广西壮族自治区崇左市宁明县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 若是二次根式，则x的值可能是（ ）
A. -2B. 0C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：∵是二次根式，
∴2x-5≥0 ，
解得x≥2.5．
观察四个选项，x的值可能是3，
故选：D．
【点睛】此题考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，是一元三次方程，故本选项不符合题意；
B、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、，是二元二次方程，故本选项不符合题意；
D、，是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 在Rt△ABC 中，∠C  90 ，AB  3 ，AC  2，则BC 的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理即可求出.
【详解】由勾股定理得，.
故选.
【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.
4. 下列各式中计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次根式的性质对A、D进行判断；根据平方差公式对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断．
【详解】解：A、原式，所以A选项不符合题意；
B、原式，所以B选项符合题意；
C、3与不能合并，所以C选项不符合题意；
D、原式，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和平方差公式是解决问题的关键．
5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用最简二次根式定义：根号里边不能含有分母，分母中不能含有根号，被开方数不能含有等于或超过2次的因式，判断即可．
【详解】解：A、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，该选项符合题意；
D、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
6. 解一元二次方程x2－6x－4＝0，配方后正确的是（ ）
A. (x＋3)2＝13B. (x－3)2＝5C. (x－3)2＝4D. (x－3)2＝13
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：∵x2﹣6x﹣4＝0，
∴x2﹣6x＝4，
∴x2﹣6x+9＝13，
∴（x﹣3）2＝13，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解方程，注意配方时先把常数项移到右边，然后把二次项系数化为1，最后等号两面同时加上一次项系数一半的平方．
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再根据结果判断根的情况即可．
【详解】一元二次方程中，，，，
∴，
∴这个方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，理解的结果与一元二次方程根的情况是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
8. 某品牌运动服原来每件售价400元，受疫情影响经过连续两次降价后，现在每件售价为256元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格＝原价×（1−降低的百分率），第二次降价后的价格＝第一次降价后的价格×（1−降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程400（1−x）2＝256，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价，难度不大．
9. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】原式各项化简，找出与不是同类项的即可．
【详解】解：A.原式，不符合题意；
B. 原式，不符合题意；
C 原式，符合题意；
D. 原式，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
10. 若方程中，，，满足和，则方程的根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，当时，，当时，，则方程的根是，．
【详解】解：根据题意，当时，，当时，
∴方程的根是，，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解题意是解题的关键．
11. 已知直角三角形的一条边长为3，另一边长为4，则斜边为（ ）
A. 6B. 5或4C. D. 5和
【答案】B
【解析】
【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4的边是否为斜边，所以要分两种情况讨论：边长为4的边为斜边；边长为4的边为直角边．
【详解】解：当边长为4的边为斜边时，另一条边长为：，此时斜边长为4；
当边长为4的边为直角边时，另一条边长为：，此时斜边长为5；
综上分析可知，直角三角形的一条边长为3，另一边长为4，则斜边为5或4，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，注意运用分类讨论思想，讨论边长为4的边是直角边还是斜边，是解题的关键．
12. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为（ ）
A. 72B. 64C. 60D. 54
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的面积与边长的平方的关系，算术平方根定义推出面积为100和36的正方形的边长分别是10和6，根据勾股定理推出A正方形的边长为，推出A正方形的面积为64．
【详解】解：∵面积为100的正方形的边长是，，
面积为36的正方形的边长是，，
∴A正方形的边长为，，
∴A正方形的面积为，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，勾股定理，熟练掌握正方形面积公式，算术平方根计算，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 在实数范围内因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】2写成，然后利用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数范围内因式分解：利用完全平方公式或平方差公式在实数范围内进行因式分解．
14. 方程的解是____．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．
把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
，
，
或，
解得：．
故答案为：，．
15. 把方程化为一元二次方程的一般形式是____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【详解】解：方程
去括号得：，
即，
移项合并同类项得：，
即可化成，
故答案为：．
16. 若方程是一元二次方程，则m的值为 _____；
【答案】-1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）．
【详解】∵方程是一元二次方程，
∴
解得：，
∴．
故答案为：-1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）．
17. 如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______．
【答案】17m
【解析】
【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC，根据勾股定理即可求得AC的值，根据题意求地毯长度即求得AC+BC即可．
【详解】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC，
在直角△ABC中，AB=13m，BC=5m，且AB为斜边，
根据勾股定理可得AC==12m，
故地毯长度为AC+BC=12+5=17m，
故答案为：17m．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求AC+BC.
18. ，，，…请你将发现的规律用含有自然数的等式表示出来为________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，先找出这些式子运算的一般规律，再用含有n的式子表示出来即可．
【详解】解：，
，
，
…
上述式子的规用含自然数n（n为正整数）的代数式可表示为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的加减法可以解答本题；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．
【小问1详解】
解：
；
小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：，
因式分解得，
即或，
解得，．
【小问2详解】
解：，
移项得，
因式分解得，
即或，
解得，．
21. 在一个边长为（3+2）cm的正方形的内部挖去一个长为（3+）cm，宽为（4﹣）cm的长方形，求剩余部分的面积．
【答案】
【解析】
【分析】用大正方形面积减去长方形面积即可求出剩余部分的面积．
【详解】解：大正方形的面积：（ ），
长方形的面积：（ ），
剩余部分面积： （)，
答：剩余部分的面积为 （ ）．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键．
22. 如图，在中，是斜边上的高，，，求高的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值即可．
【详解】解：在中，根据勾股定理得
，
，
．
23. 已知关于x一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围．
【答案】且
【解析】
【分析】根据方程有两个实数根得到，且，即可求出k的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，且
∴，
解得且．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，正确掌握一元二次方程根的判别式与根的三种情况的关系是解题的关键．
24. 如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．
（1）开始时，小船距岸A的距离为_______；
（2）若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长．
【答案】（1）12 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（1）中，利用勾股定理计算出长；
（2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【小问1详解】
解：在中，，
，
故答案为：12；
【小问2详解】
∵琪琪收绳后，船到达处，
，
，
．
25. 已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
（1）_______，_______；
（2）_______；
（3）化简：．
【答案】（1），c
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，运用数轴判定式子的正负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据数轴信息得出，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答．
（2）同理，得出，即，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答．
（3）同理得，再结合二次根式的性质、绝对值进行化简，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴，
故答案为：，c；
【小问2详解】
解：∵
∴
∴；
【小问3详解】
解：∵
∴
．
26. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
小问1详解】
解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．