2024年吉林省白山市中考一模数学试题

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1. -2的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2. 某省今年粮食增产832000000斤，数据832000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）．熟练掌握以上知识点是解题的关键，按照科学记数法的定义进行分析判断即可．
【详解】解：，
故选：B
3. 如图，下面的平面图形是四个立体图形的展开图，其中展开图与立体图形名称对应正确的是（ ）
A. 正方体 B. 圆锥 C. 球 D. 三棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形；②圆锥的侧面展开图是扇形；③正方体的侧面展开图是长方形；④三棱柱的侧面展开图是长方形．
【详解】A．侧面由四个正方形组成，且上下底面也都是正方形，则该立体图形是正方体，故本选项符合题意．
B．侧面展开图是长方形，上下底面是圆，则该立体图形是圆柱，故本选项不符合题意．
C．侧面展开图是半圆，底面是圆，则该立体图形为圆锥，故本选项不符合题意．
D．侧面是三个三角形，且底面是三角形，则该立体图形是三棱锥，故本选项不符合题意．
故选：A．
4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：D．
5. 如图，点是正五边形的边延长线上的一点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的外角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据正多边形的每个外角相等求出，再由等腰三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵多边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6. 如图，与相切于点，的延长线交于点，为优弧上任意一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质定理，等边对等角，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键正确作出辅助线．连接，，根据切线的性质得到，求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求出，然后利用同弧所对的圆周角相等求解即可．
【详解】如图所示，与相交于点，连接，
∵与相切于点，
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 计算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算，先计算乘方和算术平方根，再计算加法即可．
【详解】解：
，
故答案为：3
8. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
9. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
移项合并，最后系数化1即可．
【详解】解：，
，
解得，，
故答案：．
10. 如图，如果要测量池塘两端，的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是、的中点，测得的长为米，则的长为_______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线，解题的关键是直接根据三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）计算即可．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，的长为米，
∴（米），
∴的长为米．
故答案为：．
11. 某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10个，用了12小时，不但完成了任务，而且还多生产零件60个，设原计划每小时生产零件x个，则可列方程为_______．
【答案】12（x+10）=13x+60．
【解析】
【详解】解：设原计划每小时生产零件x个，则实际每小时生产零件（x+10）个．
根据等量关系列方程得：12（x+10）=13x+60．
故答案为12（x+10）=13x+60．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再列出方程．
12. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交于点．再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线．若直线经过点，则的度数为________°．

【答案】
【解析】
【分析】连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出．
【详解】解：连接、，如图，设，

由作法得垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
13. 如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A＝60°，则BC的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，由圆周角定理，即可求得∠BOC的度数，继而求得∠OBC的度数，然后由三角函数求得BD的长，继而求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝BC，
∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝30°，
∵OB＝6，
∴BD＝OB•cs30°＝6×，
∴BC＝2BD＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14. 如图，是矩形的对角线，垂直平分，分别交、于点、，连接．若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查截开的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理，运用勾股定理求出，连接，证明四边形是菱形得
【详解】解：连接，如图，
∵四边是矩形
∴，
∵
∴
∵四边是矩形
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】， ．
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，能正确地进行分式的混合运算是解题的关键．
先对括号内进行通分，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数值代入即可．
【详解】
，
∵，
∴原式．
16. 一个不透明的布袋中有红、黄、蓝三个小球，除颜色不同外，其他完全相同．从中先摸出一个球，记录下它的颜色后放回布袋并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色．请用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球颜色为“一红一蓝”的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果数，找出“一红一蓝”的情况数，再利用概率公式，即可求得答案．
【详解】解：画树状图如图．
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球颜色为“一红一蓝”的结果有2种，所以（两个球颜色为“一红一蓝”）．
17. 如图所示，已知AB=AC，AD是高，BE=CF．求证：△BDE≌△CDF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质得到BD=DC、∠B=∠C，然后结合条件运用SAS即可证明．
【详解】证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AD是高
∴BD=DC
在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(SAS) ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，掌握等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的角平分线重合是解答本题的关键．
18. 太阳能是一种新型能源．某小区居民安装了甲、乙两种太阳能板进行发电．已知2片甲种太阳能板和1片乙种太阳能板一天共发电280度；1片甲种太阳能板和2片乙种太阳能板一天共发电260度．求甲、乙两种太阳能板每片每天的发电量．
【答案】甲、乙两种太阳能板每片每天的发电量分别为100度、80度
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每片甲、乙两种太阳能板每天的发电量分别为x、y度，根据2片甲种太阳能板和1片乙种太阳能板一天共发电280度；1片甲种太阳能板和2片乙种太阳能板一天共发电260度，列方程组解答即可
【详解】解：设甲、乙两种太阳能板每片每天的发电量分别为度、度，
由题意得，
解得
答：甲、乙两种太阳能板每片每天的发电量分别为100度、80度．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点、都在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

