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2024年山东省济宁市兖州区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年山东省济宁市兖州区中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为( )
A. 7.7×10−5B. 7.7×10−6C. 77×10−7D. 0.77×10−5
2.2023年中国汽车出口量力压日本，首次成为世界第一.下列汽车标志中属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，如图中是一款陀螺的示意图，其主视图为( )
A.
B.
C.
D.
4.下列计算中，正确的是( )
A. a3+a3=2a6B. (a3)3=a6
C. a3⋅a=a4D. (a−b)2=a2−b2
5.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°<α<180°)得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB边上，若∠CAB=66°，则旋转角α的度数是( )
A. 66°B. 54°C. 50°D. 48°
6.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度.设慢马的速度为x里/天，则可列方程为( )
A. 900x+1=9002x+3B. 900x−1=9002x−3
C. 900x+1=9002x−3D. 900x−1=9002x+3
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为( )
A. π
B. 43π
C. 53π
D. 2π
8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点.若BG=6，CG=2，则线段MN的长度为( )
A. 17
B. 5
C. 2
D. 13
9.一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，且AQ=2PQ.若点A的坐标为(−3,0)，则CQ的最小值为( )
A. 3 5−3
B. 3 2−2
C. 10−2
D. 3− 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：xy2−x= ．
12.已知α，β是方程x2−3x−4=0的两个实数根，则α2+αβ−3α的值为______．
13.如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则CO的长为______．
14.如图，小明在距离地面33米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°.若斜面坡度为1： 3，则斜坡AB的长是______米.
15.已知二次函数y=ax2−6ax+6a，若当2≤x≤5时，y的最大值是3，则a的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.(π−1)0− 9+2cs45°+(15)−1．
四、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团.学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
(2)若全校共有学生2600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
(3)甲、乙两名同学决定在阅读、科普、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
18.(本小题7分)
如图1，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t(s)，AP的长度为y(cm)，y与t的函数图象如图2所示.当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．
19.(本小题9分)
如图，一次函数y=−kx+1的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A、B，点A在第一象限，过点A作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，点B的纵坐标为−2，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点E、F，连接DB、DE，已知S△ADF=4，AC=3OF．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
(3)在x轴上是否存在点P，使S△PBD=S△BDE.若存在，求出P点坐标：若不存在，请说明理由．
20.(本小题8分)
如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AE=AC，CE分别交AD、AB于点F、G．
(1)求证：FA=FG；
(2)如图2，若点E与点A在直径的两侧，AB、CE的延长线交于点G，AD的延长线交CG于点F.问(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
21.(本小题9分)
定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
(1)如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，对角线BD平分∠ADC.求证：四边形ABCD为邻等四边形．
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B作BE//AC交DA的延长线于点E.若AC=8，DE=10，求四边形EBCD的周长．
