为5或6.故答案为：5或6
14．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．
答案：
【解析】因为，所以，
所以，又，
所以在处的切线方程为：，
又切线方程过原点，把代入得，
解得：．
故答案为：.
15．（2022·广西贵港）若函数的导函数为偶函数，则曲线在点处的切线方程为____________．
答案：（或）
【解析】因为为偶函数，所以，解得，则．
又，故曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：．
16．（2022·河南 ）已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是_____.
答案：
【解析】①当时，，
②当时，，
∴当时，，数列递减，
综上所述，若使为递减数列，只需满足，即，
解得，故答案为：.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·黑龙江）已知{an}是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和．
答案：(1)(2)
【解析】（1）是各项均为正数的等比数列，设等比数列的公比为，
由，，得，即，解得（舍或．
；
（2），，，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则数列的前项和．
18．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
答案：(1)
(2)
【解析】（1）因为，
所以当时，，
当时，，
故，
经检验，满足，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得，
所以.
19．（2023·广东广州）已知函数，其中，若的图象在点处的切线方程为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最值．
答案：(1)
(2)最大值为 ，最小值为.
【解析】（1）依题意，，切点在切线上，则，
，
而的图象在点处的切线斜率为，，解得得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，，由得或，
当时，或，有，，有，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，，
所以在上的最大值为 ，最小值为.
20．（2022·广东）已知函数，．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若函数有2个零点，求实数的取值范围．
答案：(1)函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为，函数的极大值为，函数的极小值为；
(2).
【解析】（1）由题意，函数可得，
当，时，；
当，时，；
当时，，
所以函数的单调增区间为和，
函数的单调减区间为，
函数的极大值为，函数的极小值为；
（2）函数的定义域为，
则，
令，则，
所以，函数在上为增函数，且．
①当时，即当时，对任意的恒成立，
所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不合乎题意；
②当时，即当时，则存在使得，
当时，，此时，则函数在上单调递减，
当时，，此时，则函数在上单调递增，
由于函数有两个零点，
当时，；当时，．
可得
，
可得，解得．
21．（2022·山东）设正项数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列的前项和.
答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】（1）因为，
所以，
又，故，
所以是首项为，公差为的等差数列，
故，则，
因为数列是正项数列，所以.
（2）由（1）得，
当时，；
当时，，
所以；
综上：.
22．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
(1)若函数有极值，求实数的取值范围；
(2)当时，若函数在，处导数相等，证明：.
答案：(1)；
(2)证明见解析.
【解析】（1）
由题设，且，
当时，即在单调递增，此时无极值，不合题意；
当时，当有，单调递增，当有，单调递减，
当时，函数取得极小值，故.
（2）
当时，则，又，
，即，又，化简可得，
由，
，由可得：，
，即，
，得证.