（1）在图①中画一个，使，且；
（2）在图②中，在线段上找到点，使；
（3）在图③中，以为边画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，且点、均在格点上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）如图1，格点向右两个格点为，连接， 则，；
（2）如图2，格点向左一个格点为，格点向左四个格点为，连接交于，则，，可得；
（3）如图3，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，四边形即为所作；
【小问1详解】
解：如图1，格点向右两个格点为，连接，

∴，，
即为所作；
【小问2详解】
解：如图2，格点向左一个格点为，格点向左四个格点为，连接交于，

∵，
∴，
∴，
∴，点即为所作；
【小问3详解】
解：如图3，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，四边形即为所作；
【点睛】本题考查了正切，相似三角形的判定与性质，中心对称图形，平行四边形的性质等知识．熟练掌握正切，相似三角形的判定与性质，中心对称图形，平行四边形的性质是解题的关键．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求与的值．
（2）是轴正半轴上一点，若，求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，割补法求三角形面积，是解题的关键．
（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）求得，根据，求解即可．
【小问1详解】
把代入，
得，，
解得，，
∴，
把代入，
得，，
∴，
把代入，
得，，
解得，，
故，．
【小问2详解】
如图，过点A作轴，垂足为，则．
∵中，时，，
∴，
．
∵，，，
∴，
∴，
∴
．
故的面积为1．
21. 如图，小明家在处，门前有一口池塘和一条公路，是到的小路．现要新修一条路到公路、小明测量出，，．请你计算小明家到公路的距离的长度（结果精确到0.1米，参考数据：，，）．

【答案】小明家到公路的距离的长度约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．设米，则米，然后根据在中，利用三角函数得到，进而列方程求解即可．
【详解】解：设米，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
在中，
∵，，
∴，
∴，解得．
答：小明家到公路的距离的长度约为米．
22. 扶风县职业技术学校与时俱进，决定开设A：“汽车美容”、B：“能源开发”、C：“智能”、D：“电竞编程”四门校本课程以提升教育水准，面向2023级部分新生开展了“你选择的专业（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，回答下列问题：