22.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(4,0)，且经过点C(2,−6)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴下方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q′，求△APQ′的面积；
(3)点M是y轴上一动点，当∠BMC最大时，请直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.0000077用科学记数法表示为7.7×10−6故选B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3.【答案】A
【解析】解：该几何体的主视图的底层是一个等腰三角形，上层是一个等腰梯形．
故选：A．
根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案．
本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、(a3)3=a9，故B不符合题意；
C、a3⋅a=a4，故C符合题意；
D、(a−b)2=a2−2ab+b2，故D不符合题意；
故选：C．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】D
【解析】解：由旋转可知，
AC=A′C，
∴∠CA′A=∠CAB=66°，
∴∠ACA′=180°−66°−66°=48°，
∴旋转角α的度数是48°．
故选：D．
根据旋转的性质得出AC=A′C，再结合∠CAB的度数即可解决问题．
本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
首先设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，根据规定时间这一等量关系，可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【解答】
解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，由题意得：
900x−1=9002x+3
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=10，
∴∠A=90°−30°=60°，AC=12AB=5，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴AD的长为：60π×5180=53π，
故选：C．
连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
8.【答案】A
【解析】
解：如图所示，连接EF，DG，
∵在正方形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠BAD=90°
又∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AE=DF，AE//DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴四边形AEFD为矩形．
∴AF=ED
∴M为AF，ED的中点，
又∵N为EG的中点，
∴在△EGD中，MN//DG，MN=12DG．
∵在Rt△DCG中，利用勾股定理，求得DG=2 17．
则MN= 17．
故选：A．
题干中出现中点，而且要求线段MN的长度，在正方形中，要么放在直角三角形中利用勾股定理求得线段的长度，或者利用三角形中位线定理求得．而图中MN并不在直角三角形中，也没有对应的第三边，因此需要作辅助线，构造三角形．
本题要充分利用三角形中位线定理，注意在正方形中构造三角形，并利用勾股定理求得第三边的长度，本题综合性比较强，考查基础知识的综合运用．
9.【答案】D
【解析】解：A、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a>0，b>0，所以ab>0，则反比例y=abx应该经过第一、三象限，故本选项不可能；
B、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a<0，b>0，所以ab<0，则反比例y=abx应该经过第二、四象限，故本选项不可能；
C、一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a>0，b<0，所以ab<0，则反比例y=abx应该经过第二、四象限，故本选项不可能；
D、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a<0，b>0，所以ab<0，则反比例y=abx应该经过第二、四象限，故本选项有可能；
故选：D．
根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
10.【答案】C
【解析】解：过Q点作QD//OP交OA于D点，连接CD、CQ，如图，
∵⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为(−3,0)，
∴OA=OC=OP=3，
∵DQ//OP，
∴△AQD∽△APO，
∴DQOP=ADAO=AQAP，
∵AQ=2PQ，
∴AQ：AP=2：3，
∴DQ3=AD3=23，
∴DQ=2，AD=2，
∴OD=1，
在Rt△OCD中，CD= OD2+OC2= 12+32= 10，
∵CQ≥CD−DQ(当且仅当Q点在CD上时取等号)，
∴CQ的最小值为 10−2．
故选：C．
过Q点作QD//OP交OA于D点，连接CD、CQ，如图，证明△AQD∽△APO，利用相似比得到DQ=2，AD=2，则OD=1，再利用勾股定理计算出CD= 10，然后根据三角形三边的关系得到CQ≥CD−DQ(当且仅当Q点在CD上时取等号)，从而得到CQ的最小值为 10−2．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了圆的有关性质．
11.【答案】x(y−1)(y+1)
【解析】【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．
