2024年河南省信阳市潢川县中考数学三模试卷附解析

这是一份2024年河南省信阳市潢川县中考数学三模试卷附解析，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在实数，﹣2，，中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．C．D．
2．（3分）如图是由大小相同的小正方体拼成的几何体，若移走一块小正方体后，几何体的左视图发生改变，则移走的小正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．（3分）2023年河南省郑洛新国家自主创新示范区（下称：自创区）主要经济指标实现稳步增长．初步核算，2023年自创区核心区实现地区生产总值约1026亿元，同比增长6.3%，高于全省增速2.2个百分点．数据“1026亿”用科学记数法表示为（ ）
A．102.6×108B．1.026×1011
C．1.026×1010D．1.026×109
4．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，CB＝CA，将其沿AB折叠使点C与点D重合，延长AB至点F，DB至点E，∠EBF＝55°，则∠C的度数是（ ）
A．55°B．70°C．80°D．110°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3a+2c）2＝9a2+12ac+4c2
B．﹣2×（3abc）2＝﹣6a2b2c2
C．﹣27m2n÷3m﹣1＝﹣9mn
D．（m+2n）（m﹣2n）＝m2﹣2n2
6．（3分）中国的风筝已有2000多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知AC⊥DE，且AD＝m，AD＝CD，AD与AC的夹角为α，则该骨架中AC的长度应为（ ）
A．mcsαB．mtanαC．2mcsαD．2mtanα
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2＝0无实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m≥2C．m＜2D．m＞2
8．（3分）如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路，则使电路形成通路的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于，对称轴为x＝1，有以下结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③若点（﹣5，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数图象上，则y1＞y1＞y2；④对于任意实数m，都有 a+b≤am2+bm．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．4个C．3个D．2个
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点D在边AC上．连接BD．按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；（2）再分别以M，N两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；（3）连接AP并延长，分别交BD，BC于E，F两点．若AD＝3DC，连接DF，则DF：FC的值为（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题。（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式 ．
12．（3分）某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识80；综合素质90；体育与健康70．根据实际需要将学科知识、综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是 ．
13．（3分）已知二元一次方程组则x+y的值为 ．
14．（3分）将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB按如图所示的位置放于平面直角坐标系中，现将扇形纸片AOB沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点A1，A2，A3，…的位置上，则点A2024的横坐标为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝12，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD内部找一点E，使得∠BEC＝∠BPC，则线段DE的最小值为 ．
三、解答题。（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（8分）已知一组数据100，98，95，95，97，把这组数据的每个数都减去97，得到一组新数据．将这两组数据分别在图1、图2中画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数．
（1）请在两个网格图中画出相应图形；
（2）观察你画的两个图形，通过计算可以发现：
①这组数据中的每个数据都减去97，得到的这组新数据的平均数比原数据的平均数 ．
A．增加97
B．减少97
C．不变
②这组数据中的每个数据都减去97，得到的一组新数据的方差 （填“变大”“变小”或“不变”）．
（3）根据你的结论解决问题：
若一组数据a1，a2，a3，…，an的平均数为，方差为s2，那么数据a1+m，a2+m，a3+m，…，an+m的平均数是 ，方差是 ．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，用无刻度的直尺和圆规作直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）