（1）本次问卷调查的样本容量为______；“C”在扇形统计图中所对应的圆心角为______度；
（2）补全条形统计图；
（3）若职教中心2023级新生共1100人，估计选C“智能”的人数为多少人？
【答案】（1）40，
（2）见解析 （3）估计选C“AI智能”的人数大约为440人
【解析】
【分析】此题考查了扇形统计图，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据A“汽车美容”所在圆心角的度数和A“汽车美容”的人数，求出本次问卷调查的样本容量即可；先求出“C”的人数，然后再求出扇形圆心角度数即可；
（2）根据求出的B：“能源开发”、C：“智能”、D：“电竞编程”部分的人数，然后再补全条形统计图即可；
（3）根据样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：本次问卷调查的样本容量为：，
“B”的人数为：（人），
“C”的人数为：（人），
“C”在扇形统计图中所对应的圆心角为：；
故答案为：40，；
【小问2详解】
解：补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：（人），
答：估计选C“智能”的人数大约为440人．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 、两地之间有一条笔直的公路，甲、乙两车同时从地出发，匀速去往终点地，一段时间后甲车先到达终点，再过一段时间后，乙车也到达终点．两车行驶的路程之和与乙车行驶的时间之间的关系如图所示．
（1）、两地相距______；
（2）求的值；
（3）求甲车到达地后与之间的函数解析式．
【答案】（1）160 （2）4
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了求解一次函数，从函数图象获取信息等知识，
（1）根据两人都到终点时，两车行驶的路程之和，则其一半即为、两地距离；
（2）2小时甲车到达终点时，乙车行驶的路程为： ，即可得到乙的速度，问题随之得解；
（3）利用待定系数法即可求解．
【小问1详解】
∵两人都到终点时，两车行驶的路程之和，
∴、两地相距为：，
故答案为：160；
【小问2详解】
2小时甲车到达终点时，乙车行驶的路程为： ，
所以乙车的速度为：，
所以．
【小问3详解】
设甲车到达地后与的函数解析式为．
因为的图象经过与，
所以，
解得，
所以甲车到达地后与的函数解析式为．
24. 综合与实践
问题情境：课堂上老师展示了一张直角三角形纸片．请同学们进行折纸活动，已知在中．，点D、F分别是上的一点．连接．
（1）如图1．小红将沿直线折叠，点B恰好落在上点E处，若，则的值______．
（2）如图2，小明将沿直线DF折叠，点B落在AC上点E处，若，求证：四边形BDEF是菱形；
（3）如图3．小亮将沿直线DF折叠，点B落在AC延长线上点E处，且EF平分，若，，求CE的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质得到，证明，得到，再由，推出，则；
（2）方法一：先证明，再证明，得到，则四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形；方法二：先证明，得到．再证明．推出，即可证明四边形是菱形；方法三：同方法一证明四边形是平行四边形．连接，证明点都在的垂直平分线上．得到，则四边形是菱形；方法四：连接，交于点，先证明，得到，再证明点都在的垂直平分线上．得到．证明，进而推出，即可证明四边形是菱形；
（3）证明得到．求出，．则．
【小问1详解】
解：由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：方法一：∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
方法二：∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
由折叠可知：．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
方法三：∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
由折叠可知：．
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
连接，
∵，，
∴点都在的垂直平分线上．
∴
∴四边形是菱形．
方法四：连接，交于点，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴
由折叠可知：
∴．点都在的垂直平分线上．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
【小问3详解】
∵平分，
∴．
由折叠可知：．
∴．
又∵，
∴
∴．
∴．
∴，．
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在中，，，，点为边上的点，且．动点从点出发（点不与点、重合），沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，以、为邻边构造，设点运动的时间为（）秒．
（1）当点与点重合时，的值为______；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）设的面积为（），求与之间的函数关系式；
（4）连接，直接写出与的边平行时的值．
【答案】（1）3 （2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）先由勾股定理求得，因为，所以当点与点重合时；
（2）当点落在边上时，则，所以，根据相似三角形的对应边成比例可列方程，解方程求出的值即可；
（3）分两点情况，一是点在上，作于点，于点，可求得，，即可由求出与之间的函数关系式；二是点在上，可直接由平行四边形的面积公式求出与之间的函数关系式；
（4）分两种情况，一是，可根据平行线分线段成比例定理列方程；二是，根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出相应的值即可．
小问1详解】
解：，，，
，
，
当点与点重合时，，
，
故答案为：3．
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，
当点落在边上时，如图2，则，
，
，
，，
，
解得．
【小问3详解】
解：当时，如图1，作于点，于点，
，
，
，，
，，
由得，
；
当时，如图3，作于点，则，
，
，
，
，
综上所述，．
【小问4详解】
解：当时，如图4，
，
，
解得；
当时，如图5，
，
，
，
，
解得，
综上所述，或．
【点睛】此题重点考查勾股定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为，点B的坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标；
（2）过点A作轴于点，以、为邻边作．
①当时，求的面积；
②当的面积被轴平分时，求的值；
③若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），顶点坐标为
（2）①6；②；③或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可，将求得的解析式化成顶点式，即可得顶点坐标；
（2）①当时，先求出A、B、C三点的坐标，再求，由即可求得的面积；
②由的面积被轴平分可得A点与B点位于x轴两侧，且距x轴的距离相等．
即A点与B点的纵坐标互为相反数，由此可得，求出m的值即可；
③点B的坐标为，则，解得：，因此B在直线上运动.再分情况讨论，当时，当时，当时，当时，当时，当时,当时，分别作出图像即可得解．
【小问1详解】
将点代入中，
得，
解得，
∴该抛物线对应的函数解析式为，
，
∴顶点坐标为．
【小问2详解】
①当时，，，
∵轴，
，
，
，
．
②∵的面积被轴平分，
∴A点与B点位于x轴两侧，且距x轴的距离相等，
∴A点与B点的纵坐标互为相反数，
∵A点的横坐标为m，
∴A点的纵坐标为，
，
解得．
③∵点B的坐标为，
，解得：，
∴B直线上运动．
∵，
∴，
当时，， 如图
∴此时抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，符合题意；
当时，点A与点C重合，不存在；
当时，如图，
此时，，
不符合题意，舍去；
当时， ，如图，
此时不符合题意，舍去；
当时，，如图，
此时D为顶点，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意；
当时，如图，
抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意，
当时，如图，
此时不符合题意，舍去，
综上，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时， 的取值范围为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，点的轨迹问题，平行四边形的性质，难度很大，清晰的分类讨论与数形结合的方法是解本题的关键．