12.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.利用α是方程x2−3x−4=0的实数根得到α2−3α=4，再根据根与系数的关系得到αβ=−4，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】
解：∵α是方程x2−3x−4=0的实数根，
∴α2−3α−4=0，
即α2−3α=4，
∵αβ=−4，
∴原式=4−4
=0．
故答案为0．
13.【答案】53
【解析】解：∵小正方形的边长为1，
∴AC= 32+42=5，
∵BC//AD，
∴△AOD∽△COB，
∴COAO=CBAD=12，
∴CO=13AC=53．
故答案为：53．
先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质即可得出即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意得出△AOD∽△COB是解题的关键．
14.【答案】22 3
【解析】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1： 3，
∴tan∠ABF=AFBF=1 3= 33，
∴∠ABF=30°，
∵在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=PHPB=33PB= 32，
解得：PB=22 3(m)，
故AB=22 3m，
故答案为：22 3．
如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，根据三角函数的定义得到∠ABF=30°，根据已知条件得到∠HPB=30°，∠APB=45°，求得∠HBP=60°，解直角三角形即可得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，正确得出PB=AB是解题关键．
15.【答案】3或−1
【解析】解：∵二次函数y=ax2−6ax+6a=a(x−3)2−3a，
∴该函数的对称轴是直线x=3，
若a>0时，则x>3时，y随x的增大而增大，
∵当2≤x≤5时，y的最大值是3，
∴当x=5时，y=25a−30a+6a=3，
解得a=3，
若a<0时，当2≤x≤5时，y的最大值是3，
则当x=3时，y=−3a=3，
解得a=−1，
故a的值为3或−1．
故答案为：3或−1．
分两种情况，根据题意得出关于a的方程，解方程从而求得a的值，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】解：原式=1−3+2× 22+5=3+ 2．
【解析】本题考查了零指数幂，特殊三角函数及负整数指数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
利用零指数幂，特殊三角函数及负整数指数幂计算即可．
17.【答案】解：(1)本次调查的学生人数为：80÷40%=200(人)，
则科普类的学生人数为：200−40−50−80=30(人)，
(2)劳动社团的学生人数为：2600×50200=650(人)；
(3)把阅读、科普、劳动社团分别记为A、B、C，
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，
∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为39=13．
【解析】(1)用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决问题；
(2)用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；
(3)画出树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式即可求解．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：如图，连接AP，
由点P的运动速度为1cm/s，结合图2可得AB=BC=4cm，
∵∠B=36°，AB=BC，
∴∠BAC=∠C=72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠PAC=∠B=36°，
∴AP=BP，∠APC=72°=∠C，
∴AP=AC=BP，
∵∠PAC=∠B，∠C=∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴APAB=PCAC，
∴AP2=AB⋅PC=4(4−AP)，
∴AP=2 5−2=BP(负值舍去)，
∴t=4+2 5−21=2 5+2．
【解析】由图象可得AB=BC=4cm，通过证明△APC∽△BAC，可求AP的长，即可求解．
本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：(1)在y=kx+1中，令x=0，则y=1，
∴点F(0,1)，
∴OF=1，
∴AC=3OF=3，
∴点D(0,3)，
∵A的纵坐标为3，点A在反比例函数上，
∴点A(m3,3)，
∴S△ADF=12⋅AD⋅DF=12×m3×(3−1)=4，
解得m=12，
∴点A(4,3)，反比例函数表达式为y=12x，
将点B的纵坐标代入上式得，−2=12x，
解得x=−6，
∴B(−6,−2)，
将点B的坐标代入y=kx+1得，−2=−6k+1，
解得k=12，
∴一次函数表达式为y=12x+1；
(2)由(1)知，点A、B的坐标分别为(4,3)、(−6,−2)，
观察函数图象知，反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：x<−6或0(3)存在，
设直线BD为y=ax+b，
∵点D(0,3)，B(−6,−2)，
∴b=3−6a+b=−2，
解得a=56b=3，
∴直线BD为y=56x+3，
对于y=12x+1，令y=0，则12x+1=0，
解得x=−2，
∴点E(−2,0)，
对于y=56x+3，令y=0，则56x+3=0，
解得x=−185，
∴E′(−185,0)，
设P(a,0)，
∵S△BDE=S△PBD，
∴12×85×(2+3)=12×(−185−a)×(2+3)，
a=−265，
∴P(−265,0)．
【解析】(1)利用S△ADF=4，求出点A的坐标，再用待定系数法求出两个函数表达式即可；