19．（9分）火灾是一种常见而严重的灾害，它不仅威胁着人们的生命财产安全，还可能对社会的稳定和发展造成严重影响．在面对火灾危险时，消防车被视为消防救援的主要装备之一，它们携带着各种灭火设备和救援工具，是保护公众安全、扑灭火灾的重要力量．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一水平线上，点D，B，O在同一直线上，AB为云梯的液压杆，DO可绕着点O旋转，其中套管OB的长度不变，BD可伸缩，在某种工作状态下液压杆AB＝5m，∠BAC＝53°，∠DOC＝30°．求BO的长．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
20．（9分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物、像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，图象如图3所示，且当x＝6时，y＝3．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛的距离x为2cm，求火焰的像高y；
（3）根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过9cm时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？
21．（9分）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买9个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需105元，购买3个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需40元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元．
（2）若要购买这两种纪念品共50个，且购买费用不多于300元，最多能买多少个甲种纪念品？
22．（10分）
（1）①在图1中位似中心是点 ；
② 多边形是特殊的 多边形；（填“位似”或“相似”）
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣5x的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将△OAB缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似△OA1B1①画出△OA1B1 （不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点A1，B1 的坐标；
②直线y＝kx（k＞0）与二次函数y＝x2﹣5x的图象交于点M，与经过O，A1，B1 三点的抛物线交于点N，请判断△OA1N 和△OAM是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点 P1（x1，y1）P2（x2，y2），且满足 ，则
23．（11分）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和AB上，DF＝AE．求证：DF⊥AE；
（2）如图2，在矩形ABCD中，将四边形AFGD折叠，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，点A落在BC边上的点E处，折痕交边AB于F，交边CD于G，连接AE交GF于点O．若，且，，求AE与CP的长．
2024年河南省信阳市潢川县中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）在实数，﹣2，，中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据π≈3.14，可知﹣＞﹣2，因此即可得出结果．
【解答】解：∵π≈3.14，
∴﹣＞﹣2，
π≈3.14，
∴，
∴最小的数是﹣2，
故选：A．
2．（3分）如图是由大小相同的小正方体拼成的几何体，若移走一块小正方体后，几何体的左视图发生改变，则移走的小正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：单独移开①或②或③，得到的几何体的左视图与原来的几何体的左视图相同，均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；
移走④，则得到的几何体的左视图为一列两个小正方形．
所以若移走一块小正方体，几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是④．
故选：D．
3．（3分）2023年河南省郑洛新国家自主创新示范区（下称：自创区）主要经济指标实现稳步增长．初步核算，2023年自创区核心区实现地区生产总值约1026亿元，同比增长6.3%，高于全省增速2.2个百分点．数据“1026亿”用科学记数法表示为（ ）
A．102.6×108B．1.026×1011
C．1.026×1010D．1.026×109
【答案】B
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【解答】解：1026亿＝102600000000＝1.026×1011，
故选：B．
4．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，CB＝CA，将其沿AB折叠使点C与点D重合，延长AB至点F，DB至点E，∠EBF＝55°，则∠C的度数是（ ）
A．55°B．70°C．80°D．110°
【答案】B
【分析】由已知和折叠的性质可得CB＝CA＝DB＝DA，四边形ADBC为菱形，所以∠DBA＝∠ABC＝∠FBE＝55°，所以∠DBC＝110°，由AC∥DB，可求出∠C＝70°．
【解答】解：∵△ABC折叠后得△ABD，
∴AC＝AD，BC＝BD，
又∵CB＝CA，
∴CB＝CA＝DB＝DA，
∴四边形ADBC是菱形，
∴AC∥DB，∠DBA＝∠CBA．
∵∠ABD＝∠EBF，
∴∠DBC＝2∠ABD＝2∠EBF＝110°，
