2024年江苏省泰州市姜堰区中考二模数学试题

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请注意：
1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分选择题（共18分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列四个数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念、零指数幂及求特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握无理数的概念．先化简各数，根据无限不循环小数为无理数逐项分析即可．
【详解】解：3.14是有限小数，不是无理数，故A不符合题意．
是整数，不是无理数，故B不符合题意．
为整数，不是无理数，故C不符合题意．
是无理数， 故D符合题意，．
故选：D．
2. 一组数据：2，4，7，8，8，13．关于这组数据说法错误的是（ ）
A. 极差是11B. 众数是8C. 中位数是7D. 平均数是7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
【详解】解：∵2，4，7，8，8，13这组数据的最大值是13最小值是2
∴这组数据的极差是：，
选项A正确，不符合题意；
∵这组数据中8出现了2次，最多，
∴众数为8，
∴选项B确，不符合题意；
∵这组数据排列顺序后第3个，第4个数据为7，8，
∴这组数据的中位数是
∴选项C不正确，符合题意；
这组数据的平均数是：
．
∴选项D正确，不符合题意；
故选：C．
3. 如图是由5个棱长为1的小正方体组成的几何体，它的左视图的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了几何体的左视图，从左面看，可以看到4个正方形，问题随之得解．
【详解】从左面看，可以看到4个正方形，面积为4．
故选：C．
4. 若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案．
【详解】解：解不等式得，
∵是关于x的不等式的一个解，
∴，
解得，
∴a可取的最大整数为7，
故选：B．
5. 如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定以及性质，折叠的性质，根据平行四边形的性质可得出，，得出，求出，由题意可得出，再利用平行线的性质得出，由折叠的性质可得出，最后利用平角的定义即可求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∵
∴，
∵E，F分别为，的中点，
∴，
∴，
由折叠的性质可得出，
∴，
故选：D．
6. 二次函数（，h，k为常数）图像开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，代入已知的点，可得，进而可得，即有，问题随之得解．
【详解】∵当时，；当时，，
∴，
即，可得：，
整理得：，
∵二次函数图像开口向下，
∴，
∴，
故选：D．
第二部分非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 单项式的次数是______次．
【答案】3
【解析】
【分析】直接利用单项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解：单项式的次数是3次．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了单项式知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握单项式的次数是单项式中所有字母指数和．
8. 若，则__________________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本题考查的是比例的基本性质，把条件化为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：
9. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是__________________（填“必然事件”或“随机事件”或“不可能事件”）．
【答案】随机事件
【解析】
【分析】此题考查了事件的分类，根据事件的分类进行判断即可．
【详解】解：经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件，
故答案为：随机事件
10. 已知是锐角，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据csA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值．
【详解】解：由csA=知，
如果设b=5x，则c=13x，结合a2+b2=c2得a=12x；
∴ ．
故，
【点睛】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
11. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则__________________．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入计算即可；此题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，，
，
故答案为：．
12. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？请你算算看，木长______尺．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设木长x尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可．
【详解】解；设木长x尺，则绳子长为尺，
由题意得，，
解得，
所以木长尺，
故答案为：．
13. 如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是和，那么“卒”的坐标为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了用坐标确定位置，解题的关键就是建立平面直角坐标系．根据“相”和“兵”的坐标分别是和，建立平面直角坐标系解答即可．
【详解】解：如图所示：由题意建立坐标系如下：
“卒”的坐标为，
故答案为：．
14. 在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为__________________cm3．
【答案】80
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，设，将，代入解析式求得，进而可得烧杯的质量为140g，72g该种液体和烧杯的总质量为，求出的值即可．
【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系，
设，
将，代入解析式得：，
解得：，
，
当时，，即烧杯的质量为
当该种液体时，时，即，
解得：．
故答案为：．
15. 如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有__________________个．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了中心对称定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答．
【详解】解：如图所示：


则这样的有个
故答案为：2．