(2)观察函数图象即可求解；
(3)根据题意，设P(a,0)，求出直线BD为y=56x+3，与x轴交于点E′(−185,0)，根据S△PBD=S△BDE,即可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
20.【答案】(1)证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACE+∠AGC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠DAB=∠AGC，
∴FA=FG；
(2)解：(1)中的结论成立，理由如下：
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
即∠GAC=90°，
∴∠ACG+∠AGC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°，
∵AE=AC，
∴∠ABD=∠ACG，
∴∠AGC=∠DAB，
∴FA=FG．
【解析】(1)根据圆周角定理求出∠BAC=90°，∠ACE=∠ABD，结合直角三角形的性质求出∠DAB=∠AGC，根据等腰三角形的判定即可得解；
(2)同理(1)求解即可．
此题考查了圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，
∴∠ABC=180°−∠A=90°，
∵对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CD=CB，
∴四边形ABCD为邻等四边形；
(2)解：如图2−1，2−2，点D′、D即为所求；
(3)解：如图3，四边形ABCD是邻等四边形，
∴CD=CB，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD//BC，
∵BE//AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴EB=AC=8，AE=BC，
∴AE=BC=DC，
设AE=BC=DC=x，
∵DE=10，
∴AD=DE−AE=10−x，
过点D作DF⊥BC于点F，得矩形ABFD，
∴AB=DF，AD=BF=10−x，
∴CF=BC−BF=x−(10−x)=2x−10，
在Rt△ABE和Rt△DFC中，根据勾股定理得：
BE2−AE2=AB2，CD2−CF2=DF2，
∴BE2−AE2=CD2−CF2，
∴82−x2=x2−(2x−10)2，
整理得x2−20x+82=0，
解得x1=10−3 2，x2=10+3 2(不符合题意，舍去)，
∴CD=CB=10−3 2，
∴四边形EBCD的周长=BE+DE+2CD=8+10+2×(10−3 2)=38−6 2．
【解析】(1)根据邻等四边形定义证明即可；
(2)根据邻等四边形定义利用网格即可画图；
(3)先证明四边形AEBC是平行四边形，得AE=BC=DC，设AE=BC=DC=x，得AD=DE−AE=10−x，过点D作DF⊥BC于点F，得矩形ABFD，得AB=DF，AD=BF=10−x，所以CF=BC−BF=x−(10−x)=2x−10，根据勾股定理得82−x2=x2−(2x−10)2，求出x的值，进而可得四边形EBCD的周长．
本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，矩形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是理解邻等四边形定义．
22.【答案】解：(1)把A(−2,0)、B(4,0)，C(2,−6).代入y=ax2+bx+c得：
4a−2b+c=016a+4b+c=04a+2b+c=−6，解得：a=34b=−32c=−6，
∴抛物线的表达式为：y=34x2−32x−6；
(2)设抛物线的对称轴交x轴于K，如图：
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(4,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−2+42=1，
∴K(1,0)，
∴AK=3，
设N(t,34t2−32t−6)，
由点A(−2,0、N(t,−34t2−32t+6)的坐标得：AN的函数表达式为：y=(34t−3)x+32t−6，
在y=(34t−3)x+32t−6中，令x=1得：y=94t−9，
则点P(1,94t−9)，
同理可得Q(1,−94t−92)，
∴Q关于x轴的对称点Q坐标为(1,94t+92)，
则PQ′=94t+92−(94t−9)=272，
则△APQ′的面积=12×272×3=814，
即△APQ′的面积为814；
(3)当△BCM的外接圆与y轴相切时，切点即为使∠BMC最大的点M，如图：
∴TM⊥y轴，
设T(p,q)，则TM=p，
∵BT=CT，B(4,0)，C(2,−6)，
∴(p−4)2+q2=(p−2)2+(q+6)2，
则q=−13p−2，
∴T(p,−13p−2)，
∵TM=BT，
p2=(p−4)2+(−13p−2)2，
解得：p=30+12 5(舍去)或p=30−12 5，
∴−13p−2=−13(30−12 5)−2=4 5−12，
∴M(0,4 5−12)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)求出AN的函数表达式为：y=(34t−3)x+32t−6，得到点P(1,94t−9)，同理可得Q(1,−94t−92)，进而求解；
(3)当△BCM的外接圆与y轴相切时，切点即为使∠BMC最大的点M，即可求解．
本题为二次函数综合题，涉及到圆的基本知识、解直角三角形、一次函数和二次函数的图象和性质，明确当△BCM的外接圆与y轴相切时，切点即为使∠BMC最大的点M是解题的关键．
1.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为( )
A. 7.7×10−5B. 7.7×10−6C. 77×10−7D. 0.77×10−5
2.2023年中国汽车出口量力压日本，首次成为世界第一.下列汽车标志中属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，如图中是一款陀螺的示意图，其主视图为( )
A.