∴∠C＝180°﹣∠DBC＝180°﹣110°＝70°．
故选：B．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3a+2c）2＝9a2+12ac+4c2
B．﹣2×（3abc）2＝﹣6a2b2c2
C．﹣27m2n÷3m﹣1＝﹣9mn
D．（m+2n）（m﹣2n）＝m2﹣2n2
【答案】A
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：（3a+2c）2＝9a2+12ac+4c2，故选项A正确，符合题意；
﹣2×（3abc）2＝﹣2×9a2b2c2＝﹣18a2b2c2，故选项B错误，不符合题意；
﹣27m2n÷3m﹣1＝﹣9m3n，故选项C错误，不符合题意；
（m+2n）（m﹣2n）＝m2﹣4n2，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
6．（3分）中国的风筝已有2000多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知AC⊥DE，且AD＝m，AD＝CD，AD与AC的夹角为α，则该骨架中AC的长度应为（ ）
A．mcsαB．mtanαC．2mcsαD．2mtanα
【答案】C
【分析】根据垂直定义可得∠ABD＝90°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再利用等腰三角形的三线合一性质可得AC＝2mcsα，即可解答．
【解答】解：∵AC⊥DE，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝m，∠DAB＝α，
∴AB＝AD•csα＝mcsα，
∵AD＝DC，AC⊥DE，
∴AC＝2AB＝2mcsα，
∴该骨架中AC的长度应为2mcsα，
故选：C．
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2＝0无实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m≥2C．m＜2D．m＞2
【答案】D
【分析】由方程无实数根即Δ＝b2﹣4ac＜0，从而得出关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2＝0无实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4（3m﹣2）＝16﹣12m+8＜0，
解得：m＞2．
故选：D．
8．（3分）如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路，则使电路形成通路的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】只有闭合两条线路里的两个才能形成通路．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列表得：
∴一共有20种情况，使电路形成通路的有12种情况，
∴使电路形成通路的概率是＝，
故选：C．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于，对称轴为x＝1，有以下结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③若点（﹣5，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数图象上，则y1＞y1＞y2；④对于任意实数m，都有 a+b≤am2+bm．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．4个C．3个D．2个
【答案】D
【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
【解答】解：由所给函数图象可知，
a＞0，b＜0，c＜0，
则abc＞0．
故①错误．
当x＝﹣1时，函数值大于零，
则a﹣b+c＞0．
故②错误．
因为抛物线的开口向上，
所以抛物线上的点，离对称轴越远的点，其函数值越大．
因为1﹣（﹣5）＝6，1﹣2＝﹣1，3﹣1＝2，且6＞2＞﹣1，
所以y1＞y3＞y2．
故③正确．
∵当x＝1时，y＝a+b+c是抛物线的最小值，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
即a+b≤am2+bm，
故④正确．
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点D在边AC上．连接BD．按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；（2）再分别以M，N两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；（3）连接AP并延长，分别交BD，BC于E，F两点．若AD＝3DC，连接DF，则DF：FC的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，利用基本作图得到AF平分∠BAF，则根据角平分线的性质和三角形面积公式得到AB：AC＝BF：CF，则CF＝BC＝，过B点作BH∥DF交AC与H点，如图，由于AD＝3DC，所以CD＝2，接着根据平行线分线段成比例定理得到＝＝＝，所以CH＝，DF＝BH，则AH＝，然后利用勾股定理计算出BH＝，则DF＝，最后可计算出的值．
【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
由作法得AF平分∠BAF，
∴点F到AB、AC的距离相等，
∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC＝BF：CF，即BF：CF＝6：8＝3：4，
∴CF＝BC＝，
过B点作BH∥DF交AC与H点，如图，
∵AD＝3DC，
∴CD＝AC＝2，
∵DF∥BH，
∴＝＝＝，
∴CH＝CD＝×2＝，DF＝BH，
∴AH＝AC﹣CH＝8﹣＝，
在Rt△ABH中，BH＝＝，
∴DF＝×＝，
∴＝＝．
故选：B．