16. 如图，，点C为线段上一个动点，在上方构造等腰直角和等腰直角，，点F，G分别在边和上，且满足，，则的最小值为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】过F作于H，过G作于K，过F作于L，利用相似三角形的判定与性质求出，，设，则，利用矩形的判定与性质求出，，利用勾股定理求出，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图，过F作于H，过G作于K，过F作于L
则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵等腰直角和等腰直角，
∴，，
∵，
∴，
同理，
设，则，
∴，，
∴，，
∴
，
∴当时，取最小值为10，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的性质等知识，利用勾股定理求出是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解方程．
【答案】（1）−25；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，实数的混合运算，分式方程的解法，掌握运算法则与方程的解法步骤是解本题的关键；
（1）先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，绝对值，再计算乘法运算，再合并即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解方程并检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
去分母得：，
∴，
整理得：，
解得：；
18. 为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛．未进入决赛的学生可以通过复活赛进入决赛，在复活赛中每人要进行5次测试，5次测试成绩的平均数高于直接进入决赛的10名学生中一半学生的成绩，则有可能进入决赛；（注：所有测试成绩数值取整数，单位为厘米）直接进入决赛的10名学生的立定跳远成绩及其平均数、中位数、众数如下表：
（1）填空： ， ．
（2）若甲学生复活赛前4次测试成绩为236，238，240，237，要想有可能进入决赛，第5次测试成绩至少为 ；
（3）已知A、B两名学生的5次复活赛测试成绩及相关统计数据如下表：
现仅剩下一个进入决赛名额，组委会最终选择了B学生进入决赛，你认为组委会做出决定的依据可能是什么？请阐明理由．
【答案】（1）239，238
（2）240 （3）依据的方差，理由：A和B的平均数，中位数都一样，最好成绩也是A更好，但B的方差较小，成绩更加稳定
【解析】
【分析】（1）将进入决赛的十名学生的成绩从小到大排列，再根据中位数、众数的概念作答即可；
（2）根据题意可知甲的平均成绩至少要比236，237，238，238，238这5个成绩要高才有可能进入决赛，设第五次的成绩为，据此列出，作答即可；
（3）依据方差越小，数据越稳定作答即可．
【小问1详解】
进入决赛的十名学生的成绩从小到大排列，如下：
236，237，238，238，238，240，240，241，243，244，
则中位数为：，
238出现的次数最多，则这组数的众数为，
故答案为：239，238；
【小问2详解】
∵5次测试成绩的平均数高于直接进入决赛的10名学生中一半学生的成绩，则有可能进入决赛，
∴甲的平均成绩至少要比236，237，238，238，238这5个成绩要高才有可能进入决赛，
设第五次的成绩为，成绩取整数，
∴，
解得：，
∴最小的正整数成绩为240，
故答案为：240；
【小问3详解】
∵A和B的平均数，中位数都一样，B成绩的方差小于A成绩的方差，
∴B的成绩相比较于A，更加稳定，
∴选择B
即理由： B的方差较小，成绩更加稳定．
【点睛】本题考查了中位数，众数，一元一次不等式的应用，算术平均数等知识．熟练掌握中位数，众数，一元一次不等式的应用，算术平均数是解题的关键．
19. 学校准备开展数学阅读写作活动，三（2）班有4名同学报名（2名男生和2名女生），现根据学校分配名额从报名学生中随机抽取部分学生参加比赛．
（1）若分配1个名额，则抽到男生的概率是 ．
（2）若分配2个名额，用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用简单地概率计算公式求解即可；
（2）利用画树状图法计算概率．
本题考查了概率的计算，画树状图，熟练运用公式，画树状图法求概率是解题的关键．
【小问1详解】
4名同学报名（2名男生和2名女生），分配1个名额，则抽到男生的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
根据题意，画树状图如下：
共有12个等可能结果，其中抽到一名男生和一名女生的等可能性有8个，
故抽到一名男生和一名女生的概率，
故答案为：．
20. 定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
（1）若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值；
（2）命题“是美好点”是 命题（填“真”或“假”）
【答案】（1）
（2）假
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，反比例函数与综合．熟练掌握新定义，待定系数法求反比例函数的解析式，是解题的关键．
（1）过点E作轴于点C，作轴于点D，根据“美好点”定义，写出矩形的周长和面积表达式，布列方程，解方程，得到，即得；
（2）根点E是“美好点”，列方程，解方程，判断即可．
【小问1详解】
过点E作轴于点C，作轴于点D，
∵是“美好点”，
∴，
解得，
∴，
代入反比例函数，
得，
【小问2详解】
假设是“美好点”，
则，
∴，矛盾，
∴不是“美好点”，
∴原命题是假命题．
故答案为：假．
21. 如图，在等边中，D是边上的一点，点E在边的延长线上．
（1）若 ， ，求证：．（请从信息“①，②D为的中点，③”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
（2）过点D作于点M，在（1）的条件下，当，求的长．
【答案】（1）①；②（或①；③或②；③）；证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）选择①；②或①；③或②；③，根据等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质分别进行证明即可；
（2）在中，解直角三角形得出，，求出，解直角三角形得出，最后求出结果即可．
【小问1详解】
解：选①②：
∵是等边三角形，且D为的中点，
∴平分，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
选①③：
过点D作于F，如图所示：
则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
设，则，
∵，
∴，
整理得：，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
选②③；
设，
∵是等边三角形，且D为的中点，
∴，，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的性质．
22. 泰州溱湖（姜堰溱湖旅游景区），位于江苏中部里下河地区，是江苏省三大锅底洼之一，溱湖的主体湖泊是喜鹊湖，在喜鹊湖上有诸多小岛．如图，小明在湖面上划船游玩，在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西30°方向，借助三角板在图中标出点B，连结，并求AC的距离．（结果精确到，参考数据：，）

【答案】487.9m
【解析】
【详解】解：作图如下
过C作，

∵在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西方向，