B.
C.
D.
4.下列计算中，正确的是( )
A. a3+a3=2a6B. (a3)3=a6
C. a3⋅a=a4D. (a−b)2=a2−b2
5.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°<α<180°)得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB边上，若∠CAB=66°，则旋转角α的度数是( )
A. 66°B. 54°C. 50°D. 48°
6.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度.设慢马的速度为x里/天，则可列方程为( )
A. 900x+1=9002x+3B. 900x−1=9002x−3
C. 900x+1=9002x−3D. 900x−1=9002x+3
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为( )
A. π
B. 43π
C. 53π
D. 2π
8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点.若BG=6，CG=2，则线段MN的长度为( )
A. 17
B. 5
C. 2
D. 13
9.一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，且AQ=2PQ.若点A的坐标为(−3,0)，则CQ的最小值为( )
A. 3 5−3
B. 3 2−2
C. 10−2
D. 3− 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：xy2−x= ．
12.已知α，β是方程x2−3x−4=0的两个实数根，则α2+αβ−3α的值为______．
13.如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则CO的长为______．
14.如图，小明在距离地面33米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°.若斜面坡度为1： 3，则斜坡AB的长是______米.
15.已知二次函数y=ax2−6ax+6a，若当2≤x≤5时，y的最大值是3，则a的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.(π−1)0− 9+2cs45°+(15)−1．
四、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团.学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
(2)若全校共有学生2600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
(3)甲、乙两名同学决定在阅读、科普、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
18.(本小题7分)
如图1，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t(s)，AP的长度为y(cm)，y与t的函数图象如图2所示.当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．
19.(本小题9分)
如图，一次函数y=−kx+1的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A、B，点A在第一象限，过点A作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，点B的纵坐标为−2，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点E、F，连接DB、DE，已知S△ADF=4，AC=3OF．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
(3)在x轴上是否存在点P，使S△PBD=S△BDE.若存在，求出P点坐标：若不存在，请说明理由．
20.(本小题8分)
如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AE=AC，CE分别交AD、AB于点F、G．
(1)求证：FA=FG；
(2)如图2，若点E与点A在直径的两侧，AB、CE的延长线交于点G，AD的延长线交CG于点F.问(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
21.(本小题9分)
定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
(1)如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，对角线BD平分∠ADC.求证：四边形ABCD为邻等四边形．
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B作BE//AC交DA的延长线于点E.若AC=8，DE=10，求四边形EBCD的周长．
22.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(4,0)，且经过点C(2,−6)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴下方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q′，求△APQ′的面积；
(3)点M是y轴上一动点，当∠BMC最大时，请直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.0000077用科学记数法表示为7.7×10−6故选B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3.【答案】A