二、填空题。（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式 y＝x2+2，答案不唯一． ．
【答案】见试题解答内容
【分析】对称轴是y轴，即直线x＝＝0，所以b＝0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y＝x2+2，答案不唯一．
12．（3分）某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识80；综合素质90；体育与健康70．根据实际需要将学科知识、综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是 83分 ．
【答案】83分．
【分析】根据加权平均数的计算公式即可得出结果．
【解答】解：＝83（分），
∴最终得分是83分．
故答案为：83分．
13．（3分）已知二元一次方程组则x+y的值为 2 ．
【答案】2．
【分析】把二元一次方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得4047x+4047y＝8094，据此求出x+y的值即可．
【解答】解：，
①+②，可得：4047x+4047y＝8094，
∴x+y＝8094÷4047＝2．
故答案为：2．
14．（3分）将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB按如图所示的位置放于平面直角坐标系中，现将扇形纸片AOB沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点A1，A2，A3，…的位置上，则点A2024的横坐标为 ．
【答案】．
【分析】本题关键是理解顶点A经过的路线可得，则顶点A经过的路线总长为三个扇形的弧长．仔细观察顶点A经过的路线可观察出A1，A2，A3，…的横坐标值呈规律性变化，根据变化规律求解即可．
【解答】解：∵扇形的圆心角为60°，半径为1，
∴扇形AB的弧长为2π×1×＝，
∵OA1＝0B+BA1＝1+，
∴A1：1+；A2：3+；A3：5+；A4：7+，…
∴An：2n﹣1+，
∴A2024＝2×2024﹣1+＝4047+，
∴A2017的横坐标为：4047+，
故答案为：4047+．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝12，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD内部找一点E，使得∠BEC＝∠BPC，则线段DE的最小值为 ﹣5 ．
【答案】﹣5．
【分析】以BP的中点O为圆心，OB为半径画圆，可得所画圆是Rt△BCP的外接圆，弦BC左侧圆弧上任意一点E与BC构成的∠BEC与∠BPC共弦，可得∠BEC＝∠BPC，连接OD与圆的交点即为DE的最短距离，作OH⊥DC于点H，可得OH是△PBC的中位线，根据勾股定理求出OP和OD的值，进而可得DE的最小值．
【解答】解：如图，以BP的中点O为圆心，OB为半径画圆，
在矩形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD＝12，
∵∠BCP＝90°，
∴所画圆是Rt△BCP的外接圆，
弦BC左侧圆弧上任意一点E与BC构成的∠BEC与∠BPC共弦，
∴∠BEC＝∠BPC，
连接OD与圆的交点即为DE的最短距离，
作OH⊥DC于点H，
∴H是PC的中点，
∴OH是△PBC的中位线，
∴OH＝BC＝4，
∵P为CD的中点，
∴CP＝DP＝CD＝6，
∴PH＝CP＝3，
∴DH＝DP+PH＝3+6＝9，
∴OP＝＝5，
∴OE＝OP＝5，
∵OD＝＝，
∴DE＝OD﹣OE＝﹣5．
故答案为：﹣5．
三、解答题。（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）2+；
（2）．
【分析】（1）先算乘方，零指数幂及负整数指数幂，再进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
17．（8分）已知一组数据100，98，95，95，97，把这组数据的每个数都减去97，得到一组新数据．将这两组数据分别在图1、图2中画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数．
（1）请在两个网格图中画出相应图形；
（2）观察你画的两个图形，通过计算可以发现：
①这组数据中的每个数据都减去97，得到的这组新数据的平均数比原数据的平均数 B ．
A．增加97
B．减少97
C．不变
②这组数据中的每个数据都减去97，得到的一组新数据的方差 不变 （填“变大”“变小”或“不变”）．
（3）根据你的结论解决问题：
若一组数据a1，a2，a3，…，an的平均数为，方差为s2，那么数据a1+m，a2+m，a3+m，…，an+m的平均数是 +m ，方差是 s2 ．
【答案】（1）见解答；
（2）（2）①B；②不变；
（3）+m，s2．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）①根据图形，结合平均数的定义即可求解；
②根据图形，结合方差的意义即可求解；
（3）根据（2）的结论即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）观察你画的两个图形，通过计算可以发现：
①这组数据中的每个数据都减去97，得到的这组新数据的平均数比原数据的平均数减少97，
故答案为：B；
②这组数据中的每个数据都减去97，得到的一组新数据的方差不变；
故答案为：不变；
（3）根据（2）的结论可知：
若一组数据a1，a2，a3，…，an的平均数为，方差为s2，那么数据a1+m，a2+m，a3+m，…，an+m的平均数是+m，方差是s2．
故答案为：+m，s2．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，用无刻度的直尺和圆规作直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析．
【分析】作线段BC的垂直平分线MN交AB于点D，作直线CD即可．
【解答】解：如图，CD即为所求．理由如下：
∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB∠A＝90°﹣∠B，
∴∠ACD＝∠A，
∴DC＝DA，
∴△DCB和△DCA 都是等腰三角形．
19．（9分）火灾是一种常见而严重的灾害，它不仅威胁着人们的生命财产安全，还可能对社会的稳定和发展造成严重影响．在面对火灾危险时，消防车被视为消防救援的主要装备之一，它们携带着各种灭火设备和救援工具，是保护公众安全、扑灭火灾的重要力量．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一水平线上，点D，B，O在同一直线上，AB为云梯的液压杆，DO可绕着点O旋转，其中套管OB的长度不变，BD可伸缩，在某种工作状态下液压杆AB＝5m，∠BAC＝53°，∠DOC＝30°．求BO的长．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
【答案】BO的长约为8m．
【分析】过点B作BE⊥OC于点E，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，然后在Rt△BOE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BE⊥OC于点E，
在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝5m，
∴BE＝AB•sin53°≈5×＝4（m），
在Rt△BOE中，∠BOE＝30°，BE＝4m，
∴BO＝2BE＝4×2＝8（m），
答：BO的长约为8m．
20．（9分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物、像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，图象如图3所示，且当x＝6时，y＝3．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛的距离x为2cm，求火焰的像高y；
（3）根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过9cm时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？
【答案】（1）y关于x的函数表达式为：；
（2）火焰的像高为9cm；
（3）小孔到蜡烛的距离x至少是2cm．
【分析】（1）利用待定系数法进行计算，即可解答；
（2）把x＝2代入中进行计算，即可解答；
（3）把y＝9代入y＝中可求出x＝2，然后根据反比例函数的图象性质，即可解答．
【解答】解：（1）设，
把x＝6，y＝3代入中得：3＝，
解得：k＝18，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）把x＝2代入中得：y＝＝9，
∴火焰的像高为9cm；
（3）由（2）可得：把y＝9代入y＝中得：9＝，
解得：x＝2，
由的图象可得：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴若火焰的像高y不超过9cm时，小孔到蜡烛的距离x至少是2cm．
21．（9分）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买9个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需105元，购买3个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需40元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元．
（2）若要购买这两种纪念品共50个，且购买费用不多于300元，最多能买多少个甲种纪念品？
【答案】（1）购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元；
（2）最多能买10个甲种纪念品．
【分析】（1）根据购买9个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需105元，购买3个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需40元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据要购买这两种纪念品共50个，且购买费用不多于300元，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元，
根据题意，得：，
解得，
答：购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元；
（2）设购买m个甲种纪念品，则购买（50﹣m）个乙种纪念品，
根据题意，得：10m+5（50﹣m）≤300，
解得m≤10，
答：最多能买10个甲种纪念品．
22．（10分）
（1）①在图1中位似中心是点 P ；
② 位似 多边形是特殊的 相似 多边形；（填“位似”或“相似”）
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣5x的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将△OAB缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似△OA1B1①画出△OA1B1 （不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点A1，B1 的坐标；
②直线y＝kx（k＞0）与二次函数y＝x2﹣5x的图象交于点M，与经过O，A1，B1 三点的抛物线交于点N，请判断△OA1N 和△OAM是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点 P1（x1，y1）P2（x2，y2），且满足 ，则
【答案】（1）①P；
②位似，相似；
（2）①点A1，B1 的坐标分别为 ，（3，3）；
②△OA1N和△OAM是位似三角形，理由见解析．