∴
∵
∴
在中， ，
∴，
在中， ，
∴
∴，
∴
∴
在中， ，
∴
答：的距离约为
23. 某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
（1）若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
（2）如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？
【答案】（1）3000元
（2）甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程和不等式．
（1）先将代入，得出，求出乙种蔬菜的种植面积，然后求出乙种蔬菜的种植成本即可；
（2）根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，得出，求出x的值，根据甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩，求出，得出结果即可．
【小问1详解】
解：令，
∴，
解得：，
∴乙种蔬菜种植面积为（亩），
（元）
答：乙种蔬菜总种植成本为3000元．
【小问2详解】
解：由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵且，
∴，
∴，此时乙种蔬菜种植（亩）
答：甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩．
24. 如图，是的内接三角形，．
（1）仅用圆规在直线下方的圆弧上求作一点D，使点D到点B，点C的距离相等；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接交于E，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，与在直线下方的圆弧交于点D，问题得解；
（2）连接，，先证明是等边三角形，可得，再证明，即可求出，问题随之得解．
【小问1详解】
作图如下：
点D即为所作；
证明：连接，，
根据可得，即可证明是等边三角形，则有；
【小问2详解】
连接，，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出合理的辅助线，掌握圆内接四边形的性质，是快速解答本题的关键．
25. 已知二次函数（a，b为常数，）与y轴交于点C，点P为二次函数图像上一动点，以为直径作，过点（t为常数）作直线L垂直于y轴．
（1）若，且与直线L交于A、B两点．
①填空：当点P与点C重合时，点M的坐标为 ，t的取值范围为 ；
②是否存在实数t，使的长为定值，若存在，求出t的值，若不存在请说明理由；
（2）若不论P如何运动，与直线L始终相切，当时，求b的值．
【答案】（1）①； ；②存在，
（2）
【解析】
【分析】（1）①先求出点C的坐标为，因为当点P与点C重合时，所以，结合“以为直径作，过点（t为常数）作直线L垂直于y轴”得出，即可作答．②设再过作轴，过P作轴，结合平行线分线段成比例得出，即，根据勾股定理列式，解出，因为的取值与P点的位置，即P的坐标无关，即可求出；
（2）先得出的半径的平方为，再结合切线性质得出，因为点P在抛物线上，所以，得，因为无论P如何运动，始终相切，所以，，即可作答．
【小问1详解】
解：①∵二次函数（a，b为常数，）与y轴交于点C，且
∴
当，
即点C的坐标为
∵当点P与点C重合时
∴
∵以为直径作，
∴，
∵过点（t为常数）作直线L垂直于y轴，
∴，
②存在，理由如下：
设
∵点P在抛物线上，
所以，
过作轴，过P作轴，
∵是的中点，过作轴，过P作轴，
∴
∴
∴是的中位线，
连接
∴， ，
∴，
过点作，
∴，
∵
∴
整理可得
∵
∴
若为定值，
则的取值与P点的位置，即P的坐标无关，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设
∴P到l的距离为
则的半径的平方为
又与直线始终相切
∴，
∴
∵点P在抛物线上，
所以，
∴，
整理可得
∵无论P如何运动，始终相切，
∴，
此时
∴，
∵，
∴
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行线分线段成比例，勾股定理，切线的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
26.
【答案】任务1：四边形不F−四边形，理由见解析；任务2：，且；任务3：且
【解析】
【分析】任务1：当时，根据作图可得，，再根据F−四边形的定义，即可判断答案；
任务2：设，列不等式及求解，即得答案；
任务3：以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，先证明，得到，再根据变化过程中的临界位置可知，分别对两个临界位置求面积，并注意的情况，即可得到答案．
【详解】任务1：
四边形不是F−四边形；
理由：当时，根据作图可得，，，
∴四边形是平行四边形，此时有两组对边相等，与题中只有一组对边相等不符，
所以不是F−四边形；
任务2：
当时，易得，
，
，
设，
，
又作图可得，，
又，
，
，，
凸四边形的每一个内角都小于，
，
，
，
，
，
综上，且；
任务3：
且．
理由如下：
以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，
则，
，
，
，
P，G，Q，M四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
四边形为F−四边形，
，，
由图a和图b中的位置可知，
在图a中，
，
，
，
，
，
，
在图b中，
，
，
当点P在的中点时，，
此时，不符合题意，
S的取值范围是且．
【点睛】本题考查了动态几何问题，圆周角、弧、弦之间的关系，平行四边形的判定与性质，一元一次不等式的应用，全等三角形的判定与性质，几何最值问题等知识，应用一元一次不等式解题及添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
成绩
平均数
中位数
众数
244，243，241，240，240，238，238，238，237，236
239.5
m
n
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
平均数
中位数
众数
方差
最好成绩
A
237
239
240
244
235
239
239
9.2
244
B
237
242
237
239
240
239
239
237
3.6
242
素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于．
素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F−四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F−四边形：
第1步：画，，；
第2步：在边上取一异于B，C的点D，；
第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点；
第4步：连结、．
活动一：素材反思
思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？
任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形否为F−四边形，并说明理由；
思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？
任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F−四边形，求的取值范围；
活动二：图形应用
如图，四边形为F−四边形，，，且．
任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．