【解析】解：该几何体的主视图的底层是一个等腰三角形，上层是一个等腰梯形．
故选：A．
根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案．
本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、(a3)3=a9，故B不符合题意；
C、a3⋅a=a4，故C符合题意；
D、(a−b)2=a2−2ab+b2，故D不符合题意；
故选：C．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】D
【解析】解：由旋转可知，
AC=A′C，
∴∠CA′A=∠CAB=66°，
∴∠ACA′=180°−66°−66°=48°，
∴旋转角α的度数是48°．
故选：D．
根据旋转的性质得出AC=A′C，再结合∠CAB的度数即可解决问题．
本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
首先设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，根据规定时间这一等量关系，可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【解答】
解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，由题意得：
900x−1=9002x+3
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=10，
∴∠A=90°−30°=60°，AC=12AB=5，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴AD的长为：60π×5180=53π，
故选：C．
连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
8.【答案】A
【解析】
解：如图所示，连接EF，DG，
∵在正方形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠BAD=90°
又∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AE=DF，AE//DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴四边形AEFD为矩形．
∴AF=ED
∴M为AF，ED的中点，
又∵N为EG的中点，
∴在△EGD中，MN//DG，MN=12DG．
∵在Rt△DCG中，利用勾股定理，求得DG=2 17．
则MN= 17．
故选：A．
题干中出现中点，而且要求线段MN的长度，在正方形中，要么放在直角三角形中利用勾股定理求得线段的长度，或者利用三角形中位线定理求得．而图中MN并不在直角三角形中，也没有对应的第三边，因此需要作辅助线，构造三角形．
本题要充分利用三角形中位线定理，注意在正方形中构造三角形，并利用勾股定理求得第三边的长度，本题综合性比较强，考查基础知识的综合运用．
9.【答案】D
【解析】解：A、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a>0，b>0，所以ab>0，则反比例y=abx应该经过第一、三象限，故本选项不可能；
B、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a<0，b>0，所以ab<0，则反比例y=abx应该经过第二、四象限，故本选项不可能；
C、一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a>0，b<0，所以ab<0，则反比例y=abx应该经过第二、四象限，故本选项不可能；
D、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a<0，b>0，所以ab<0，则反比例y=abx应该经过第二、四象限，故本选项有可能；
故选：D．
根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
10.【答案】C
【解析】解：过Q点作QD//OP交OA于D点，连接CD、CQ，如图，
∵⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为(−3,0)，
∴OA=OC=OP=3，
∵DQ//OP，
∴△AQD∽△APO，
∴DQOP=ADAO=AQAP，
∵AQ=2PQ，
∴AQ：AP=2：3，
∴DQ3=AD3=23，
∴DQ=2，AD=2，
∴OD=1，
在Rt△OCD中，CD= OD2+OC2= 12+32= 10，
∵CQ≥CD−DQ(当且仅当Q点在CD上时取等号)，
∴CQ的最小值为 10−2．
故选：C．
过Q点作QD//OP交OA于D点，连接CD、CQ，如图，证明△AQD∽△APO，利用相似比得到DQ=2，AD=2，则OD=1，再利用勾股定理计算出CD= 10，然后根据三角形三边的关系得到CQ≥CD−DQ(当且仅当Q点在CD上时取等号)，从而得到CQ的最小值为 10−2．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了圆的有关性质．
11.【答案】x(y−1)(y+1)
【解析】【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．
12.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.利用α是方程x2−3x−4=0的实数根得到α2−3α=4，再根据根与系数的关系得到αβ=−4，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】