【分析】（1）①根据位似图形的定义即可得到结论；
②位似图形的定义即可得到结论；
（2）①根据点B的横坐标与纵坐标相等，得到点B在直线y＝x上，解方程得到点B的坐标为（6，6），点A的坐标为（5，0），由点O为位似中心，相似比为，得到，于是得到点A1，B1的坐标分别为 ，（3，3）；
②根据新抛物线经过点O，A1，B1，于是可设新抛物线的表达式为y＝ax（x﹣2.5），将（3，3）代入，解方程得到a＝2，于是得到O，A1，B1三点的抛物线的表达式为y＝2x2﹣5x，求得M（k+5，k2+5k），同理可得，N（，），根据位似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）①在图1中位似中心是点P，
故答案为：P；
②位似多边形是特殊的相似多边形，
故答案为：位似，相似；
（2）①△OA1B1如图所示，
∵点B的横坐标与纵坐标相等，
∴点B在直线y＝x上，
令x2﹣5x＝x，
解得x1＝6，x2＝0 （舍去），
则点B的坐标为（6，6），
令0＝x2﹣5x，解得x1＝5，x2＝0，
∴点A的坐标为（5，0），
∵点O为位似中心，相似比为，
∴，
∴点A1，B1的坐标分别为 ，（3，3）；
②△OA1N和△OAM是位似三角形，
理由如下：
∵新抛物线经过点O，A1，B1，
∴可设新抛物线的表达式为y＝ax（x﹣2.5），
将（3，3）代入，得3＝3a（3﹣2.5），
解得a＝2，
∴经过O，A1，B1三点的抛物线的表达式为y＝2x2﹣5x，
令x2﹣5x＝kx，
解得x1＝k+5，x2＝0（不合题意舍去），
即点M（k+5，k2+5k），
同理可得，N（，），
∴，
∵∠NOA1＝∠MOA，
∴△OA1N与△OAM是位似三角形．
23．（11分）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和AB上，DF＝AE．求证：DF⊥AE；
（2）如图2，在矩形ABCD中，将四边形AFGD折叠，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，点A落在BC边上的点E处，折痕交边AB于F，交边CD于G，连接AE交GF于点O．若，且，，求AE与CP的长．
【答案】（1）见解答；
（2），．
【分析】（1）利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DAF，得到∠BAE＝∠ADF，即可推出DF⊥AE；
（2）过点G作GN⊥AB于点N，过点P向BC作垂线，交BC的延长线于点M．证明△ABE∽△GNF，利用对应边成比例可求出AE；由，可得BE：BF：EF＝4：3：5，设 EF＝AF＝5x，则 BE＝4x，BF＝3x，在Rt△ABE 中，利用勾股定理列方程可求出x，从而求出BE，BF，EF的长，证明△EPM∽△FEB，利用对应边成比例可求出EM，PM，最后由勾股定理可求出CP．
【解答】（1）证明：四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
又∵AE＝DF，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），
∴∠BAE＝∠ADF，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°
∴DF⊥AE；
（2）解：如图，过点G作GN⊥AB于点N，过点P向BC作垂线，交BC的延长线于点M．
∵四边形ABCD是矩形，
∴GN＝AD，
∵，
∴＝＝，
由折叠可知，AF＝EF，∠AFG＝∠EFG．
∴AE⊥FG．
∴∠BAE+∠NFG＝90°，
∠BAE+∠AEB＝90°．
∴∠NFG＝∠AEB．
又∵∠GNF＝∠ABE＝90°，
∴△ABE∽△GNF．
∴，
∵GF＝，
∴．
∵∠FEP＝∠BAD＝∠BCD＝∠EPG＝90°，
∴∠BFE＝∠CEP＝∠CGP，
∴．
∴BE：BF：EF＝4：3：5．
设 EF＝AF＝5x，则 BE＝4x，BF＝3x．
∴BE：AB＝4x：8x＝1：2．
∴在Rt△ABE 中，
＝．
∴x＝1．
∴AB＝8．
∵
∴AD＝BC＝EP＝6．
∵∠BFE＝∠PEM，∠B＝∠M，
∴△EPM∽△FEB．
∴．
∴EM＝，PM＝，
又∵EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2，
∴CM＝EM﹣EC＝．
∴．
∴，．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/27 8:22:23；用户：因材教育；邮箱：307053203@qq.cm；学号：3994153九年级教材内容改编
结合教材图形给出新定义
对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形A1B1C1D1；放大四边形ABCD，得到四边形A2B2C2D2．
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2都与四边形ABCD形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．
如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心.
（a，e）
（b，e）
（c，e）
（d，e）
﹣
（a，d）
（b，d）
（c，d）
﹣
（e，d）
（a，c）
（b，c）
﹣
（d，c）
（e，c）
（a，b）
﹣
（c，b）
（d，b）
（e，b）
﹣
（b，a）
（c，a）
（d，a）
（e，a）
九年级教材内容改编
结合教材图形给出新定义
对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形A1B1C1D1；放大四边形ABCD，得到四边形A2B2C2D2．
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2都与四边形ABCD形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．
如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心.