解：∵α是方程x2−3x−4=0的实数根，
∴α2−3α−4=0，
即α2−3α=4，
∵αβ=−4，
∴原式=4−4
=0．
故答案为0．
13.【答案】53
【解析】解：∵小正方形的边长为1，
∴AC= 32+42=5，
∵BC//AD，
∴△AOD∽△COB，
∴COAO=CBAD=12，
∴CO=13AC=53．
故答案为：53．
先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质即可得出即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意得出△AOD∽△COB是解题的关键．
14.【答案】22 3
【解析】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1： 3，
∴tan∠ABF=AFBF=1 3= 33，
∴∠ABF=30°，
∵在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=PHPB=33PB= 32，
解得：PB=22 3(m)，
故AB=22 3m，
故答案为：22 3．
如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，根据三角函数的定义得到∠ABF=30°，根据已知条件得到∠HPB=30°，∠APB=45°，求得∠HBP=60°，解直角三角形即可得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，正确得出PB=AB是解题关键．
15.【答案】3或−1
【解析】解：∵二次函数y=ax2−6ax+6a=a(x−3)2−3a，
∴该函数的对称轴是直线x=3，
若a>0时，则x>3时，y随x的增大而增大，
∵当2≤x≤5时，y的最大值是3，
∴当x=5时，y=25a−30a+6a=3，
解得a=3，
若a<0时，当2≤x≤5时，y的最大值是3，
则当x=3时，y=−3a=3，
解得a=−1，
故a的值为3或−1．
故答案为：3或−1．
分两种情况，根据题意得出关于a的方程，解方程从而求得a的值，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】解：原式=1−3+2× 22+5=3+ 2．
【解析】本题考查了零指数幂，特殊三角函数及负整数指数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
利用零指数幂，特殊三角函数及负整数指数幂计算即可．
17.【答案】解：(1)本次调查的学生人数为：80÷40%=200(人)，
则科普类的学生人数为：200−40−50−80=30(人)，
(2)劳动社团的学生人数为：2600×50200=650(人)；
(3)把阅读、科普、劳动社团分别记为A、B、C，
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，
∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为39=13．
【解析】(1)用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决问题；
(2)用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；
(3)画出树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式即可求解．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：如图，连接AP，
由点P的运动速度为1cm/s，结合图2可得AB=BC=4cm，
∵∠B=36°，AB=BC，
∴∠BAC=∠C=72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠PAC=∠B=36°，
∴AP=BP，∠APC=72°=∠C，
∴AP=AC=BP，
∵∠PAC=∠B，∠C=∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴APAB=PCAC，
∴AP2=AB⋅PC=4(4−AP)，
∴AP=2 5−2=BP(负值舍去)，
∴t=4+2 5−21=2 5+2．
【解析】由图象可得AB=BC=4cm，通过证明△APC∽△BAC，可求AP的长，即可求解．
本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：(1)在y=kx+1中，令x=0，则y=1，
∴点F(0,1)，
∴OF=1，
∴AC=3OF=3，
∴点D(0,3)，
∵A的纵坐标为3，点A在反比例函数上，
∴点A(m3,3)，
∴S△ADF=12⋅AD⋅DF=12×m3×(3−1)=4，
解得m=12，
∴点A(4,3)，反比例函数表达式为y=12x，
将点B的纵坐标代入上式得，−2=12x，
解得x=−6，
∴B(−6,−2)，
将点B的坐标代入y=kx+1得，−2=−6k+1，
解得k=12，
∴一次函数表达式为y=12x+1；
(2)由(1)知，点A、B的坐标分别为(4,3)、(−6,−2)，
观察函数图象知，反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：x<−6或0
设直线BD为y=ax+b，
∵点D(0,3)，B(−6,−2)，
∴b=3−6a+b=−2，
解得a=56b=3，
∴直线BD为y=56x+3，
对于y=12x+1，令y=0，则12x+1=0，
解得x=−2，
∴点E(−2,0)，
对于y=56x+3，令y=0，则56x+3=0，
解得x=−185，
∴E′(−185,0)，
设P(a,0)，
∵S△BDE=S△PBD，
∴12×85×(2+3)=12×(−185−a)×(2+3)，
a=−265，
∴P(−265,0)．
【解析】(1)利用S△ADF=4，求出点A的坐标，再用待定系数法求出两个函数表达式即可；
(2)观察函数图象即可求解；
(3)根据题意，设P(a,0)，求出直线BD为y=56x+3，与x轴交于点E′(−185,0)，根据S△PBD=S△BDE,即可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
20.【答案】(1)证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACE+∠AGC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠DAB=∠AGC，
∴FA=FG；
(2)解：(1)中的结论成立，理由如下：
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
即∠GAC=90°，
∴∠ACG+∠AGC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°，
∵AE=AC，
∴∠ABD=∠ACG，
∴∠AGC=∠DAB，
∴FA=FG．
【解析】(1)根据圆周角定理求出∠BAC=90°，∠ACE=∠ABD，结合直角三角形的性质求出∠DAB=∠AGC，根据等腰三角形的判定即可得解；
(2)同理(1)求解即可．
此题考查了圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，
∴∠ABC=180°−∠A=90°，
∵对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CD=CB，
∴四边形ABCD为邻等四边形；
(2)解：如图2−1，2−2，点D′、D即为所求；
(3)解：如图3，四边形ABCD是邻等四边形，
∴CD=CB，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD//BC，
∵BE//AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴EB=AC=8，AE=BC，
∴AE=BC=DC，
设AE=BC=DC=x，
∵DE=10，
∴AD=DE−AE=10−x，
过点D作DF⊥BC于点F，得矩形ABFD，
∴AB=DF，AD=BF=10−x，
∴CF=BC−BF=x−(10−x)=2x−10，
在Rt△ABE和Rt△DFC中，根据勾股定理得：
BE2−AE2=AB2，CD2−CF2=DF2，
∴BE2−AE2=CD2−CF2，
∴82−x2=x2−(2x−10)2，
整理得x2−20x+82=0，
解得x1=10−3 2，x2=10+3 2(不符合题意，舍去)，
∴CD=CB=10−3 2，
∴四边形EBCD的周长=BE+DE+2CD=8+10+2×(10−3 2)=38−6 2．
【解析】(1)根据邻等四边形定义证明即可；
(2)根据邻等四边形定义利用网格即可画图；
(3)先证明四边形AEBC是平行四边形，得AE=BC=DC，设AE=BC=DC=x，得AD=DE−AE=10−x，过点D作DF⊥BC于点F，得矩形ABFD，得AB=DF，AD=BF=10−x，所以CF=BC−BF=x−(10−x)=2x−10，根据勾股定理得82−x2=x2−(2x−10)2，求出x的值，进而可得四边形EBCD的周长．
本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，矩形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是理解邻等四边形定义．
22.【答案】解：(1)把A(−2,0)、B(4,0)，C(2,−6).代入y=ax2+bx+c得：
4a−2b+c=016a+4b+c=04a+2b+c=−6，解得：a=34b=−32c=−6，
∴抛物线的表达式为：y=34x2−32x−6；
(2)设抛物线的对称轴交x轴于K，如图：
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(4,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−2+42=1，
∴K(1,0)，
∴AK=3，
设N(t,34t2−32t−6)，
由点A(−2,0、N(t,−34t2−32t+6)的坐标得：AN的函数表达式为：y=(34t−3)x+32t−6，
在y=(34t−3)x+32t−6中，令x=1得：y=94t−9，
则点P(1,94t−9)，
同理可得Q(1,−94t−92)，
∴Q关于x轴的对称点Q坐标为(1,94t+92)，
则PQ′=94t+92−(94t−9)=272，
则△APQ′的面积=12×272×3=814，
即△APQ′的面积为814；
(3)当△BCM的外接圆与y轴相切时，切点即为使∠BMC最大的点M，如图：
∴TM⊥y轴，
设T(p,q)，则TM=p，
∵BT=CT，B(4,0)，C(2,−6)，
∴(p−4)2+q2=(p−2)2+(q+6)2，
则q=−13p−2，
∴T(p,−13p−2)，
∵TM=BT，
p2=(p−4)2+(−13p−2)2，
解得：p=30+12 5(舍去)或p=30−12 5，
∴−13p−2=−13(30−12 5)−2=4 5−12，
∴M(0,4 5−12)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)求出AN的函数表达式为：y=(34t−3)x+32t−6，得到点P(1,94t−9)，同理可得Q(1,−94t−92)，进而求解；
(3)当△BCM的外接圆与y轴相切时，切点即为使∠BMC最大的点M，即可求解．
本题为二次函数综合题，涉及到圆的基本知识、解直角三角形、一次函数和二次函数的图象和性质，明确当△BCM的外接圆与y轴相切时，切点即为使∠BMC最大的点M是解题的关键．
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